江苏省南京航空航天大学苏州市附中2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省南京航空航天大学苏州市附中 2024-2025 学年高二上学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程 2 + 2 + 2 + 3 = 0表示圆，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2√ 3) ∪ (2√ 3, +∞) B. ( 2√ 3, 2√ 3)
C. ( ∞, 2√ 2) ∪ (2√ 2, +∞) D. ( 2√ 2, 2√ 2)
2.直线√ 3 + 4 = 0的倾斜角量( )
A. 60° B. 120° C. 150° D. 30°
3.在 和 两个数之间插入 个数，使它们与 、 组成等差数列，则该数列的公差为( )
+
A. B. C. D.
+1 +1 +2
4.若直线 + 4 2 = 0与2 5 + = 0互相垂直，垂足为(1, )，则 + 的值为( )
A. 20 B. 4 C. 12 D. 4

5.已知直线 ： + = 1及圆 ： 2 + 2 6 2 + 2 = 0，则“ = 8”是“直线 与圆 相切”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知递增等差数列{ }中， 6 = 18且 2是 1， 4的等比中项，则它的第4项到第11项的和为( )
A. 180 B. 198 C. 189 D. 168
7.《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，
小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边
打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”.如果墙厚20尺，
则这两只老鼠相逢所需天数至少为( )
A. 4天 B. 5天 C. 6天 D. 7天
2 2
8.已知椭圆 ： + = 1，设点 的轨迹为曲线 ，已知点 (1, √ 3)与点 ( 4,0)，则| | + | |的最小
25 9
值为( )
A. 2√ 3 B. 2√ 7 C. 10 2√ 3 D. 10 2√ 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知椭圆 ： 2 + = 1，则( )
26
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A. 的焦点在 轴上 B. 的焦距为10
5√ 26
C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的5倍
26
10.已知圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 25，直线 ：(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0，下列叙述正确的为( )
1
A. 直线 恒过定点(3,1) B. 直线 被圆所截得的弦最长时， =
3
C. 直线 被圆所截得的弦中最短弦长为4√ 5 D. 直线 可能与圆 相离

11.设数列{ }的前 项和为 ，若

= ，则称数列{ }是数列{ }的“均值数列”.已知数列{ }是数列
+1
{ }的“均值数列”，且 = ，则下列结论正确的是( ) 2
5
A. 5 = 16
11
B. 若数列{ }的前 项和为 ，则 5 = 4
C. { }是递减数列
1 3
D. 若对任意的 ∈ ，4 2 ≥ 恒成立，则 的取值范围是( ∞, ] ∪ [ , +∞) 2 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
12.已知椭圆的方程为25 2 + 4 2 = 100，则它的焦点坐标为______．
13.已知数列{ }的前 项和为 ， = 2( + 1)，则满足 = 126的正整数 的值为______．
2 2
14.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别是 1， 2， ， 是椭圆上两点，四边形 1 2为
4
矩形，延长 2交椭圆 于点 ，若| | = | 2|，则椭圆 的离心率为______． 3
15.已知数列{ 2 }前项 和 = + 4 ( ∈ )，数列{ }为等比数列，首项 1 = 2，公比为 ( > 0)，且
满足 2， 3 + 4 ， 4成等差数列．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
3(
(2)设 =
3)
，记数列{ }的前 项和为 ，求 ． 4
四、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
圆 2 + 2 = 8内有一点 ( 1,2)， 为过点 且倾斜角为 的弦．
3
(1)当 = 时，求 的长；
4
(2)当弦 被点 平分时，写出直线 的方程．
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17.(本小题12分)
已知圆 过 (2, 4)， ( 2, 2)两点，且圆心 在直线 + 4 6 = 0上．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (7, 1)作圆 的切线，求切线方程．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，已知点 ( 1,0)， (1,0)，动点 满足条件：△ 的周长为2 + 2√ 2，记动点 的
轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
4√ 2
(2)设过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，如果| | = ，求直线 的方程．
3
19.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (3,0)，且该椭圆过点(2√ 3, √ 3)，直线 交椭圆 于 ， 两
点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 方程为 = ( 3)( ≠ 0)，过 、 作直线 ： = 6的垂线，垂足分别为 、 ，点 为线段 的
中点，求证：四边形 为梯形．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0, √ 21)，(0, √ 21)
13.【答案】6
√ 2
14.【答案】
2
15.【答案】解(Ⅰ)当 = 1时， 1 = 1 = 5．
当 ≥ 2时， = 1 = 2 + 3
验证 = 1时也成立．∴数的通项公式为： = 2 + 3，
∵ 2， 3 + 4 ， 4成等差数列， 1 = 2．
所以2( 3 + 4 ) = 2 + 4，
即 2 2 3 = 0，
因为 > 0，
∴ = 3．

∴ { 1
= 2
= 3
∴数的通项公式为： = 2 3 1．
3( 3)
(Ⅱ) ∵ =
= 3
4
∴ 1 2 = 1 + 2 + + = 1 3 + 2 3 + + 3
①
3 = 1 3
2 + 2 33 + + 3 +1②
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① ②得：
(2 1)3 +1+3
= 4
16.【答案】解：(1)圆 2 + 2 = 8的圆心 (0,0)，半径 = 2√ 2，
3 3
因为 = ，所以直线 的斜率
4
= tan = 1，
4
所以 ： 2 = ( 1) × [ ( 1)]，即 ： + 1 = 0，
|0+0 1| √ 2
所以圆心 到 的距离 = = ，
√ 12+12
2
1
所以| | = 2√ 2 2 = 2√ 8 = √ 30；
2
(2)因为弦 被 平分，所以 ⊥ ， ( 1,2)，
1 1
又因为 = 2，所以 = = ， 2
1
所以弦 所在的直线方程为： 2 = [ ( 1)]，
2
即 2 + 5 = 0．
17.【答案】解：(1)已知圆 过 (2, 4)， ( 2, 2)两点，且圆心 在直线 + 4 6 = 0上，
由已知 (2, 4)， ( 2, 2)，
2+4 1
则其中点为(0, 3)， = = ， 2 2 2
所以 中垂线的斜率 = 2，
则 中垂线为 ： = 2 3，所以点 在 上，
又点 在直线 + 4 6 = 0，
= 2 3 = 2
联立{ ，解得{ ，即 (2,1)，
+ 4 6 = 0 = 1
半径 = | | = √ (2 2)2 + (1 + 4)2 = 5，
所以圆 的方程为( 2)2 + ( 1)2 = 25；
(2)过点 (7, 1)作圆 的切线，
由(1)得 (2,1)， = 5，
当过点 的切线斜率不存在时，直线为 = 7，与圆 相切；
当过点 的斜率存在时，设切线方程为 + 1 = ( 7)，即 7 1 = 0，
|2 1 7 1|
圆心 (2,1)到切线的距离 = = 5，
√ 2 2 +( 1)
21
解得 = ，
20
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21
所以直线方程为 + 1 = ( 7)，即21 20 167 = 0；
20
综上所述，切线方程为 = 7或21 20 167 = 0．
18.【答案】解：(1)设点 的坐标是 ( , )，
∵△ 的周长为2 + 2√ 2，| | = 2，
∴ | | + | | = 2√ 2 > 2．
∴由椭圆的定义知，动点 的轨迹是以 、 为焦点，长轴长为2√ 2的椭圆(除去与 轴的两个交点)．
∴ = √ 2. = 1， 2 = 2 2 = 1，
2
∴曲线 的方程为 + 2 = 1( ≠ 0)．
2
(2)易知直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 = + 1，
2
与 + 2 = 1联立化简得，
2
( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0，
2 1
由韦达定理得： 1 + 2 = 2 , 1 2 = ， +2 2+2
∴ | | = √ 1 + 2| 2
2 2
1| = √ 1 + √ ( 2 1) 4 1 2
2 1 2√ 2( 2+1) 4√ 2
= √ 1 + 2 √ ( 2
2
) 4(
+2 2
) = 2 = ， +2 +2 3
解得 = ±1，
∴直线 的方程为 = ± + 1，
即 + 1 = 0或 1 = 0．
= 3
12 3
19.【答案】解：(1)设椭圆半焦距为 ，由题意可得{ 2 + 2 = 1 ，
2 = 2 + 2
2 2 2
解得{ = 18
2
，所以椭圆 的标准方程为： + = 1．
= 9 18 9
+
(2)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 (6, 1), (6,
1 2
2), (6, )， 2
= ( 3)
联立{ 2 2 2 ，消去 得(2 + 1) 2 12 2 + 18 2 18 = 0，
+ = 1
18 9
2 2
12 18 18
所以 1 + 2 = 2 , 1 2 = ， 2
2 +1 2 +1
+
1 22 1 2 2 1 2 = = 3 1 6 3 2( 1 6)
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( 2 3) ( = 1
2) 2 9( = 1 2 1
+ 2)+36
3 2( 1 6) 6( 1 6)
18 2 18 12 2
2× 2 9× 2 +36
= 2 +1 2 +1 = 0，
6( 1 6)
所以 = ， // ，而 与 不平行，所以四边形 为梯形．
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