浙江省浙东北名校2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省浙东北名校 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线√ 3 2 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2
2.双曲线 2 = 1的焦距为( )
4
A. √ 5 B. 2√ 5 C. √ 17 D. 2√ 17
3.已知点 为圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 1外一动点，过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，
且 ⊥ ，则动点 的轨迹方程为( )
A. ( 1)2 + ( 2)2 = 2 B. ( 2)2 + ( 1)2 = 2
C. ( 1)2 + ( 2)2 = 4 D. ( 2)2 + ( 1)2 = 4
4.古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截
得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中， 为底面圆的直径，
为 中点，某同学用平行于母线 且过点 的平面去截圆锥，所得截口曲
线为抛物线.若该圆锥的高 = 2，底面半径 = 2，则该抛物线焦点到准线
的距离为( )
A. 2 B. 3 C. √ 3 D. √ 2
5.如图，在平行六面体 1 1 1 1中， = ， = ， 1 = ，点
在 1 上，且 1 = 3 ，则 =( )
3 3 1
A. + +
4 4 4
3 1 1
B. + +
4 4 4
1 3 3
C. + +
4 4 4
1 1
D. +
1

4 4 4
6.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，根据上述观点，当 ( ) = √ 2 2 + 10 + √ 2 10 + 29取得最小值时，实数
的值为( )
13 17
A. B. 3 C. D. 4
5 5
7.已知曲线 ： | | | | = 1，则下列结论中错误的是( )
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A. 曲线 关于直线 = 对称
B. 曲线 与直线 = 无公共点
C. 曲线 上的点到直线 = 的最大距离是√ 2
D. 曲线 与圆( + √ 2)2 + ( √ 2)2 = 9有三个公共点
2 2 3
8.已知 1， 2是椭圆 ： + = 1的左、右焦点，直线 与椭圆 相切于点 (1, )，过左焦点 作直线 的垂4 3 2 1
线，垂足为 ，则点 与原点 之间的距离为( )
A. √ 3 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = (1, 1, 1)， = ( 2,2,0)， = (2,1, 3)，则( )
A. | + | = √ 3 B. ( + ) ( + ) = 6
C. ( + 2 ) ⊥ D. //(2 )
10.已知直线 1： 3 = 0，直线 2：4 + 6 = 0，则下列命题正确的有( )
A. 直线 1恒过点(0, 3) B. 直线 2的斜率一定存在
C. 若 1// 2，则 = 2或 = 2 D. 存在实数 使得 1 ⊥ 2
11.已知抛物线 ： 2 = 4 ，点 ( 2,0)， (2,0)，过点 的直线 交抛物线 与 ， 两点，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
下列说法正确的有( )
A. 1 2 = 8 B. | |的最小值为4√ 2
C. 以 为直径的圆过原点 D. ∠ = ∠
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知与圆 1：
2 + 2 = 1和圆 2：( 2)
2 + ( )2 = 4都相切的直线有且仅有两条，则实数 的取值
范围是______．
13.已知空间向量 = (1,0, 1)， = ( 1,1,0)，则向量 在向量 上的投影向量是______．
2 2 1
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)，斜率为 的直线与曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 8
1
的坐标为(1,2)，直线 ， 分别与渐近线交于 ， ，若直线 的斜率也为 ，则双曲线的离心率为______．
8
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点 (1,3)，圆 ： 2 + 2 4 = 0；
(1)若直线 1过点 且在坐标轴上的截距之和为0，求直线 1的方程；
(2)过点 的直线 2与圆 交于 ， 两点，且∠ = 120°，求直线 2的方程．
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16.(本小题15分)
如图，在棱长都为2的平行六面体中，∠ = 60°，点 ′在底面上的投影恰为 与 的交点 ；
(1)求点 到平面 ′ 的距离；
(2)求直线 ′与平面 ′ 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 2， = 3， = ，
点 在线段 上，且 = 3 ．
(1)求二面角 的余弦值；

(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 ， ， ， 四点共面.若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

18.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 2，且 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1．
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的左顶点，若过点(3,0)的直线 与 的右支交于 ， 两点，且直线 ， 与圆 ： 2 + 2 = 2

分别交于 ， 两点，记四边形 的面积为 1，△ 的面积为 2，求
1的取值范围．
2
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系 中，有点 ( 1, 1)， ( 2, 2).若以 轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两
个半平面(如图所示)，则称此时点 ， 在空间中的距离为“点 ， 关于 轴的折叠空间距离”，记为 ( )．
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(1)若点 ， ， 在平面直角坐标系 中的坐标分别为 (1,2)， ( 2,3)， (3, 4)，求 ( )， ( )的值．
(2)若点 ， 在平面直角坐标系 中的坐标分别为 (0, 1)， ( , )，试用文字描述满足 ( ) = √ 2的点
在平面直角坐标系 中的轨迹是什么？并求该轨迹与 轴围成的图形的面积．
2 2
(3)若在平面直角坐标系 中，点 ( 1,3)

是椭圆 + = 1上一点，过点 的两条直线 ， 分别交椭
12 4
圆于 ， 两点，且其斜率满足 + = 0，求 ( )的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( √ 5,√ 5)
1 1
13.【答案】( , , 0)
2 2
√ 5
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)由直线 1过点 且在坐标轴上的截距之和为0，
分两种情况：
①当 1的截距均为0，即直线 1过原点时，设直线 1的方程为： =
代入点 (1,3)，解得 = 3，
∴直线 1的方程为 = 3 ；

②当 1截距不为0时，设直线 1的方程为： + = 1( ≠ 0)，
点入点 (1,3)，解得 = 2，
∴直线 1的方程为 + 2 = 0；
综上所述，直线 1的方程为 = 3 或 + 2 = 0；
(2)由过点 的直线 2与圆 交于 ， 两点，且∠ = 120°，圆 (0,2)的半径为2，
∴圆心到直线 2的距离为1．
①当直线 2的斜率不存在时，直线 2的方程为： = 1，符合题意；
②当直线 2的斜率存在时，设直线 2方程为： = ( 1) + 3即 + 3 = 0，
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|1 |
又∵圆心到直线 2的距离为 = = 1解得 = 0， √ 2+1
直线 2的方程为： = 3；
综上所述，直线 2的方程为 = 1或 = 3．
16.【答案】解：(1) ∵ 1 1 1 1为平行六面体，∴底面 为菱形，可得 ⊥ ，
又点 ′在底面上的投影恰为 与 的交点 ，
∴ ， ， ′两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 、 、 ′所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐
标系，
则 (0,0,0), (√ 3, 0,0), (0,1,0), ( √ 3, 0,0), (0, 1,0), ′(0,0,1)
= ( 2√ 3, 0,0), = ( √ 3, 1,0), ′ = ( √ 3, 0,1)．
设平面 ′ 的法向量为 = ( , , )，
= √ 3 + = 0
由{ ，取 = 1，得 = (1, √ 3,√ 3)，
′ = √ 3 + = 0
又 = ( 2√ 3, 0,0)，
| | 2√ 21
∴点 到平面 ′ 的距离 = = ；
| | 7
(2)设直线 ′与平面 ′ 所成角为 ，平面 ′ 的法向量为 = ( , , )，
又 = (0,2,0), ′ = ′ = ( √ 3, 0,1)
= 2 = 0
则{ ，取 = 1，得 = (1,0, √ 3)，
′ = √ 3 + = 0
又 ′ = + ′ = ( 3√ 3, 0,1)，

| ′| √ 21∴ = |cos ′ | = = ．
| | | ′| 14
故直线 ′与平面 ′ 所成角的正弦值为√ 21．
14
17.【答案】解：(1)因为 ⊥平面 ，
以点 为坐标原点，平面 内与 垂直的直线为 轴， ， 方向为 轴， 轴正方向，建立空间直角坐
标系 ，如图所示，
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易知： (0,0,0)， (0,0,2)， (2,2,0)， (0,2,0)，
2 2 4由 = 3 可得点 的坐标为 ( , , )，
3 3 3
由 = 可得 (0,1,1)，
设平面 的法向量为： = ( , , )，
2 2 4
则{ ⊥
= + + = 0，则{ 3 3 3 ，
⊥ = + = 0
令 = 1，则 = 1， = 1，
所以平面 的一个法向量为 = (1,1, 1)，
易知平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
1 √ 3
cos , = = = ，
| |×| | √ 3×1 3
二面角 的平面角为锐角，
√ 3
故二面角 的余弦值为 ．
3
(2)已知 (0,0,2)， (2, 1,0)，设 = , (0 ≤ ≤ 1)，
可得 (2 , , 2 2 )，则 = (2 , , 2 2 )，
由(1)得平面 的一个法向量为 = (1,1, 1)，
令 = 0，
即2 2 + 2 = 0，
2
解得 = ，
3
2
故线段 上存在一点 ，当 = 时，可使 ， ， ， 四点共面．
3
18.【答案】解：(1)考虑右焦点到一条渐近线的距离，
由题可知 的一条渐近线方程为 = 0，右焦点为( , 0)，
| |
∴右焦点到渐近线的距离 = = = 12 ， √ + 2
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2
由离心率 = = √ 2，有√ 2+ = = 1√ 2，解得 ，

∴双曲线 的方程为 2 2 = 1．
(2)设直线 的方程： = + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2 = 1
由{ ( 2 1) 2 + 6 + 8 = 0，
= + 3
因为直线 与双曲线 的右支交于两点，
= (6 )2 4( 2 1) × 8 = 4 2 + 32 > 0恒成立，
8
= < 0
还需{ 1 2 2 1 ，解得 1 < < 1，
2 1 ≠ 0
∵ 点坐标为( 1,0)，

∴ 1 2 1 2 = = 1+1 2+1 ( 1+4)( 2+4)
1 = 2
2 ， 1 2+4 ( 1+ 2)+16
6 8
将 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 代入， 1 1
8
2
得 =
1

2
8 6
+4 +16
2 1 2 1
8 1
= 2 2 2 = ， 8 24 +16 16 2
设 ： = 1 1， ： = 2 1，且| 1| > 1，| 2| > 1，
1 1 1
∴ = ，即 1 2 = 2，故| 1| | 2| = 2， 1 2 2
2
∵ | 2| = > 1，∴ 1 < | 1| < 2， | 1|
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2 2 = 1
由{ ( 2 1) 2 2 = 0，
= 1 1
1 1
2 2
∴ =
1 2
2 ，同理可得 = 1 2 ， 1 2 1
2 + 2 = 1
由{ ( 2 + 1) 2 2 = 0，
= 1 1
1 1
2
∴ = 1
2 2
2 ，同理可得 = 2 ， 1+1 2+1
1
△ | || |sin∠ | || |∴ = 21 = △ | || |sin∠ | || |
2
2 2 2
2
1

2 2 1

= = 2
1 1 1 ( 1+1)( 2+1)
2 2 = 2 2 1 ( 1 1)(
2
2 1)
22+1
2
1+1
2 2 2 2 2 2
= 1
2+ 1+ 2+1 5+( 1+ 2)
2 2 2
= ，
1 2 1
2
2+1 5 (
2
1+
2
2)
令 = 21 +
2
2，由| 1| | 2| = 2，1 < | 1| < 2，
= 2
4
得 1 + 2， ∈ [4,5)， 1

∴ △
5+ 10
= = 1， ∈ [4,5)，
△ 5 +5
10
令 ( ) = 1， ∈ [4,5)，
+5
∵ ( )在区间[4,5)上为增函数，所以 ( )的取值范围为[9,+∞)，
1 ∵ = = △
△
，
2 △

∴ 1的取值范围为[8,+∞)．
2
19.【答案】解：(1)若点 ， ， 在平面直角坐标系 中的坐标分别为
(1,2)， ( 2,3)， (3, 4)，
如图建立空间直角坐标系，则点 ， ， 在空间中的坐标分别为 ′(0,1,2)，
′(0, 2,3)， ′(4,3,0)，
∴ ( ) = √ (0 0)2 + ( 2 1)2 + (3 2)2 = √ 10；
( ) = √ (0 4)2 + ( 2 3)2 + (3 0)2 = 5√ 2；
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(2)由题意可知，点 在空间中的坐标分别为 ′(1,0,0)，对 点分类讨论，
①当点 在 轴的下半平面，即 < 0时，点 在空间中的坐标为 ′( , , 0)，
∴ ( ) = √ 2 + ( + 1)2 = √ 2，化简得： 2 + ( + 1)2 = 2( < 0)，
因此在平面直角坐标中，
点 在 轴下半平面的轨迹为以(0, 1)为圆心，以√ 2为半径的圆的一部分．
②当点 在 轴的上半平面，即 ≥ 0时，点 在空间中的坐标为 ′(0, , )，
∴ ( ) = √ 1 + 2 + 2 = √ 2，化简得： 2 + 2 = 1( ≥ 0)，
因此在平面直角坐标中，点 在 轴上半平面的轨迹为以(0,0)为圆心，以1为半径的半圆．
3
∴点 的轨迹为半圆： 2 + 2 = 1( ≥ 0)与 圆： 2 + ( + 1)2 = 2( < 0)的组合曲线(如图)，
4
1 3 1
其与 轴围成的图形的面积为： = 12 + (√ 2)2 + √ 2 √ 2 = 2 + 1．
2 4 2
(3)①当直线 不与 轴垂直时，设直线 的方程为： = + ，
3 3
( 1, 1), ( 2, 2),
1 2
= , = ， 1+1 2+1
= +
联立方程{ 2 2 (3 2 + 1) 2 + 6 + 3 2 12 = 0，
+ = 1
12 4
= 144 2 12 2 + 48 > 0
6 1 + 2 = 3 2+1 ，
3
2 12
1 2 ={ 3 2+1
3 3
∵ + = 0，∴
1 + 2 = 0， 1+ +1 2+ +1
代入韦达定理可得：3 2 + ( + 4) + + 1 = 0，即( + 1)(3 + + 1) = 0，
化解可得 = 1或3 + + 1 = 0，
当3 + + 1 = 0时，直线 经过点 ，故舍去．
2 < 16
3
∴ = 1则 1 + 2 = 2 ，
3 2 12
{ 1 2 = 4
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当点 ， 在 轴的同侧时，即 1 2 ≥ 0时，则4 ≤
2 < 16，
√ 6
( ) = √ ( 2 21 2) + ( 1 2) = √ 2| 1 2| = × √ 16 2 ∈ (0,3√ 2]； 2
当点 ， 在 轴的异侧时，即 1 2 < 0时，则0 ≤
2 < 4，
( ) = √ ( 2 2 2 2 2 2 21 2) + 1 + 2 = √ ( 1 2) + 1 + 2 = √ 2( 1 + 2) 6 1 2
√ 9
2 3
= 2 (3 2 12) = 3√ 2．
4 2
②当直线 与 轴垂直时， + = 0显然不成立．
综上所述： ( ) ∈ (0,3√ 2]；
故 ( )的最大值为3√ 2．
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