2024-2025学年浙江省金砖联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省金砖联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知平面，，直线满足，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，两直线：，：，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，，，，乙罐中有三个相同的小球，标号为，，，从甲罐，乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积小于”，则下列说法错误的是( )
A. 事件发生的概率为 B. 事件，相互独立
C. 事件，是互斥事件 D. 事件发生的概率为
6.当圆：截直线：所得的弦长最短时，实数( )
A. B. C. D.
7.八卦是中国文化的基本学概念，图是八卦模型图，其平面图形为图所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为( )
A. 与的夹角为
B.
C.
D. 在上的投影向量为其中为与同向的单位向量
8.已知锐角，角，，的对边分别，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组数据为：，，，，，，，乙组数据为：，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 这两组数据的第百分位数相等
B. 这两组数据的极差相等
C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变
D. 甲组数据比乙组数据分散
10.已知椭圆：，点，为椭圆两焦点，点为椭圆上的动点，过点作的外角平分线，过椭圆的焦点作直线的垂线，垂足是现有一条长度为的线段在直线：上运动，且始终满足为锐角，则( )
A. 点的轨迹方程是
B. 点有可能在以为直径的圆上
C. 点不可能在直线上
D. 线段的中点的纵坐标的取值范围是
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法中正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角的正弦值为
D. 若，那么点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的一个方向向量，则的倾斜角大小为______．
13.中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分，现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为______．
14.设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，，过作的垂线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查随机抽取了户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，．
求的值；
求这户居民问卷评分的中位数；
若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取户居民，查阅他们答卷的情况，再从这户居民中选取户进行专项调查，求这户居民中恰有户的评分在内的概率．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，角的平分线交于点，求线段的长．
17.本小题分
如图在四棱锥中，，，，，，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，已知圆：，，为坐标原点，过点作直线交圆于点、，过点、分别作圆的切线，两条切线相交于点．
若直线的斜率为，求的值；
求点的轨迹方程；
若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方，的周长为．
求椭圆的标准方程；
如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面互相垂直．
若，求三棱锥的体积；
是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：根据题意可得，解得；
因为前几组的频率依次为，
所以中位数在内，
所以中位数为分；
评分在，对应的频率为，，
从评分在和内的居民中共抽取人，
则评分在占人，记为，，评分在占人，记为，，，，
从人中选取人的样本空间
，，，，，，，，，共个样本点，
这户居民中恰有户的评分在内的事件
，，，，，其个样本点，
所以这户居民中恰有户的评分在内的概率．
16.解：在中，角，，的对边分别为，，，且，
由正弦定理可得，
又，，所以，
所以，可得，
又，所以，所以，
可得；
在中，，，
由余弦定理得，
解得舍，或，
由，得，
即．
故线段的长为．
17.Ⅰ证明：取的中点，连接，，
因为，分别为、的中点，所以，且，
又，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ解：取的中点，连接、，
因为，所以是等边三角形，
所以，且，
因为，，且，
所以四边形为矩形，
所以，，
在中，，，，所以，即，
又，、平面，
所以平面，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
整理得：，解得或，都符合题意，
所以或，
故在棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．
18.解：直线为，圆：的半径，
圆心到直线的距离，
所以；
由知，直线的斜率不能为，
故可设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，且，，
过点的圆的切线方程为：，
过点的圆的切线方程为：，
由解得，，所以点的轨迹是直线；
中令，，
中令，，
则，
当时，最小值为．
此时直线为，．
19.解：椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，
经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方，
的周长为．
由椭圆的定义知：，，
的周长，，
椭圆离心率为，，，，
由题意知椭圆的焦点应该在轴上，
椭圆的标准方程为；
将平面沿轴折叠，
使轴正半轴和轴所确定的半平面平面与轴负半轴和轴所确定的半平面平面互相垂直．
当，时，
直线：与联立，
由，解得或，
点在轴上方，，，
，，
当时，三棱锥的体积为：
．
不存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为．
理由如下：
为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，
，，
折叠前周长是，则折叠后周长是，
由，，故，
设方程为，
由，得，，
由韦达定理得，，
，，
所以，(ⅰ)
又，
，(ⅱ)
由可得，
，
即，
，
，整理得．
设，则方程转化为，解得，舍，
推导出，，，
检验：当时，
，
这与由已知条件得到的矛盾，
不存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为．
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