北京市第十九中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市第十九中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 ≤ < 2}， = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0} B. { 2, 1,0,1} C. { 2, 1,0,1,2} D. { | 2 ≤ < 2}
2.命题“ ∈ ，| | + 2 ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ ，| | + 2 < 0 B. ∈ ，| | + 2 ≤ 0
C. ∈ ，| | + 2 ≥ 0 D. ∈ ，| | + 2 < 0
3.下列图象中，表示定义域、值域均为[0,1]的函数是( )
A. B.
C. D.
4.下列命题中正确的是( )
A. 若 > ，则 > B. 若 > ， > ，则 >
1 1
C. 若 > 0， > ，则 < D. 若 > ， > ，则 <

5.下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是( )
1
A. = | | B. = 2 C. = 3 D. =

6.已知集合 = { | 2 2 + 3 = 0, ∈ }，若 中恰有2个元素，则 的取值范围是( )
1 1 1
A. ( ∞, 0) ∪ (0, ) B. {0} C. ( ∞, 0) ∪ (0, ] D. ( ∞, )
3 3 3
7.某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用 (单位：万
800
元)与仓储中心到机场的距离 (单位： )之间满足的关系为 = + 2 + 2000，则当 最小时， 的值为( )

A. 20 B. 20√ 2 C. 40 D. 400
1
8.“ > 1”是“ < 1”的( )

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A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.对 ∈ ，[ ]表示不超过 的最大整数，我们把 ( ) = [ ]， ∈ 称为取整函数，以下关于“取整函数”
的性质叙述错误的是( )
A. ∈ ，[4 ] = 4[ ] + 2
1
B. ∈ ，[ ] + [ + ] = [2 ]
2
C. ， ∈ ，[ + ] ≤ [ ] + [ ]
D. ， ∈ ，[ ] = [ ]，则| | < 1
10.设集合 的最大元素为 ，最小元素为 ，记 的特征值为 = ，若集合中只有一个元素，规定其
特征值为0.已知 1， 2， 3， ， 是集合
的元素个数均不相同的非空真子集，且 + + + 1 2 3
+ = 62，则 的最大值为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
1
11.函数 ( ) = + √ 1的定义域为______．
2
12.绝对值不等式| 2| ≥ 1的解集为______．
13.已知函数 = ( )的图象如图所示，则 ( (0) + 2)的值为______．
2 + , 2 ≤ ≤ 1
14.已知函数 ( ) = {1 .若 = 0，则 (1) = ______；若 ( )的值域是[ , 2]，则实数 的
, < ≤ 3 4

取值范围是______．

15.函数 ( ) = ( ∈ )，给出下列四个结论
1+| |
① ( )的值域是( 1,1)；
( ) ( )
②任意 1， 2 ∈ 且 1 ≠ 2，都有
1 2 > 0；
1 2
( )+ ( ) +
③任意 1， 2 ∈ (0, +∞)且 1 ≠ ，都有
1 2 > ( 1 22 )； 2 2
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1 1
④规定 1( ) = ( )， +1( ) = ( ( ))，其中 ∈
，则 10( ) = ． 2 12
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知全集 = ， = { | ≥ 2}， = { | 2 8 + 7 ≤ 0}， = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}．
(Ⅰ)求 ∩ ， ∪ ；
(Ⅱ)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题10分)

已知函数 ( ) = 2 ( 2 < < 2)． 4
(1)证明： ( )为奇函数；
(2)用定义证明： ( )在区间( 2,2)上是减函数；
(3)解不等式 (2 1) + ( ) < 0．
18.(本小题10分)
已知二次函数 ( )的最小值为1，且 (0) = (2) = 3．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( )在区间[2 , + 1]上不单调，求实数 的取值范围；
1
(3)当 ∈ [ , 2]时， ( ) > 4 + 1恒成立，求实数 的取值范围．
2
19.(本小题10分)
若函数 ( )的定义域为 .集合 ，若在非零实数 使得任意 ∈ 都有 + ∈ ，且 ( + ) > ( )，则
称 ( )为 上的 增长函数．
3
(1)已知函数 ( ) = ，函数 ( ) = 2，判断 ( )和 ( )是否为区间[ 1,0]上的 增长函数，并说明理由；
2
(2)已知函数 ( ) = | |，且 ( )是区间[ 4, 2]上的 增长函数，求正整数 的最小值；
(3)如果 ( )的图像关于原点对称，当 ≥ 0时， ( ) = | 2| 2，且 ( )为 上的4 增长函数，求实数
的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[1,2) ∪ (2, +∞)
12.【答案】( ∞, 1] ∪ [3, +∞)
13.【答案】0
1
14.【答案】1 [ , 1]
2
15.【答案】①②④
16.【答案】解：(Ⅰ) ∵全集 = ， = { | ≥ 2}， = { | 2 8 + 7 ≤ 0} = { |1 ≤ ≤ 7}，
∴ ∩ = { |2 ≤ ≤ 7}，
= { | < 1或 > 7}，
∴ ∪ = { | < 1或 ≥ 2}；
(Ⅱ) ∵ ∩ = ，∴ ，
∴当 = 时， 1 > 2 + 1，解得 < 2；
1 ≤ 2 + 1
当 ≠ 时，{ 1 ≥ 1 ，解得2 ≤ ≤ 3；
2 + 1 ≤ 7
综上：实数 的取值范围{ | < 2或2 ≤ ≤ 3}．
17.【答案】解：(1)证明：任取 ∈ ( 2,2)，

则 ( ) = 2 = ( )，所以 ( )是奇函数； 4
(2)证明：设 1 < 2，且 1， 2是( 2,2)上的任意两个实数，
则4 1 2 > 0，
2
1 4 < 0，
2
2 4 < 0， 1 2 < 0，
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1 2 (4 1 2)( )则 ( 1) ( ) = =
1 2
2 2 4 2 4 ( 2
< 0，
1 2 1 4)(
2
2 4)
即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在区间( 2,2)上是减函数；
(3)解：不等式 (2 1) + ( ) < 0化为 (2 1) < ( ) = ( )，
又 ( )在区间( 2,2)上是减函数，
2 1 >
1 3
所以{ 2 < 2 1 < 2，解得 < < ，
3 2
2 < < 2
1 3
故原不等式解集为{ | < < }.
3 2
18.【答案】解：(1)二次函数 ( )的最小值为1，且 (0) = (2) = 3．
由 (0) = (2) = 3，则二次函数 ( )的对称轴 = 1，
由二次函数 ( )的最小值为1，则其顶点为(1,1)，
可设二次函数 ( ) = ( 1)2 + 1，由 (2) = + 1 = 3，则 = 2，
所以 ( ) = 2( 1)2 + 1．
2 < 1 1
(2)由题意可得1 ∈ [2 , + 1]，则{ ，解得0 < < ，
1 < + 1 2
1
故 的范围为{ |0 < < }；
2
(3)由不等式 ( ) > 4 + 1，整理可得 2 2( + 1) + 1 > 0，
令 ( ) = 2 2( + 1) + 1，则其对称轴 = + 1，
1 3 1
①当 + 1 ≤ ，即 ≤ 时， ( )在[ , 2]上单调递增，
2 2 2
1 9
则 ( ) = ( ) = + ， 2 4
9 9 9 3
令 + > 0，解得 > ，可得 < ≤ ；
4 4 4 2
1 3
②当 < + 1 < 2，即 < < 1，
2 2
1
( )在[ , + 1]上单调递减，在[ + 1,2]上单调递增，
2
( ) = ( + 1) = 2
2，
3
令 2 2 > 0，解得 2 < < 0，可得 < < 0；
2
1
③当 + 1 ≥ 2，即 ≥ 1时， ( )在[ , 2]上单调递减，
2
( ) = (2) = 1 4 ，
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1
令1 4 > 0，解得 < ，此时 无解；
4
9
综上所述， 的范围为{ | < < 0}.
4
3
19.【答案】解：(1) ( ) = 是区间[ 1,0]上的 增长函数，理由如下：
2
3 3 3
因为 ∈ [ 1,0]， ( + ) ( ) = ( + ) = > 0；
2 2 2
( ) = 2
3
不是区间[ 1,0]上的 增长函数，理由如下：
2
3 1 1
反例：当 = 1时， ( 1 + ) = ( ) = < ( 1) = 1．
2 2 4
(2)由题意得，| + | > | |对于 ∈ [ 4, 2]恒成立，
等价于 2 + 2 + 2 > 2，即2 + 2 > 0对 ∈ [ 4, 2]恒成立，
令 ( ) = 2 + 2，因为 > 0，所以 ( )是区间[ 4, 2]上单调递增的一次函数，
要保证2 + 2 > 0对 ∈ [ 4, 2]恒成立，则 ( ) > 0，
即 ( 4) = 8 + 2 > 0，解得 > 8，
所以满足题意的最小正整数 为9．
(3)根据题意，当 > 2时， ( ) = 2 2，当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = ，
因为 ( )的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
2 2, > 2
所以 ( ) = { , 2 ≤ ≤ 2，
+ 2 2, < 2
若 ( )是 上的4 增长函数，则对任意的 ，都有 ( + 4) > ( )，
因为 ( + 4)是将 ( )向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以2 2 4 < 2 2，解得 1 < < 1，
所以实数 的取值范围为( 1,1)．
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