2024-2025学年广东省广州市部分学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市部分学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数与的对应关系如下表则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( )
A. 对于实数，，有
B. 幂函数的图象过定点和点
C. 存在幂函数的图象过点
D. 当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小
5.若函数是上的减函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若，均大于零，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在年给出了著名函数：其中为有理数集，为无理数集，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：其中，且，以下对说法错误的是( )
A. 定义域为
B. 当时，的值域为；当时，的值域为
C. 为偶函数
D. 在实数集的任何区间上都不具有单调性
8.已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A. 的最小值为 B. 在上单调递减
C. 的解集为 D. 存在实数满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，，则集合真子集个数为______填数字．
13.命题：，，则命题的否定是______．
14.已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的定义域为集合，集合．
求集合；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知是定义在上的偶函数，且时，．
求，；
求函数的表达式；
判断并证明函数在区间上的单调性．
17.本小题分
设函数．
若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
解关于的不等式；
18.本小题分
某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目．该项目的月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可以近似地表示为：，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为元，若该项目不能获利，政府将给予补贴．
当时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损？
该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19.本小题分
已知幂函数，满足．
求函数的解析式；
若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：要使函数有意义，则有，解之可得：，
所以集合．
因为，所以，
因为，所以分和两种情况，
若，则，解得：；
若，要使成立，则有，解得：，
综上所述：实数的取值范围．
16.解：当，时，
设，则，则，
因为函数为偶函数，所以有，即，
所以
设，
则
，
，
，，
，
在为单调减函数．
17.解：若，有且只有一个元素，
所以有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设；
所以的取值集合为．
由，得，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
18.解：当时，该项目的利润，
，则，故该项目不能获利，
当时，取到最小值，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴元，才能使该项目不亏损．
当时，平均处理成本，
当时，平均处理成本取到最小值；
当时，平均处理成本，
当，即时，平均处理成本取到最小值；
，故该项目每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
19.解：由幂函数，满足，
可得，且，
求得，故．
函数，
假设存在实数，，使函数在上的值域为，
由于在其定义域内单调递减，则， ，
两式相减，可得：
．
将代入得，
令，，，
得：，
故得实数的取值范围．
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