2024-2025学年江苏省无锡市江阴市南菁中学高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市南菁中学高一（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则为( )
A. B. C. D.
2.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
判断函数的零点个数至少有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了
A. B. C. D.
7.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )
A. B.
C. D.
8.定义域为的函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，，，，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于，，，，，，则为第二象限角的充要条件为( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若是第二象限角，则在第三象限
C. 已知扇形的面积为，周长为，则扇形的圆心角正角为的弧度数为
D. 若角的终边过点，则
11.已知的解集是，则下列说法中正确的是( )
A. 若满足题目要求，则有成立
B. 的最小值是
C. 函数的值域为，则实数的取值范围是
D. 当时，，的值域是，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式 ______．
14.设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，，．
若，求的值；
若，，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的定义域和值域；
设函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，．
若，，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
若函数同时满足：
函数在整个定义域是增函数或减函数；
存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”．
判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
是”闭函数”，求实数的取值范围．
19.本小题分
某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
若一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值精确到，参考数据：取
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由中方程变形得：，
解得：或，即，
由，得到和为中方程的解，
；
由中方程变形得：，
解得：或，即，
，，
，
把代入中方程得：，即，
解得：或，
当时，，此时，舍去，
则．
16.解：由，可得，所以定义域为；
，，
故函数的值域为．
，
，
当时，，则，
则，则，
则，即，
若于的不等式恒成立，
则，
即实数的取值范围是．
17.解：因为，可得，
又，可得，
由于，
所以；
因为，，
所以，
两边平方，得，可得，
可得．
18.解：是上的增函数，
若函数为“闭函数”，则存在，，使得函数在上的值域为，
所以，
所以关于的至少有两个不相等的实数根，
因为，
所以方程无解，
故函数不是“闭函数”；
因为是上的增函数，
若是“闭函数”，
则存在，，使得函数在上的值域为，
所以，
则关于的方程在上有两个不相等的实数根，
令，
则，
所以函数在上有两个零点，
则，解得，
所以实数的取值范围为．
19.解：一次喷洒个单位的净化剂，
浓度，
则当时，由，
解得，此时，
当时，由，
解得，
综合得，
若一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达小时．
设从第一次喷洒起，经时，
浓度，
，而，
，
故当且仅当时，有最小值为，
令，
解得，
的最小值为．
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