吉林省长春市第十一中学2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省长春市第十一中学 2023-2024 学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{ |( 2)( 1) = 0}的元素之和为1，则实数 所有取值的集合为( )
A. {0} B. {1} C. { 1,1} D. {0, 1,1}
2.已知函数 = ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = + ，当 < 0时， ( )的表达式为( )
A. + B. C. + D.
3.如图所对应的函数的解析式可能是( )
A. ( ) = ( 1)ln| |
B. ( ) = | |
C. ( ) = ( 1)
D. ( ) = ( 1) ( ≠ 0)
4.若角 的终边经过点 ( 1,2 )，且 ∈ (0, )，则 =( )
5 2
A. B. C. D.
6 3 6 3
5.若 = 0.20.3， = 0.30.2， = log0.50.3，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
6.已知函数 ( ) = | | ( ) ( ≈ 2.718)有两个零点 1， 2，则有( )
A. 1 2 < 0 B. 1 2 = 1 C. 1 2 > 1 D. 0 < 1 2 < 1
7.定义域和值域均为[ , ](常数 > 0)的函数 = ( )和 = ( )图象如图所示.给出下列四个命题，那么，
其中正确命题是( )
A. 方程 [ ( )] = 0有且仅有三个解 B. 方程 [ ( )] = 0有且仅有三个解
C. 方程 [ ( )] = 0有且仅有九个解 D. 方程 [ ( )] = 0有且仅有九个解
8.已知函数 ( ) = ( 2 2 ) ( 1 + 1 )，则满足不等式 (2 ) < (4)的 取值范围为( )
A. ( ∞, 2) B. ( 1,2) C. (2,+∞) D. (1,2)
第 1 页，共 9 页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的有( )
A. 若 > ，则 2 > 2
B. 若集合 = { 1,2}， = { | + 2 = 0}，且 ，则实数 的取值所组成的集合是{ 1,2}
1
C. 若不等式 2 + + > 0的解集为{ |1 < < 3}，则不等式 2 + + < 0的解集为{ | < 或 > 1}
3
D. 已知函数 = ( + 1)的定义域是[ 2,3]，则 = ( 1)的定义域是[0,5]
10.下列式子成立的有( )
23 17
A. sin( ) > sin( ) B. cos( ) > cos( )
18 10 5 4
1 1
C. sin > D. 1 < 2
2 2
2
11.已知函数 ( ) = 1 ，则下列结论正确的是( )
1
A. ( )的单调递增区间是(0,1)，(1,+∞)
B. ( )的值域为
C. (log20232024) + (log20242023) = 1
+1
D. 若 ( ) = ， ∈ (0,1)， ∈ (0,+∞)，则
= 1
1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.若 > 0，使2 + 取得最小值时 的值为______．
3 +2
13.命题任意“ ∈ [1,3]， ≤ 2 + 2 ”为假命题，则实数 的取值范围是______．
14.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 ( 4) = ( )，且 ∈ [0,2]时， ( ) = log2( + 1)，给出下列结论：
① (3) = 1；②函数 ( )在[ 6, 2]上是增函数；③函数 ( )的图象关于直线 = 1对称；④若 ∈ (0,1)，
则关于 的方程 ( ) = 0在[ 8,16]上的所有根之和为12．
则其中正确的命题为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在平面直角坐标系 中，点 到点(√ 3, 0)的距离与到直线 = √ 3的距离相等，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)直线 与 相切于点 ，若点 的纵坐标为2，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( 2).
第 2 页，共 9 页
(1)若曲线 = ( )在 = 1处的切线与 轴垂直，求 = ( )的极值．
(2)若 ( )在(0,+∞)只有一个零点，求 ．
17.(本小题15分)
+
△ 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知 = ．
2
(1)求 的大小；
(2)若△ 为锐角三角形，且 = 4，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，菱形 的边长2，∠ = 60°， = 3．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若点 ， 分别在线段 ， 上，且平面 ⊥ ，求线段 的长度．
19.(本小题17分)
学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛．
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题 1， 2(判断对错)和4道连线题(由电
脑随机打乱给出的四个数学定理 1， 2， 3， 4和与其相关的数学家 1， 2， 3， 4，要求参赛者将它们
连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题)，要求参赛者全都作答，若有
4道或4道以上答对，则该选手挑战成功．
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主
选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的2 个人平均分成 组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同
时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这 个小组都闯关成功，则该班级挑战
成功．
方式二：将班级选派的2 个人平均分成2组，每组 人，电脑随机分配给同组 个人一道相同试题，各人同时
独立答题，若这 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战
第 3 页，共 9 页
成功．
(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的
概率．
(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 1并且配对正确 1与 1，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战
成功的概率．
(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 (0 < < 1)，为使本班团
队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 6 2
12.【答案】
3
5
13.【答案】{ | > }
2
14.【答案】①④
15.【答案】解：(1)设 ( , )，
因为点 到定点(√ 3, 0)与定直线 = √ 3的距离相等，
所以 点轨迹为开口向右的抛物线，且 = 2√ 3，
则 点轨迹方程为 2 = 4√ 3 ，
即 的方程为 2 = 4√ 3 ；
(2)设 ( 0, 2)，
因为点 在 上，
√ 3
解得 0 = ， 3
设直线 的方程为 √ 3 = ( 2) + ，
3
√ 3
= ( 2) +
联立{ 3 ，消去 并整理得 2 4√ 3 + 8√ 3 4 = 0，
2 = 4√ 3
因为直线 与 相切，
所以 = 48 2 32√ 3 + 16 = 0，
第 5 页，共 9 页
因为48 2 32√ 3 + 16 = 16(√ 3 1)2，
√ 3
所以 = ．
3
故 的方程为√ 3 + 1 = 0．
16.【答案】解：(1) ′( ) = 2 + ( 2 ) = + 3 2，
所以 ′( 1) = 3 ，因为曲线 = ( )在 = 1处的切线与 轴垂直，
所以 ′( 1) = 3 = 0，解得 = 0，
所以 ( ) = ， ′( ) = ( + 1) ，
当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 1,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
1
所以 ( )在 = 1处取得极小值为 ( 1) = ，无极大值．

(2)若 ( ) = ( 2)在(0,+∞)只有一个零点，即函数 ( ) = 2在(0,+∞)只有一个零点，

即方程

2 = 0在(0,+∞)只有一个根，即 = 在(0,+∞)只有一个根，
2

即函数 = 与 ( ) = 2的图象在(0,+∞)只有一个交点，
2 2 ( 2)
′( ) = 4 = 3 ，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (2,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2
所以 ( ) = (2) = ，当 → 0时， ( ) → +∞，当 → +∞时， ( ) → +∞， 4

所以要使函数 = 与 ( ) = 2的图象在(0,+∞)只有一个交点，
2
则 = ．
4
+
17.【答案】解：(1)由题设及正弦定理得 = ，
2
∵ ≠ 0，
第 6 页，共 9 页
+
∴ sin = ，
2
+
∵ sin = sin( ) = cos ，又 = 2 cos ，可得cos = 2 cos ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2

又∵ cos ≠ 0，
2
1
∴化简得sin = ，
2 2
∵ 0 < < ，

则0 < < ，可得 = ，
2 2 2 6

∴ = ；
3
(2)由(1)知 = 60°，又 = 4，
1
∴ = = √ 3 ， 2

sin( + )
由正弦定理 = ，可得 = = 4 3
2√ 3 +2 2√ 3
= = + 2，

∵△ 为锐角三角形，
2
∴ 0 < = < ，
3 2

∴ < < ，
6 2
√ 3 1 2√ 3
可得 ∈ ( , +∞)，由 ∈ (0, √ 3)，可得 ∈ (0,6)，
3
∴ 2 < < 8，
从而2√ 3 < < 8√ 3，即△ 面积的取值范围是(2√ 3, 8√ 3)．
18.【答案】解：(1)过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
所以直线 与平面 所成角为∠ ，
由已知四边形 为菱形， = 2，∠ = 60°，
所以△ 为边长为2的等边三角形，故 BH= √ 3，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
第 7 页，共 9 页
所以 ⊥ ，又 = 3， = 2，
所以 = √ 13，
在△ 中， = √ 13， = √ 3，∠ = 90°，
所以 √ 39sin∠ = = ，
13
√ 39
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
13
(2)连接 ，点 为线段 的中点，
由已知△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，又 // ，
所以 ⊥ ，又 ⊥平面 ，
以点 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,0,3)， (√ 3, 1,0)， (0,2,0)，
故 = (√ 3, 1, 3)，
设 = ，则 = + = (0,0,3) + (0,2, 3) = (0,2 , 3 3 )，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，故 = 0，
所以√ 3 × 0 + 1 × 2 + ( 3)(3 3 ) = 0，
9
所以 = ，
11
所以
18 6
= (0, , )，
11 11
所以 18 6 6√ 10 = | | = √ ( )2 + ( )2 = ．
11 11 11
所以线段 的长度为6√ 10．
11
19.【答案】解：(1)记事件 为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，
1 2 1
则所求概率为： ( ) = × 4 = ；
2 44 8
(2)记事件 ：甲同学挑战成功，
1 1×1 1 1 1 1 5
由题所求概率为： ( ) = × 3 + × + ×
2 3 2 3 3
= ；
3 3 2 3 12
(3)设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为 1， 2，
①当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为(1 )2，
则两人中至少有一人回答正确的概率为1 (1 )2，
所以 1 = [1 (1 )
2] = (2 ) ，
第 8 页，共 9 页
②当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为 ，则一个小组闯关不成功的概率为1 ，
所以 2 = 1 (1
)2 = (2 )，
所以 1 =

2 (2 )
(2 ) = [(2 ) + 2]，
构造 ( ) = (2 ) + 2，
则 ( + 1) ( ) = (2 ) +1 + +1 (2 )
= (2 ) (1 ) + ( 1)
= (1 )[(2 ) ]，
因为0 < < 1，则1 > 0，2 > 1，
所以(2 ) > 1， < 1，
所以 ( + 1) ( ) > 0，即 ( + 1) > ( )，所以 ( )单调递增，
又因为 (2) = (2 )2 + 2 2 = 2 2 4 + 2 = 2( 1)2 > 0，
由题 10，所以 ( ) > 0，
从而 1 2 > 0，即 1 > 2，
所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛．
第 9 页，共 9 页