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1．（八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（八年级下·河南洛阳·期末）已知，，且，则
5．（八年级下·湖北孝感·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ．
6．（八年级下·贵州黔南·期中）若求的值．
7．（八年级下·吉林长春·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简；
(2)当时，求输出的结果．
1．（八年级下·四川眉山·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
2．（八年级下·河南焦作·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级下·山东滨州·期末）如果实数满足．那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（八年级下·广东深圳·月考）（1）若，求的值．
（2）若a，b为实数，且，求的值．
5．（ 八年级·上海·月考）若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
1．（八年级下·四川凉山·月考）若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
2．（八年级·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级·四川内江·期末）已知，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ．
5．（八年级·四川内江·期末）若2，5，n为三角形的三边长，则化简的结果为 ．
6．（八年级下·云南昆明·期中）实践与探索
(1)填空：________；________；
(2)观察第（1）题的结果填空：当时，________；当时，________；
(3)利用你总结的规律计算：，其中．
1．（八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ．
2．（八年级·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
3．（八年级下·湖南郴州·期末）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
4．（八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
1．（八年级·重庆·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·上海·自主招生）已知常数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级·上海·月考）化简二次根式，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
5．（八年级·河南新乡·月考）计算： ．
6．（八年级·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ．
7．（八年级·四川达州·月考）已知实数满足等式．
(1)的取值范围是 ；
(2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？
8．（八年级·福建漳州·月考）观察下列各式及其验证过程：
；．
验证：；．
(1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程；
(2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程．
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1．（八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：当时，原式
2．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵∴∴
3．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；
C．无意义，故此选项不合题意；
D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
4．（八年级下·河南洛阳·期末）已知，，且，则
【答案】3
【详解】解：∵，，
∴，，∵，
∴，∴
5．（八年级下·湖北孝感·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴n的最小正整数值是：3．
6．（八年级下·贵州黔南·期中）若求的值．
【答案】
【详解】解：，
，解得，
．
7．（八年级下·吉林长春·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简；
(2)当时，求输出的结果．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：当时，，
∴输出的结果是．
1．（八年级下·四川眉山·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得且
2．（八年级下·河南焦作·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，得，
∴，∴，∴．
3．（八年级下·山东滨州·期末）如果实数满足．那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵实数满足，
∴，∴，∴，
∴，
∴，
∴．
4．（八年级下·广东深圳·月考）（1）若，求的值．
（2）若a，b为实数，且，求的值．
【答案】（1）3；（2）
【详解】（1）解：，
，，解得，，
；
（2）解：由题意得，，解得：，∴，
∴．
5．（ 八年级·上海·月考）若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)，，；(2)．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
解得：，
∴，则，；
（2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：，不能构成三角形，舍去；
当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
则等腰三角形的周长为：，
综上，这个等腰三角形的周长为：
1．（八年级下·四川凉山·月考）若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，解得：
2．（八年级·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意可得，得到，那么
3．（八年级·四川内江·期末）已知，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
，
，，，，，
原式；
4．（八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ．
【答案】
【详解】解：观察数轴得：，
∴，
∴
5．（八年级·四川内江·期末）若2，5，n为三角形的三边长，则化简的结果为 ．
【答案】5
【详解】解：∵三角形的三边长分别为，
，，
6．（八年级下·云南昆明·期中）实践与探索
(1)填空：________；________；
(2)观察第（1）题的结果填空：当时，________；当时，________；
(3)利用你总结的规律计算：，其中．
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）解：，；
（2）解：观察第（1）题的结果填空：当时，，当时，；
（3）解：∵，
∴．
1．（八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ．
【答案】/
【详解】解：。
2．（八年级·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）解：
故答案为：，，；
（2），
，，
．
3．（八年级下·湖南郴州·期末）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【答案】（1）④，；（2）；（3）
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）；
（3）．
4．（八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【答案】(1) (2) (3)a的值为或
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
1．（八年级·重庆·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴与互为相反数，
∴，
∴，
∴
2．（八年级下·上海·自主招生）已知常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
3．（八年级·上海·月考）化简二次根式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
，得，
．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：由数轴可得，且，①，①不符合题意；
②，，，②符合题意；
③，③符合题意；
④，④不符合题意；
5．（八年级·河南新乡·月考）计算： ．
【答案】
【详解】．
6．（八年级·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ．
【答案】
【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得
，
，
，
，，，
，，，
．
7．（八年级·四川达州·月考）已知实数满足等式．
(1)的取值范围是 ；
(2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？
【答案】(1)(2)小明的答案不正确，理由见解析
【详解】（1）解：由题意可得：，解得：，故答案为：；
（2）小明的答案不正确，理由如下：
，，，，
，小明的答案不正确．
8．（八年级·福建漳州·月考）观察下列各式及其验证过程：
；．
验证：；．
(1)按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程；
(2)根据上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数，且）表示的等式，并给出验证过程．
【答案】(1)，见解析(2)，见解析
【详解】（1）解：，
验证：；
（2）解：，
验证：．
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