专题3 方程与方程组 知识点梳理及专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

方程与方程组
1.等式的两边同时加上(或减去)同一个 ，所得结果仍是等式.
等式的两边同时乘(或除以)同一个 ，所得结果仍是等式.
2.含有 的等式叫作方程.使方程左右两边的值相等的 叫作方程的解.求方程的 的过程叫作解方程.只含有___________的方程叫作一元一次方程，其标准形式为_________
解一元一次方程的一般步骤：
① ; ② ; ③ ;④ ；⑤未知数的系数化为 1.
3.只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫作一元二次方程，其一般形式为 .其中 叫作二次项， 叫作一次项， 叫作常数项； 叫作二次项的系数， 叫作一次项的系数.
4.一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.(1)其中形如 的一元二次方程就可用直接开平方的方法.(2)用配方法解一元二次方程(ax + bx+c=0(a≠0)的一般步骤:①化二次项系数 ，即方程两边同时除以二次项系数；② ，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ ，即方程两边 一次项系数一半的平方；④化原方程为 的形式；⑤如果方程右边是非负数，即n≥0，就可以用 求出方程的解;如果 n<0,则原方程 .(3)一元二次方程 的求根公式是 .(4)因式分解法的一般步骤：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成 的乘积；③令 都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
5.关于x的一元二次方程 c=0(a≠0)的根的判别式为 .
(1) 一元二次方程 bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根,即
(2) 一元二次方程有 相等的实数根，即
(3) 一元二次方程 bx+c=0(a≠0) 实数根.
6.分母中含有 的有理方程叫作分式方程.解分式方程的一般步骤：(1)去分母，在方程的两边都乘 ，约去分母，化成整式方程；(2)解这个 ；(3)验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使 为零的根是原方程的增根，必须舍去.
7.共含有 未知数的两个一次方程所组成的一组方程组叫作二元一次方程组.使二元一次方程组的 ，叫作二元一次方程组的解.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元法和 消元法两种.
8.列方程(组)解应用题的一般步骤
(1) ：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，理清它们之间的关系;(2) :根据题意,可采用 ,也可 ，必须写明单位，语言叙述要完整；(3) ：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数；利用列代数式时没有用过的等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同；(4) ：应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解；(5) :解应用题既要检验有无 ，又要检验是否 ，检验后作出符合题目要求的答案.
实战演练
1.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢 ”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇 设经过 x 天相遇，根据题意可列方程为 ( )
C.(9-7)x=1
D.(9+7)x=1
2.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个 设苦果有 x个，甜果有 y个，则可列方程组为( )
3.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为 96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是 ( )
B.150(1-x)=96
D.150(1-2x)=96
4.分式方程 的解是 ( )
A. x=1 B. x=-1
C. x=3 D. x=-3
5.某体育比赛的门票分 A 票和B 票两种,A 票每张x 元,B 票每张y 元.已知 10 张 A 票的总价与 19 张 B 票的总价相差320元，则 ( )
C.|10x-19y|=320
D.|19x-10y|=320
6.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方.图2是一个未完成的幻方，则x与y的和是 ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
7.古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33.若设这个数是 x，则所列方程为 ( )
8.若方程 没有实数根，则m的值可以是 ( )
A. -1 B.0
C.1 D.
9.用配方法解方程 5=0，配方后所得的方程是 ( )
10.关于x的方程(x-1)(x+ (p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是 ( )
A.两个正根 B.两个负根
C.一个正根，一个负根 D.无实数根
11.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2021 年至2023年我国快递业务收入由 5 000 亿元增加到 7 500亿元. 设我国 2021 年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为 ( )
A.5 000(1+2x)=7 500
B.5 000×2(1+x)=7 500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x) =7 500
12.甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样 160人所用时间与乙采样 140 人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人 设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 .
13方 程 的解为 .
14.关于x的一元二次方程. 2x+t=0有两个相等的实数根，则实数t 的值为 .
15.若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是 .
16.若关于 x的分式方程 有 增 根，则m= .
17.解方程组: ①②
18.某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1 份甲种快餐和 2 份乙种快餐共需70元，买2 份甲种快餐和 3 份乙种快餐共需120元.买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元
19.某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级(1)班的4个小组制作 360面彩旗，后因1 个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3 面彩旗才能完成任务.如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名
20.已知关于x的一元二次方程 有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为 x ，x ，若 求 k的值.
21.解方程:
22.2021 年 7 月 1 日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
压轴预测
1.《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌.如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组 ( )
2.关于x的方程x(x--1)=3(x--1),下列解法完全正确的是 ( )
A.两边同时除以(x-1)得,x=3
B.整理得,.x -4x=-3,∵a=1,b=-4,
C.整理得， 配方得，
D.移项得，(x-3)(x--1)=0,∴x-3=0或x--1=0,∴x =3,x =1
3.若关于x的一元二次方程 3k--1=0的解都是整数，则正整数k的值为 .
4.受猪瘟疫情的影响,2023年猪肉价格不断走高，据统计2023年 9 月1 日猪肉价格比2023年年初上涨了60%，某市民 2023年 9 月 1 日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱.
(1)2023年年初猪肉的价格为每千克多少元
(2)某超市将进货价为每千克65 元的猪肉，按9 月1日的价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1 560 元的利润，并且能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元
参考答案
1.数或整式 不为0的数或整式
2.未知数 未知数的值 解未知数 次数都是1 ax+b=0(a≠0) ①去分母②去括号 ③移项 ④合并同类项
3.一个2 ax + bx+c=0(a≠0)ax bx c a b
4.(1)(x+a) =b
(2)①为1②移项 ③配方 同时加上
⑤直接开平方法 无解
(4)①0 ②两个因式 ③这两个因式
不相等
两个
没有
6.未知数
(1)最简公分母
(2)整式方程
(3)最简公分母 最简公分母
7.两个 两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值 代入 加减
8.(1)审题
(2)设未知数 直接设未知数 间接设未知数
(3)列代数式和方程
(4)解方程或方程组
(5)检验，作答 增根 符合题意
1. A 【解析】本题考查一元一次方程的应用.根据题意得 即 故选 A.
2. A 【解析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组.根据题意，所列方程组为 故选 A.
3. C 【解析】本题考查根据实际问题列一元二次方程.由题知，第一次降价后每件售价为150(1-x)元，第二次降价后每件售价为 150(1-x) 元,所以可列方程 150(1- 故选C.
4. D 【解析】本题考查解分式方程.等号两边同乘x(x-3),得2x=x-3,移项并合并同类项得x=-3,检验:当x=-3时,x(x-3)=18≠0,故x=-3是原分式方程的解,故选 D.
5. C 【解析】本题考查由实际问题列二元一次方程.由题意得|10x-19y|=320,故选 C.
6. D
7. C 【解析】本题考查根据实际问题列一元一次方程、数学文化.若设这个数是x，则这个数的三分之二是 x,这个数的一半是 x，这个数的七分之一是 x，这个数的全部就是x，根据“加起来总共是33”可列得方程 故选 C.
8. D 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、不等式的解.由题意可知，方程 没有实数根，∴△<0,即( 解得 m>1，结合各选项知，m的值可以是 ,故选 D.
9. D 【解析】本题考查对一元二次方程进行配方.已知方程 可变形为 两边同时加上9,得 即 ∴将方程 5=0配方后得( ,故选 D.
将二次三项式进行配方，如果是一元二次方程，则在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；如果是二次函数，则在函数式中加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，这就是等式和代数式进行配方的区别，要注意不能弄错.
10. C 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.原方程可化为 ∴方程有一个正根，一个负根，故选C.
11. C
【解析】本题考查根据实际问题列分式方程.根据题意，甲每小时采样x人，则乙每小时采样(x—10)人，∴甲采样160人所用时间为 小时，乙采样140人所用时间为 小时，∴可列分式方程为
13. x=5 【解析】本题考查解分式方程.将方程 的等号两边同时乘公分母x(x+5),得2x=x+5,移项并合并同类项,得x=5.检验:当x=5时,x(x+5)≠0，所以x=5是原分式方程的解.
14.1 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式.依题意， ,解得t=1.
15. m<-2且m≠-3 【解析】本题考查分式方程的解法.去分母得3x=-m+2(x-1),去括号得3x=-m+2x-2,移项得3x-2x=-m-2,合并同类项得x=-m-2.因为原分式方程的解为正数，所以 解得m<-2且m≠-3.
16.3 【解析】本题考查分式方程的增根.将分式方程化为整式方程得 3x=m+3+(x--2),解得
又∵关于 x的分式方程 有增根，即x-2=0,解得 解得m=3.
分式方程的增根就是使分式的最简公分母为零的未知数的值.解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值.
解:①+②,得3x=9,
x=3.
将x=3代入②,得3+y=6,
y=3.
所以原方程组的解为
18.30 20
解：设买一份甲种快餐需 x 元，买一份乙种快餐需 y元,
依题意得
解得
答：买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需 20元.
19.10
解：设每个小组有学生x名，
根据题意得
解得x=10.
经检验，x=10是原方程的解.
答：每个小组有学生10名.
(2)3
(1)由△≥0列不等式求解即可；(2)根据根与系数的关系先表示出 和x x ,再代入所给式子，列方程即可求得k的值.
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解：(1)∵一元二次方程 有实数根，∴△≥0.
∴ 0.
解得
(2)方程的两个实数根分别为x ,x ,
∴k-2-3+1=-1,
解得,k=3.
将分式方程转化为整式方程求解即可，最后检验整式方程的解是否为分式方程的根即可.
解：
-2x=1.
经检验 是原方程的根.
22.5
根据题意设出未知数x，利用等量关系列出关于x的一元二次方程，求出方程的解，选取符合题意的未知数的值，即为最小数.
解：设这个最小数为x.
根据题意,得x(x+8)=65.
解，得 (不符合题意，舍去).
答：这个最小数为5.
压轴预测
1. B 【解析】本题考查数学文化、二元一次方程组的实际应用.根据题意，甲有羊x只，乙有羊y只.由“甲得乙羊九只，多乙一倍正当”可得x+9=2(y-9)，由“乙说得甲九只，两人羊数一样”可得y+9=x-9，∴可列方程组为 故选 B.
2. D 【解析】本题考查解一元二次方程.对于 A，不能两边同时除以(x-1),会漏根,故 A 错误;对于 B,c=3不是-3，故B错误；对于C，配方时，等式两边应该同时加4，故C错误；对于D，利用因式分解法可知该步骤正确，故D正确,故选 D.
3.1 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式、解方程.∵方程kx +(4k-1)x+3k-1=0 是一元二次方程,
. k的取值范围是k≠0.解方程 得 ∵方程的解都为整数，∴ 为整数,∴k=1.
4.(1)50 (2)3
(1)设今年年初猪肉的价格为每千克x元，根据2019年9月1日猪肉的价格=2019年年初猪肉的价格×(1+上涨率)，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设猪肉的售价应该下降 y元，则每日可售出(100+10y)千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于 y的一元二次方程，解之取其较大值即可.
解：(1)设2023年年初猪肉的价格为每千克x元.
由题意可得(1+60%)x=80,
解得x=50.
答：2023年年初猪肉的价格为每千克50元.
(2)设猪肉的售价应该下降y元，
则每日可售出(100+10y)千克.
依题意,得(80-65-y)(100+10y)=1560,
整理得
解得y1=2,y2=3.
∵要让顾客得到实惠，
∴y=3.
答：猪肉的售价应该下降3元.