2024-2025学年北京市北京工业大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京工业大学附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率为( )
A. B. C. D. 不存在
2.空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知点到直线：的距离为，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直轴的直线交于，两点，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线过点和点，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
8.若直线：和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为( )
A. 个 B. 至多有一个 C. 个 D. 个
9.若给定一向量组和向量，如果存在一组实数，，，，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合，若为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则( )
A. B. C. D.
10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
曲线的方程为；
曲线上存在点，使得到点距离为；
曲线上存在点，使得到直线的距离为；
曲线上存在点，使得到点与点距离之和为．
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.双曲线的两条渐近线的方程为______．
12.抛物线的焦点坐标为______．
13.设，，向量，，，且，，则______．
14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆已知直线：若直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点则的取值范围是______．
15.在中，，，若以，为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ______．
16.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有______．
若，则
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在棱长为的正方体中，，分别为，的中点应用空间向量方法求解下列问题．
求的长；
证明：平面．
18.本小题分
已知直线和圆：，
为何值时，没有公共点；
为何值时，截得的弦长为；
若直线和圆交于、两点，此时，求的值．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在请说明理由．
20.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，且点在椭圆上．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点的直线与椭圆交于，两点，且问：轴上是否存在点，使得直线，直线与轴围成的三角形始终是底边在轴上的等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
21.本小题分
对于空间向量，定义，其中表示，，这三个数的最大值．
已知，．
写出，写出用含的式子表示；
当，写出的最小值及此时的值；
设，，求证：
在空间直角坐标系中，，，，点是以为球心，为半径的球面上的动点，点是内部的动点，直接写出的最小值及相应的点的坐标．
参考答案
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17.解：以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
由正方体的棱长为，则，，，，
，，
因为，分别为，的中点，所以，，
则，可得；
证明：由可得，，
所以，，
所以，，
又，，平面，
所以平面．
18.解：由已知，圆心为，半径，圆心到直线的距离，
直线与圆无公共点，，即，
或．
故当或时，直线与圆无公共点．
由平面几何垂径定理知，即．
得，
当时，直线被圆截得的弦长为．
由于交点处两条半径互相垂直，
弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
，即，
解得．
故当时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
19.证明：在三棱柱中，
侧面为平行四边形，
故AB，又平面，平面，
所以平面；
解：因为平面，，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，即，
令，则，，
故，
所以，
因为平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
解：假设存在点，设，
，
设与平面所成的角为，由可知，平面的法向量为，
则，
所以，
解得或舍去，
所以在线段上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，此时．
20.解：Ⅰ由题意可得，即，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，
所以椭圆的方程为：；
Ⅱ由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，，
由题意可得，的纵坐标同号，
假设存在，，
联立，整理可得：，
可得，即，
且，，
设直线，直线与轴的交点分别为，，
设直线的方程为：，令，可得，
同理可得直线与轴的交点的纵坐标为，
由题意可得，
即，
整理可得：，因为，
即，
即，整理可得：，时不论为何值，等式恒成立，
即，
所以存在满足条件．
21.解：由题可知，，
．
在同一个坐标系中作出的图像如下图所示．
因为，
则函数的图像是图中加粗部分折线，
直线与交于点，
直线与直线交于点，
由图可知，当时，有最小值．
，
因为，
所以，
所以．
因为是以为球心，为半径的球面上的动点，则球面方程为，
面的方程为，即，
一个法向量为，平面是取最小值的必要条件，证明如下：
不妨取，若平面于，
显然，则且，所以，
对于面上任意点都有，即，
所以，仅当，重合时取等号，
综上，取最小，必有平面，
由，当，，共线时取等号，故最小值在，，共线且平面时取得，此时且，则，即，
所以，
取且，则，即，
所以，
综上，时，最小．
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