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浙教版2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷（二）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级全册（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
2．反比例函数的图象经过点（，3），则它还经过点 （ ）
A．（，-3） B．（，） C．（3，2） D．（6，）
【答案】D
【详解】试题分析：反比例函数（，3），则k=-2×3=-6.所以该函数经过的所有点对应x、y值相乘要等于k值-6．所以选D．
考点：反比例函数
点评：本题难度较低，主要考查学生对反比例函数性质知识点的掌握．求出k值把个点坐标代入即可．
3．如图，在中，，于点，，，则长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先证明，得出，再根据，，得出结论．
【详解】于点D，
．
，
．
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，在⊙O中，A，B，P为上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可解答．
【详解】∵∠AOB=68 ，
∴∠APB=34 ，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的倍数关系是解答的关键．
5．二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解．
【详解】解：根据题意，，且，
解得，且，
故选：B ．
6．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可以得到，，再根据等腰三角形性质得出，然后由平角定义即可求出的度数．
【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到，
，，
，
．
故选：B．
7．若，则一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象与二次函数图象的判定，根据两函数图象与轴的交点是同一点，判定D错误；由，分两种情况：根据抛物线开口向上，对称，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，可判定A错误， C正确；若抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，可判定B错误．
【详解】解：一次函数与二次函数的图象与轴的交点是同一点，故选项D错误；
，
若，则抛物线开口向上，对称轴，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，因此，选项A错误，选项C正确；
若抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，因此，选项B错误；
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，AB=6，AC=10，则BD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】过点D做于点E，利用勾股定理可求出BC的长，根据角平分线的性质可得BD=DE，利用HL可证明△ABD≌△AED，可得AB=AE，即可求出CE的长，设DE=x，可得CD=8-x，利用勾股定理可求出x的值，进而可得答案.
【详解】如图，过点D作于点E，
∵∠B=90°，，，
∴BC==8，
∴，
∵是的平分线，∠B=90°，∠AED=90°，
∴，
∵，
∴（HL），
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，即DE=3，
∴.
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键.
9．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，利用面积的比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′可得，
∴两位似图形的位似比为2：3，
所以两位似图形的面积比为4：9，
又S△ABC=4，
∴S△A'B'C'=．
故选：C
【点睛】本题考查位似图形，理解位似图形的面积比即是对应线段比的平方是解题关键．
10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取BC的中点E，连接AE、AC．在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM，利用勾股定理求出AE即可解决问题．
【详解】解：如图，取BC的中点E，连接AE、AC．
∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，
∴CE=BC=8，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC=12，
在Rt△ACE中，AE=，
∵EM+AM≥AE，
∴当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM=4-8，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点M的运动轨迹是以BC为直径的圆上运动．
第Ⅱ卷
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．已知，则＝ ．
【答案】2
【分析】由得a＋b＝2ab，代入原式整理、约分即可得出答案．
【详解】解：∵
∴＝2
∴a+b＝2ab，
则原式＝＝
故答案为：2．
【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系．
12．一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是扇形面积和弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键．设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r的值，再由弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形的半径为r，
∵扇形的面积是，圆心角是，
∴，
解得，
∴扇形的弧长．
故答案为：．
13．如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作与点，
∴，且点到的距离（高）为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在等分线上重转），指针停留的区域中的数字为奇数的概率是 ．
【答案】
【分析】由1占圆，2与3占圆，得出可将数字为1的扇形平分成两部分，从而可得转动转盘一次共有4种等可能的结果，然后由概率公式即可得．
【详解】1占圆，2与3占圆
把数字为1的扇形可以平分成两部分
因此，转动转盘一次共有4种等可能的结果，即
则当转盘停止后，指针指向的数字为奇数的概率为
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．
15．将抛物线向左平移1个单位长度，经过点，则平移后抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】写出平移后抛物线的解析式，然后将点（1，4）代入可以求得相应的a的值，得到抛物线解析式．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（0，0），则向左平移1个单位长度后的顶点坐标是（-1，0），
所以平移后抛物线的解析式为：，
把点（1，4）代入，得，
解得a=1．
则该抛物线解析式为：．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．
16．如图，是可折叠的简易凳子侧面示意图，与相交于点，根据图中的数据可得凳子高度是 米．
【答案】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据得到，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列式计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故凳子高度是(米)，
故答案为：．
解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
(1)判断点是否在抛物线上，并说明理由；
(2)若点到轴的距离为，求的值．
【答案】(1)在，理由见解析
(2)或
【分析】（1）根据抛物线的解析式，计算当时，，即可判断点在抛物上；
（2）将抛物线的解析式化成顶点式，根据题意，即可得到关于a的方程，解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
∵当时，，
∴点在抛物线上．
（2）解：，
又∵点A到x轴的距离为5，
∴当时，，解之得，
当时，，解之得，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质、函数与方程的关系及解一元二次方程是解决问题的关键．
18．（8分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
(1)妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，
（1）根据概率公式直接求概率即可．
（2）画出所有等可能的结果数以及妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意有4个四个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个，
∴妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种，
妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
19．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由切线的性质和可得，由垂径定理可得，从而得到垂直平分，最后利用垂直平分线的性质即可得证；
（2）先利用勾股定理得到，然后利用两组对应角相等证明，从而得到，代入数据计算即可．
【详解】（1）证明：∵直线切于点，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）如图，连接，
由（1）知：，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
20．（10分）如图，点E是弧BC的中点，点A在⊙O上，AE交BC于点D．
（1）求证：；
（2）连接OB，OC，若⊙O 的半径为5，BC=8，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】（1）由点E是的中点根据圆周角定理可得∠BAE=∠CBE，又由∠E=∠E（公共角），即可证得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
（2）过点O作OF⊥BC于点F，根据垂径定理得出BF=CF=4 ，再根据勾股定理得出OF的长，从而求出的面积
【详解】（1）证明：∵点E是弧BC的中点
∴∠BAE=∠CBE=∠DBE
又∵∠E=∠E
∴△AEB∽△BED
∴
∴
（2）过点O作OF⊥BC于点F，则BF=CF=4
在中，
∴
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21.（10分）近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
(3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)1600元或1800元
(3)当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元
【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式即可求解；
（2）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出方程，即可求解；
（3）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出二次函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得，
解得：，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
（3）解：设利润为，则根据题意得，
∵，
∴有最大值，即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
22．（12分）【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______．
【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______．
【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且，连接，．
（1）求的值；
（2）延长交于点，交于点．求的值．
【答案】[问题呈现]1；[类比探究]；[拓展提升]（1），（2）
【分析】[问题呈现]利用等边三角形的性质及证明，从而得出结论；
[类比探究]根据等腰直角三角形的性质，证明，进而得出结果；
[拓展提升]（1）先证明，再证得，根据相似三角形的性质进而得出结果；
（2）在（1）的基础上得出，进而，再根据勾股定理及正弦的定义进一步得出结果．
【详解】[问题呈现]解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
[类比探究]解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
[拓展提升]解：（1），
，
，
，
，，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了求正弦函数，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
23．（12分）如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．
(4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形面积最大面积是，此时
(4)存在，或或或
【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可；
（2）过点P做轴的平行线交于点，将分为和分别求解即可；
（3）结合（2）将四边形面积分为和两部分相加，设，则，列出四边形面积的表达式，将其化为顶点式即可解题；
（4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四边形的情况，再求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，
将、两点代入得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设的所在直线的解析式为：，
将代入得：，解得：，
的所在直线的解析式为，
将P的横坐标代入得：，
的坐标为，
如图，过点P做轴的平行线交于点，则点横坐标为，
将点横坐标为代入，，
的坐标为，
由图知：
；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
点A、（A点在B点左侧）关于直线对称，
，
，
如（2）所示：
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时即；
（4）解：由（2）可知：的坐标为，
①如图所示，四边形为平行四边形，
，且，
∴点的纵坐标为，，解得：，，
∴点的坐标为，
，
设点，
，
，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，，
可得，
，且，设，，
，解得：，，
当时，，即，则，当时，，即，则，
点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
，，，
设，则，
，即点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形的综合，二次函数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷（二）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级全册（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象经过点（，3），则它还经过点 （ ）
A．（，-3） B．（，） C．（3，2） D．（6，）
3．如图，在中，，于点，，，则长为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在⊙O中，A，B，P为上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，AB=6，AC=10，则BD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．已知，则＝ ．
12．一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是 ．
13．如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ．
14．如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在等分线上重转），指针停留的区域中的数字为奇数的概率是 ．
15．将抛物线向左平移1个单位长度，经过点，则平移后抛物线的解析式是 ．
16．如图，是可折叠的简易凳子侧面示意图，与相交于点，根据图中的数据可得凳子高度是 米．
解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
(1)判断点是否在抛物线上，并说明理由；
(2)若点到轴的距离为，求的值．
18．（8分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
(1)妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；
(2)请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
19．（8分）如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（10分）如图，点E是弧BC的中点，点A在⊙O上，AE交BC于点D．
（1）求证：；
（2）连接OB，OC，若⊙O 的半径为5，BC=8，求的面积．
21.（10分）近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
(2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
(3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
22．（12分）【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______．
【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______．
【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且，连接，．
（1）求的值；
（2）延长交于点，交于点．求的值．
23．（12分）如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．
(4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
