2024-2025学年辽宁省名校联盟高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省名校联盟高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆：的左焦点为，且椭圆上的点与两焦点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
3.若，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知直线：过定点，若为圆：上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，若，，共面，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线，则的渐近线方程为是的离心率为的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图所示，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则( )
A.
B.
C.
D.
8.据典籍周礼春官记载，“宫、商、角、微、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在的二项展开式中第项和第项的二项式系数最大，则( )
A. B. 展开式的各项系数和为
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 D. 展开式中不含常数项
10.已知空间中三点，，，则( )
A. 与向量方向相同的单位向量是
B. 在上的投影向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 坐标原点关于平面的对称点是
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为，若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的方程为
B. 过点且垂直于的直线平分
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线，点是抛物线上一动点，点是平面上的一定点，则的最小值为______．
13.若直线与直线平行，则实数的值______．
14.如图，在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，，分别是，的中点，且，则直线与平面所成角为______，四棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值；
求的值结果用数字表示
16.本小题分
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，
用，，表示和；
求的值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作两条互相垂直的直线与曲线相交于，两点和，两点，求四边形的面积的最小值．
18.本小题分
在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．
点到平面的距离；
若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
通过研究发现对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角可得到向量，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．
已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；
已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆．
求斜椭圆的离心率；
过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点，，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点，，判断是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意令，则，解得；
由，已知等式化简为：，
令，则，
即，
所以，则．
由题意可知为展开式中含项的系数，
则．
16.解：连接，，，如图：
，，，
在中，根据向量减法法则可得：，
底面是平行四边形，，
且，，
又为线段中点，，
在中，
平行四边形中，．
，，
又，．
17.解：设圆的半径为，圆的圆心，半径为，
因为圆与圆内切，所以，
因为圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离为，
故到直线的距离为，
故圆心到点的距离与到直线的距离相等，
由抛物线的定义，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
由韦达定理得，
所以，
因为，直线的方程为，
同理可得，
所以，
当且仅当，即时，取等号．
所以四边形面积的最小值是．
18.解：根据题意，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离；
根据题意，因为为的中点，所以，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
设，其中，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，
所以，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，由于，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
若存在点，使得二面角一的余弦值为，
则，所以，解得舍或，
故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处．
19.解：通过研究发现对任意平面向量，
把绕其起点沿逆时针方向旋转角可得到向量，
这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．
平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，
可得，，，，
所以，
不妨设，
此时，
解得，，
则点的坐标为；
联立直线与，
解得直线与椭圆交点为和，则，
由与交点为和，
则．
所以，．
设直线：，
与斜椭圆联立得：，
，，
，
设直线：，与斜椭圆联立得，
，，
故．
即为定值．
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