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浙教版2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（ ）
A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样
C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定
【答案】C
【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可．
【详解】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为，
∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为；
∵，
∴落在海洋的可能性大；
故选C．
【点睛】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概率．
2．抛物线y=﹣3（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【答案】C
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为：y=﹣3（x+2）2﹣1，
∴其顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
3．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再根据相似三角形对应边的比与对应高的比相等的关系列方程求出AB即可．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：12-7=5（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴.75（cm），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边的比与对应高的比相等是解决本题的关键．
4．在半径为2的中，120°的圆心角所对的弧长是( )
A． B． C．2π D．
【答案】B
【分析】利用弧长公式即可求出.
【详解】解：120°的圆心角所对的弧长 = =
故选 B
【点睛】此题主要考查了圆心角所对弧长的公式，熟记公式是解题的关键.
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质结合相似比得出的长和，得到，得出的长，进而求出D点坐标．
【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换以及相似三角形的判定与性质．正确得出的长是解题的关键．
6．某校九年级一班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签的方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用树状图即可解决．
【详解】树状图如下：
由图知，总的结果数是6，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的结果数为1，故出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为．
故选：A
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求事件的概率，关键是根据树状图得到总的结果数及某事件发生时的结果数．
7．如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由为的切线，根据切线的性质得到，即为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角的度数，求出圆心角的度数，在中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出的度数．
【详解】解：连接，如图所示：
∵圆心角与圆周角都对，
∴，
又，
∴，
又∵为的切线，
∴，即，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
8．已知二次函数y＝x2+2x+c的图象上有三点（﹣，y1），（﹣4，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【答案】D
【分析】把各坐标代入再进行比较即可.
【详解】解：∵点（﹣，y1），（﹣4，y2），（1，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，
∴y1＝﹣+c，y2＝8+c，y3＝3+c．
∵﹣+c＜3+c＜8+c，
∴y1＜y3＜y2．
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是把坐标代入进行求解.
9．如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的判定及性质，弧长公式．
由垂线段最短可得当时，最短．此时，由点Q是的中点，可得，从而证得，得到，根据弧长公式即可解答．
【详解】解：如图，当时，最短．
连接，，
∵，即，
又，
∴，
∴，
∵点Q是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：B
10．函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，，
函数对称轴为直线，
，
则，，
故①正确；
函数图象与轴交于，
由翻折性质可知，，
故②正确；
，对称轴为直线，
，
，
，
故③错误；
由图知，，
函数图象与轴交于，
过点，
即，
解得，
函数为，
即，
当时，，
即的顶点坐标为，
将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，
将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，
故④正确．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
第Ⅱ卷
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．的半径为5，，则点P在 （填“内”、“外”、“上”）．
【答案】内
【分析】本题考查了点和圆的位置关系．根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在园内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：∵的半径为5，，
∴小于的半径，
∴点P在内．
故答案为：内
12．在一个不透明的口袋中装有4个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸到红球的概率．
【详解】解：∵袋中装有4个红球，2个绿球，
∴共有6个球，
∴摸到红球的概率为
故答案为
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．二次函数的图象上最低点的坐标是 ．
【答案】
【分析】先判断出二次函数的增减性，再找出最低点，由此即可得．
【详解】解：对于二次函数，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
所以此二次函数的顶点即为图象上的最低点，
因为二次函数的顶点坐标为，
所以此函数图象上最低点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
14．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据题意得小长方形的宽为3，设，相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可．
【详解】解：根据题意得小长方形的宽为3，
设，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
解得（负值舍去），
故原长方形的宽为．
故答案为： ．
15．如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是 .
【答案】3
【分析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3.
【详解】
∵交x轴为B点，交y轴于点A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即OB=4，OA=2
令PQ与x轴的交点为E
∵P在曲线C上
∴△OPE的面积恒为2
∴当△OEQ面积最大时△的面积最大
设Q（a, ）
则S△OEQ= ×a×（）==
当a=2时S△OEQ最大为1
即当Q为AB中点时△OEQ为1
故△面积的最大值是是3.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
16．如图，在菱形中， ，点E是上一点，连接，过E作交于点F，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识．过点A作交延长线于点P，延长交延长线于点G，过点E作交延长线于点H，则，设，则，在中，利用锐角三角函数可得，，，从而得到，进而得到，，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作交延长线于点P，延长交延长线于点G，过点E作交延长线于点H，则，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）已知实数，满足．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简求值及解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，
（1）把化简为，代入即可得解；
（2）把代入得，解分式方程即可得解。
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴
去分母，得，
解得，
经检验，符合题意，
∴
18．（8分）家庭成员尤其是父母对待日常生活和工作的态度和处事方法都会对孩子有潜移默化的影响，父母在教育孩子认识问题和解决问题方面对孩子采取怎样的指导、帮助、要求，都会形成孩子对待问题的方式．为此，某校举行了一次“智慧家长”系列讲座活动，活动过程中，甲、乙、丙、丁四位家长踊跃发言，积极互动．活动后校方准备从这四位家长中随机抽选一位作为家长代表做总结发言，并从剩下的三位家长中随机抽选一位做进一步访谈调查．
(1)选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为________；
(2)请用列表法或画树状图的方法求家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，可得共有12种等可能的结果，其中家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的情况只有1种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为；
故答案为：
（2）解：根据题意画树状图如下∶
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的情况只有1种，
所以家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
19．（8分）如图，已知内接于，的延长线交于点E，交的切线于点D，且点A是的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接交于F，根据切线的性质得到，求得，根据垂径定理得到，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，在中，，根据三角函数的定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；
【详解】（1）如图所示，连接交于F，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（10分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管cm，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到0.1cm）；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：cm，cm，，求线段的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）
【答案】(1)cm
(2)cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键.
（1）过点作于点，解即可求解；
（2）过点分别作，，在中，，，根据即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，
，，
在中，，，
，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为；
（2）解：如图，过点分别作，，垂足分别为、，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
答：线段的长度约为．
21．（10分）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别在、边上，连接，，且．
(1)求证：；
(2)将线段向右平移得到线段（点B与点E重合），连接、．
①若，求的长；
②设，，求y关于x的函数关系式，并直接写出y的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】（1）设交于点P，由四边形是正方形得，，由得，根据同角的余角相等可证明，即可证明，得；
（2）①结合（1）根据平移的性质证明四边形是平行四边形，可得，，然后证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题；②根据勾股定理可得y关于x的函数关系式，进而可以写出y的取值范围．
【详解】（1）证明：如图，设交于点P，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）①如图，连接，
由平移可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由（1）知：，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
；
②∵，
∴，
∵，，
，
∴y关于x的函数关系式为；
，
，
∵，
∴y的取值范围是．
【点睛】此题属于四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、函数关系式、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键．
22．（12分）y=x+是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y=ax+．其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”．y=x+函数图像如下图所示．根据y=x+图像对函数y=|x|+的图像和性质进行了探究．
(1)绘制函数图像：y=|x|+
列表：下表是x与y的几组对应值
x ……… -3 -2 -1 - - 1 2 3 ………
y ……… 2 2 ………
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y=|x|+图像补充完整；
(2)观察发现：
①写出函数y=|x|+的一条性质_________
②函数图像与直线y=2有_________个交点，
所以对应的方程|x|+有_________个实数根．
(3)分析思考：
③方程的|x-1|+-2=0的解为_________
④不等式|x|+-＜0，x的取值范围为_________
(4)延伸探究：
⑤当x＞0时，直线y=kx+3与y=|x|+只有一个交点，求k的值？
【答案】(1)见解析
(2)①关于y轴对称；②2；2
(3)③x1=2，x2=0；④或
(4)或1
【分析】（1）先描点，再连线即可得到；
（2）①通过观察图像，可得图像关于轴对称；②利用数形结合的思想进行求解，把方程的解转化为图像之间的交点的横坐标即可求解；
（3）③根据图像的平移的性质即可求解；④通过数形结合的思想进行求解即可；
（4）把交点转化为方程的根，一个交点，即方程只有一个根，需要进行分类讨论．
【详解】（1）解：y=|x|+图像如下：
（2）解：①通过观察图像可得：y=|x|+图像关于轴对称，
故答案为：关于y轴对称；
②如图可知函数图像与直线y=2有2个交点；
即方程|x|+有2个实数根；
故答案为：2，2；
（3）解：③方程的|x-1|+-2=0的解为方程|x|+的解x1=1，x2=-1向右平移一个单位，得x1=2，x2=0，
④当|x|+-，由图像可得解为：，
不等式|x|+-＜0的解集为：或；
故答案为：x1=2，x2=0；或；
（4）解：当x＞0时，直线y=kx+3与y=|x|+只有一个交点，
即只有一个根，
，
，
当时，解得；
当时，是一元二次方程，
，
即，
解得：，
综上：k的值为或1时，直线y=kx+3与y=|x|+只有一个交点．
【点睛】题考查了反比例函数的图像和性质、画函数图象、方程的根、不等式的解集、函数图象的平移，解题的关键是理解题意，运用数形结合的思想进行求解．
23．（12分）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”，其“青一点”为．
(1)①判断：函数 “青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的青一点是 ；
(2)若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当时，n的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)①不是，②或
(2)且
(3)或
【分析】（1）①假设是青一函数，设出青一点坐标代入函数看是否有解，②设出青一点坐标代入函数解方程即可得解；
（2）设出青一点坐标代入函数得到一元二次方程，令判别式即可求出的取值范围；
（3）设青一点坐标为，代入函数得到一元二次方程，然后令，得到关于的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得最小值构成关于未知数的方程，然后分别解方程即可．
【详解】（1）解：①假设函数是青一函数，设青一点横坐标为，纵坐标为，代入，得
此方程无解，故函数不是青一函数，
故答案为：不是
②设函数的图像上的青一点是，代入得
解方程得
故答案为：或
（2）解：设抛物线（），青一点的坐标为，
则
整理得
∵有两个青一点
∴
解不等式得：
即m的取值范围是且
（3）解：设函数青一点的坐标为
则
整理得
∵存在唯一的一个“青一点”，
∴
整理得
则关于的二次函数关系，其图像对称轴为直线
当时，则时，值最小为
整理得，解得（舍去），
当时，则时，值最小为
整理得
当时，则时，值最小为
整理得，，方程无解
综上得k的值为或
【点睛】本题考查了函数解析式与函数图像上点的坐标关系、二次函数根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识并采用分类讨论思想是解题关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟测试卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级全册（浙教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（ ）
A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样
C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定
2．抛物线y=﹣3（x+2）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
3．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面为（ ）
A． B． C． D．
4．在半径为2的中，120°的圆心角所对的弧长是( )
A． B． C．2π D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．某校九年级一班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签的方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝x2+2x+c的图象上有三点（﹣，y1），（﹣4，y2），（1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
9．如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
10．函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①② D．②③
第Ⅱ卷
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．的半径为5，，则点P在 （填“内”、“外”、“上”）．
12．在一个不透明的口袋中装有4个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ．
13．二次函数的图象上最低点的坐标是 ．
14．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ．
15．如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是 .
16．如图，在菱形中， ，点E是上一点，连接，过E作交于点F，若，则 ．
解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）已知实数，满足．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
18．（8分）家庭成员尤其是父母对待日常生活和工作的态度和处事方法都会对孩子有潜移默化的影响，父母在教育孩子认识问题和解决问题方面对孩子采取怎样的指导、帮助、要求，都会形成孩子对待问题的方式．为此，某校举行了一次“智慧家长”系列讲座活动，活动过程中，甲、乙、丙、丁四位家长踊跃发言，积极互动．活动后校方准备从这四位家长中随机抽选一位作为家长代表做总结发言，并从剩下的三位家长中随机抽选一位做进一步访谈调查．
(1)选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为________；
(2)请用列表法或画树状图的方法求家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率．
19．（8分）如图，已知内接于，的延长线交于点E，交的切线于点D，且点A是的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（10分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管cm，，试管倾斜角为．
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到0.1cm）；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：cm，cm，，求线段的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）
21．（10分）如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别在、边上，连接，，且．
(1)求证：；
(2)将线段向右平移得到线段（点B与点E重合），连接、．
①若，求的长；
②设，，求y关于x的函数关系式，并直接写出y的取值范围．
22．（12分）y=x+是一种类似于反比例函数的对勾函数，形如y=ax+．其函数图像形状酷似双勾，故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”．y=x+函数图像如下图所示．根据y=x+图像对函数y=|x|+的图像和性质进行了探究．
(1)绘制函数图像：y=|x|+
列表：下表是x与y的几组对应值
x ……… -3 -2 -1 - - 1 2 3 ………
y ……… 2 2 ………
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你在平面直角坐标系中将y=|x|+图像补充完整；
(2)观察发现：
①写出函数y=|x|+的一条性质_________
②函数图像与直线y=2有_________个交点，
所以对应的方程|x|+有_________个实数根．
(3)分析思考：
③方程的|x-1|+-2=0的解为_________
④不等式|x|+-＜0，x的取值范围为_________
(4)延伸探究：
⑤当x＞0时，直线y=kx+3与y=|x|+只有一个交点，求k的值？
23．（12分）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”，其“青一点”为．
(1)①判断：函数 “青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的青一点是 ；
(2)若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当时，n的最小值为k，求k的值．
