吉林省八校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省八校 2023-2024 学年高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = (7 + ) 3在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量 ， 满足| | = | | = 2，且| + | = √ 10，则 在 上的投影向量是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 4 2 2
3.如图，△ ′ ′ ′表示水平放置的△ 根据斜二测画法得到的直观图， ′ ′在 ′轴上，
′ ′与 ′轴垂直，且 ′ ′ = √ 2，则△ 的面积为( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 4 D. 4√ 2
4.已知复数4 + 3 是关于 的一元二次方程 2 + + 25 = 0( ∈ )的一个根，则 =( )
A. 8 B. 4 C. 4 D. 8
5.设 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， ，则 //
B. 若 ， ，且 ⊥ ，则 ⊥
C. 若 // ， // ，则 //
D. 若 // ， ， ∩ = ，则 //
6.如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光.某
数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点 的同一水平面上的 ， 两处进行测量，如图2.已知在 处测
得塔顶 的仰角为30°，在 处测得塔顶 的仰角为45°，且 = 30√ 7米，∠ = 150°，则雁鸣塔的高度
=( )
A. 30米 B. 30√ 2米 C. 30√ 3米 D. 30√ 5米
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7.如图，在正四棱锥 中，2 = √ 6 = 6， 是棱 上的动点，一只蚂蚁
从 点出发，经过 点，爬到 点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是( )
A. 2√ 2
B. 2√ 3
C. 2√ 5
D. 2√ 6
8.如图，在扇形 中，半径 = 4，∠ = 90°， 在半径 上， 在半径 上， 是
扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形 的周长的取值范围是( )
A. (8,12]
B. (8√ 2, 12]
C. (8,8√ 2]
D. (4,8√ 2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 ， 满足| | = 3， = ( 2,0)，且 = 3，则( )
3 3√ 3
A. = ( , ) B. | + | = √ 19
2 2

C. 向量 ， 的夹角是 D. | | = √ 7
3
10.如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则( )
A. //
B. //
C. 直线 与 异面
D. 直线 与 异面
11.如图，在棱长为4的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1， 1 1的中点，
是正方形 1 1 1 1内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若 //平面 ，则点 的轨迹长度为2√ 2
B. 若 //平面 ，则三棱锥 的体积为定值
C. 若 = √ 17，则点 的轨迹长度为2
D. 若 是棱 1 1的中点，则三棱锥 的外接球的表面积是41
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知复数 = 2 3 4 + ( + 1) ( ∈ )是纯虚数，则 = ______．
2 2
13.如图所示，在三棱柱 1 1 中，若点 ， 分别满足 = ， = 1 ，3 3

平面 1 1 将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为
1
1和 2，则 = ______． 2
14.设点 是△ 的重心，过点 的直线分别与线段 ， 交于 ， 两点，已知 = 3 , = ，
则 = ______；若 = 4， = 6，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 = (3, 4)， = ( , 1)．
(1)若 ⊥ ( + )，求 的值；
(2)当 = 0时，若 ∈ ，求| + |的最小值．
16.(本小题15分)
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的
轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面) 是边长为6的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
17.(本小题15分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 2 + 3 + 2 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 6， 在边 上， = 3 ， = √ 13，求△ 的面积．
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18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， = ， 为侧棱 上的点，且 = 3 ．
(1)证明： ⊥ ．

(2)在侧棱 上是否存在一点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

19.(本小题17分)
如图，在平面四边形 中， = 1， = 3， = 2， = 4．
√ 15
(1)若 为锐角，且 = ，求△ 的面积；
8
(2)求四边形 面积的最大值；
(3)当 = 60°时， 在四边形 所在平面内，求 + + 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
19
13.【答案】
8
5 20
14.【答案】
3 3
15.【答案】解：(1)因为 = (3, 4)， = ( , 1)，
所以 + = (3 + , 3)，
因为 ⊥ ( + )，
所以 ( + ) = 3(3 + ) + 12 = 0，解得 = 7．
(2)当 = 0时， = (0,1)， = 4，
2 2
所以| + | = √ ( + )2 = √ + 2 + 2 = √ 25 + 2 × ( 4) + 2 × 1 = √ ( 4)2 + 9 ≥ 3，
当且仅当 = 4时，等号成立，
故| + |的最小值为3．
16.【答案】解：由题意可知半球的半径 = 3，圆柱的底面圆半径 = 3，高 = 6，
1
(1)由球的表面积公式可得半球的曲面面积 1 = × 4
2 = 18 ，
2
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积 2 =
2 = 9 ，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积 3 = 2 = 36 ，
故该几何体的表面积 = 1 + 2 + 3 = 18 + 9 + 36 = 63 ．
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1 4
(2)由球的体积公式可得半球的体积 31 = × = 18 ， 2 3
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积 2 = =
2 = 54 ，
故该几何体的体积 = 1 + 2 = 18 + 54 = 72 ．
17.【答案】解：(1)因为 2 + 3 + 2 = 0，
所以2 2 1 + 3 + 2 = 0，
即2 2 + 3 + 1 = 0，
1
即(2 + 1)( + 1) = 0，解得 = 或 = 1．
2
1 2
因为0 < < ，所以 = ，则 = ；
2 3
2 1
(2)由题意可得 = + ，即3 = 2 + ，
3 3
2 2 2
则9 = 4 + 4
2
+ ，因为 = √ 13， = 6， = ，
3
所以9 × 13 = 4 × 62
1
+ 4 × 6 × ( ) + 2，即 2 12 + 27 = 0，解得 = 3或 = 9．
2
1 1 √ 3 9√ 3
当 = 3时，△ 的面积为 = × 3 × 6 × = ；
2 2 2 2
1 1 √ 3 27√ 3
当 = 9时，△ 的面积为 = × 9 × 6 × = ．
2 2 2 2
9√ 3 27√ 3
综上，△ 的面积为 或 ．
2 2
18.【答案】(1)证明：设 交 于点 ，连接 ，
正方形 中，则 = ， ⊥ ，
又 = ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)解：存在侧棱 上一点 ，满足条件，
证明如下：如图，正方形中， = ，
在线段 取一点 ，使得 = ，因为 = 3 ，
2
则 = ，
3
连接 ， ，则 // ，因为 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ，
因为 //平面 ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以平面 //平面 ，
因为平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
2
所以 = = ．
3
3
即 = ．
2
19.【答案】解：(1)连接 ，
7
因为 为锐角，且 √ 15 = ，所以 = ，
8 8
在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 1 +
16 8 ，即 2 = 17 8 ，
在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 = 9 +
4 12 ，即 2 = 13 12 ，
所以17 8 = 13 12 ，即2 3 = 1，
7 1
所以2 × 3 = 1，解得 = ，
8 4
因为 ∈ (0, )，所以 √ 15 = ，
4
故△ 的面积为1 1 √ 15 3√ 15 = × 3 × 2 × = ．
2 2 4 4
1 1
(2)四边形 的面积 = + = 2 + 3 ，
2 2
所以 2 = 4 2 + 12 + 9 2 ①，
由(1)知2 3 = 1，
所以4 2 12 + 9 2 = 1②，
联立①②得， 2 = 12 12 ( + ) ≤ 24，
所以 ≤ 2√ 6，
当且仅当 + = 时，四边形 的面积取得最大值2√ 6．
(3)将△ 绕点 旋转60°，使得 ， 分别与 1， 1重合，连接 1， 1，
则 = 1 ， = 1 1，∠ 1 1 = ∠ ，∠ 1 = 60°，即△ 1是等边三角形，
所以∠ 1 1 + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = 60°，且∠ 1 = ∠ 1 1 + ∠ 1 = ∠ + ∠ 1 =
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60°，
所以∠ 1 = ∠ 1 + ∠ = 60° + 60° = 120°，
1
在△ 1中，由余弦定理知，
2
1 =
2 + 21 2 1cos∠ 1 = 1 + 16 2 × 1 × 4 × ( ) = 21， 2
所以 1 = √ 21，
由图可知 + + = 1 + + 1 1 ≥ 1 = √ 21，当且仅当 ， ， 1， 1四点共线时，等号成立，
故 + + 的最小值是√ 21．
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