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专题8数列不等式问题(恒成立)--自检定时练--详解版
单选题
1．已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件及与之间的关系，利用等差数列的前项和公式，结合一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】由整理得，．
又为等差数列，则，
故．对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
即，解得，
所以的取值范围是.
故选：C．
2.数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数列的通项公式为，且为递增数列，所以对于都成立，即对于都成立，从而求得参数的取值范围.
【详解】因为数列的通项公式为，且为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，即，
所以对于都成立，所以对于都成立，
所以，即的取值范围是，
故选：D．
3.已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得.
【详解】由，当时，成立，即数列递增，
则对于任意的，都有.
已知，
则有恒成立，
即对于任意的都成立，
因为当时，，所以.
故选：A.
4.已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】利用错位相减法求出，然后得出，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，即恒成立，故.
故选：B.
5.设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】C
【分析】根据递推关系，构造等比数列求出通项公式，再由分组求和及放缩法得出的范围即可.
【详解】由，两边取倒数可得：，
即，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，
令
由且，则，
由，则，
则，所以，
故，则正整数的值为2022．
故选：C
6.已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据等比数列求出，求出，求出即可求解.
【详解】因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
，因为对恒成立，
所以，所以的最小值是1.
故选：B.
多选题
7．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．为递减数列
B．
C．若，，则的取值范围为
D．
【答案】BD
【分析】由于为等差数列，设公差为d，求出首项和公差，可得、的表达式，即可判断B；结合，判断A；求出、的表达式，结合数列单调性，即可判断C，D.
【详解】由题意知为等差数列，设公差为d，
由，，得，
解得，，则，，
则，B正确，
由，得不为递减数列，A错误，
因为，由于，故，
由于，，故的取值范围为，C错误，
由于，故，故D正确，
故选：BD
8.已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】根据可求出数列的通项公式，即可得的通项公式，利用裂项法求得，根据恒成立，求出m的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知数列的前项和为，
故当时，；
当时，，
也适合该式，故，
则，
故，
由于对一切都有恒成立，
故，结合选项知整数的可能值为1，2，
故选：CD
填空题
9.已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是 ．
【答案】29
【分析】根据题设不等式关系得、，再由等差数列前n项和公式及相关性质求对应正整数n.
【详解】由，得，由，得，
所以，，
所以满足的正整数n是29．
故答案为：29
10.已知数列的前项和，设，为数列的前项和．若存在使得成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用，的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题，求出实数的取值范围.
【详解】由题意，当时，，
当时，，
上式对也成立，所以，
所以，
，
若存在使得，则即.
故答案为：
解答题
11.已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
(1)求公差和；
(2)记，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值；
（2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立.
【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则，
又因为，，则，
因为，即，可得，解得，故，
所以，，则，可得.
综上所述，.
（2）由（1）可得，
所以，，
因此，
.
12.已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）将代入到中，化简可得为等差数列，进而可得结果；
（2）由（1）知，利用错位相减法求出，再利用分离参数的思想根据基本不等式性质即可求得结果.
【详解】（1）当时，则
由，所以，
整理得，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，即.
（2）由（1）知，则，
所以，①
所以，②
①②得，，
所以
所以，
所以恒成立，即恒成立，
则.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以.
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专题8数列不等式问题(恒成立)--自检定时练--学生版
【1】知识清单
①恒成立问题的等价转化 ②数列求和的多种方法
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．5
5.设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
6.已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
多选题
7．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．为递减数列
B．
C．若，，则的取值范围为
D．
8.已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
填空题
9.已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是 ．
10.已知数列的前项和，设，为数列的前项和．若存在使得成立，则的取值范围为 ．
解答题
11.已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
(1)求公差和；
(2)记，证明：．
12.已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
.【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B C B BD CD
9.【答案】29
10.【答案】
11.【答案】(1) (2)证明见解析
12.【答案】(1) (2)
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