海南省海口市某校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

海南省海口市某校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 ≤ 0}， = { | 2 + 2 3 < 0}，则集合 ∪ =( )
A. ( 1,2] B. ( 3,1) C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 3]
2.已知函数 = ( )的对应关系如表，函数 = ( )的图象如图，则 [ (1)]的
值为( )
1 2 3
( ) 2 3 0
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
1
0 1 1 1A. = 1与 1 = 0 B. 8 3 = 与 8 = 2 2 3
1
C. log39 = 2与92 = 3 D. log
1
77 = 1与7 = 7
4.已知 = 0.910.92， = 0.910.91， = 0.920.91，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
2
5.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，且当 ≤ 0时， ( ) = + 2，则 (1) =( ) 2
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
1 1
6.四个指数函数 = 2 ， = 3 ， = ( ) ， = ( ) 的图象如图所示，则下列结论
2 3
正确的是( )
1 1
A. 图象①，②，③，④对应的函数依次为 = ( ) ， = ( ) ， = 2 和 = 3
2 3
1 1
B. 图象①，②，③，④对应的函数依次为 = ( ) ， = ( ) ， = 2 和 = 3
3 2
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1 1
C. 图象①，②，③，④对应的函数依次为 = ( ) ， = ( ) ， = 3 和 = 2
3 2
1 1
D. 图象①，②，③，④对应的函数依次为 = ( ) ， = ( ) ， = 3 和 = 2
2 3
7.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，若 ( )在区间(0,+∞)上单调递增，且 (2) = 0，则满足 ( ) < 0的
的取值范围是( )
A. ( ∞, 2) ∪ (0,2) B. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞)
C. ( 2,0) ∪ (0,2) D. ( 2,0) ∪ (2, +∞)
( 2 + 5) 2, ≥ 1
8.已知函数 ( ) = {

在( ∞, +∞)上是增函数，则 的取值范围为( )
3, < 1
5 5
A. (1, ) B. (1,2) C. [2, ) D. (1,2]
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 至少有一个实数 ，使 2 + 1 = 0
1 1
B. “ > > 0”是“ < ”的充分不必要条件

C. 命题 ： ∈ ， 2 > 0，则￢ ： ∈ ， 2 < 0
1
D. “集合 = { | 2 + + 1 = 0}”中只有一个元素是“ = ”的必要不充分条件
4
10.下列函数既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是( )
A. ( ) = 2| |
1 2
B. ( ) = 2 C. ( ) = D. ( ) = 2 +2

11.已知实数 > 1， > 1，且 = + + 3，则( )
A. 的最小值为9 B. 2 + 2的最小值为18
3 1
C. + 的最小值为√ 3 D. + 4 的最小值为12
1 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.若幂函数 = ( )的图像经过点(2, )，则 (5) = ______．
2
3 , ≥ 0
13.设函数 ( ) = { 2 ,则 (2) = ； ( ) ≤ 9则实数 的取值范围是 ． , < 0
5
14.函数 = 2( > 0且 ≠ 1， 1 ≤ ≤ 1)的值域是[ , 1]，则实数 = ______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题12分)
2 1 7
(1)计算：8 43 ( ) 2 ( )0 + √(3 )4；
7 8
√
(2)化简： √4 ( > 0)；
√ 3 1
(3)求式子中的 的值：log2[log3(log4 )] = 0．
16.(本小题12分)
已知函数 = ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 2 .现已画出函数 ( )在 轴左侧的图
象，如图所示．
(1)请补充完整函数 = ( )的图象，并根据图象写出函数 = ( )的单调递增区间及使 ( ) < 0的 的取值
集合；
(2)求出函数 ( )在 上的解析式．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 , ∈ ( 2,2)． 4
(1)判断函数 ( )的奇偶性；
(2)用定义判断函数 ( )在( 2,2)上的单调性；
(3)求不等式 ( ) + (1 2 ) > 0的解集．
18.(本小题12分)
6
已知函数 ( ) = + 3．

(1) ∈ ， ( ) > 0恒成立，求 的取值范围；
(2)若 ( ) < 4的解集为{ |1 < < }，
①求 ， 的值；
②解关于 的不等式 2 ( + ) + < 0．
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19.(本小题12分)
函数 ( ) = + 4， ∈ ．
(Ⅰ)若 ( )为偶函数，求 的值及函数 ( )的最小值；
(Ⅱ)当 ∈ [ 1,1]时，函数 ( )的图象恒在 轴上方，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
5
13.【答案】9；[ 3,2]
1
14.【答案】3或
3
2 1 7 2
15. 4【答案】解：(1)83 ( ) 2 ( )0 + √(3 )4 = (23)3 72 1 + |3 | = 4 49 1 + 3 =
7 8
49；
1 1 3 1
√ √ ( 2)2 ( 2)2
3 1 5
1+
(2)因为 > 0，所以 4 2 44 =√ 3 1 1
= 1 = = ；
( 2)4 2
(3)因为log2[log3(log4 )] = 0，则log3(log4 ) = 1，
可得log4 = 3，所以 = 4
3 = 64．
16.【答案】解：已知函数 = ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时，
( ) = 2 + 2 ．
(1)由题图及 = ( )是定义在 上的奇函数，可得右侧侧图象如下：
所得函数图象知：单调递增区间为( 1,1)，
使 ( ) < 0的 的取值集合为( 2,0) ∪ (2,+∞)．
(2) ∵函数 ( )是定义域为 的奇函数，
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∴ ( ) = ( )．
当 > 0时， < 0，则 ( ) = ( ) = [( )2 + 2( )] = 2 + 2 ．
{
2 + 2 , ≤ 0
综上， ( ) =
2
+ 2 , > 0

17.【答案】解：(1)依题意，函数 ( ) = 2 , ∈ ( 2,2)， 4

( ) = 2 = = ( )，
4 ( ) 4 2
所以 ( )是奇函数．
(2)任取 2 < 1 < 2 < 2，4 + 1 2 > 0, 1 2 < 0,4
2 2
1 > 0,4 2 > 0，
(4 2) (4 2)
( ) ( ) = 1 21 2 2 2 =
1 2 2 1
2 2 4 1 4 2 (4 1)(4 2)
4( 1 2)+ = 1
2( 1 2) (4+ 1 2)( = 1
2) < 0，
(4 21)(4
2
2) (4
2
1)(4
2
2)
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，所以 ( )在( 2,2)上单调递增．
(3)由不等式 ( ) + (1 2 ) > 0可得 (1 2 ) > ( ) = ( )，
2 < 1 2 < 2
1
所以{ 2 < < 2 ，解得 < < 1，
2
1 2 >
1
所以不等式的解集为( , 1)．
2
18.【答案】解：(1)根据题意，可得 ( ) = 2 3 + 6，
若 ( ) > 0对 ∈ 恒成立，则有如下两种情况：
①当 = 0时，不等式化为 3 + 6 > 0，不能恒成立，此种情况不符合题意；
②当 ≠ 0时，{
> 0 3
，解得 > ．
= 9 24 < 0 8
3 3
综上所述， > ，实数 的取值范围为( , +∞)；
8 8
(2)①不等式 ( ) < 4，即 ( ) 4 < 0，可得 2 3 + 2 < 0，
若不等式的解集为{ |1 < < }，
3 2
则 2 3 + 2 = 0的两根分别为1和 ，可得1 + = 且1 × = ，解得 = 1、 = 2．

②根据①的结论，关于 的不等式 2 ( + ) + < 0，
就是 2 ( + 2) + 2 < 0，即( 2)( ) < 0．
( )当 = 2时，不等式可化为( 2)2 < 0，解集为 ；
( )当 < 2时，不等式( 2)( ) < 0的解集为( , 2)；
( )当 > 2时，不等式( 2)( ) < 0的解集为(2, )．
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综上所述：当 = 2时，不等式的解集为 ；
当 < 2时，不等式的解集为( , 2)；当 > 2时，不等式的解集为(2, )．
19.【答案】解：(Ⅰ)若 ( )为偶函数，则 ( ) = ( )恒成立，
即 + 4 = + 4恒成立，
所以(1 ) = (1 ) 恒成立，
所以 = 1，此时 ( ) = + 4 ≥ 2√ 4 = 2，当且仅当 = 0时取等号，
所以 ( )的最小值为 2；
1
(Ⅱ)当 1 ≤ ≤ 1时， = ∈ [ , ]，

因为函数 ( )的图象恒在 轴上方，即 ( ) > 0在[ 1,1]上恒成立，
1
所以 > 4 ( )2 = 4 2在 ∈ [ , ]上恒成立，

根据二次函数的性质可知，当 = 2时，4 2取得最大值4，
故 > 4，
所以 的范围为{ | > 4}．
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