河南省南阳市2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河南省南阳市 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {1,2,3,4,5,6,7}， = {2,4,6}， = {1,3,6,7}，则( ) ∩ =( )
A. {1,3,5} B. {1,3,7} C. {1,5,7} D. {3,5,7}
2.下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
1
A. ( ) = B. ( ) = + 1 C. ( ) = (√ )2 D. ( ) = 3

3.已知命题 ： ∈ ，使√ 2 ≤ ，则￢ 为( )
A. ∈ ，有√ 2 ≥ B. ∈ ，使√ 2 ≥
C. ∈ ，有√ 2 > D. ∈ ，使√ 2 >
4.“方程 2 + 2 1 = 0有实根”的充要条件为( )
A. ∈ [ 1, +∞) B. ∈ ( 1, +∞)
C. ∈ [ 1,0) ∪ (0, +∞) D. ∈ ( 1,0) ∪ (0, +∞)
6 , ≤ 4,
5.已知函数 ( ) = {
3
(其中 > 0且 ≠ 1)，若 ( )在 上单调递增，则实数 的取值范围是
, > 4.
( )
A. (0,1) B. (1, +∞) C. (1,3) D. (1,3]
6.制作一个面积为1 2且形状为直角三角形的铁支架，则较经济(够用，又耗材最少)的铁管长度为( )
A. 4.6 B. 4.8 C. 5 D. 5.2
7.若 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 + 1，则不等式 ( 2) + ( 2 2 ) > 0的
解集为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞) B. ( 1,2)
C. ( ∞, 2) ∪ (1,+∞) D. ( 2,1)
1
1 1
8.设 = [0, ]， = ( , 1], ( ) = { + , ∈ ,2 ，若 ∈ ，且 ( ( )) ∈ ，则 的取值范围为( )
2 2 2 2 , ∈
1 1 1 1 1 1
A. [0, ) B. [0, ] C. [ , ) D. [ , ]
4 4 4 2 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列表述正确的有( )
A. { , } B. ∈ { , } C. = {0} D. {0}
10.若函数 ( )的定义域为 ，对 ， ∈ ，都有 ( + ) = ( ) + ( )成立，且当 > 0时， ( ) < 0，
则( )
第 1 页，共 6 页
A. ( )是 上的增函数 B. ( )是 上的减函数
C. ( )是奇函数 D. ( )是偶函数
11.已知正数 ， 满足 + 2 = ，则下列说法正确的是( )
A. 若 = 0，则 的最大值是8
B. 若 = 0，则 + 3 的最小值是5 + 2√ 6
C. 若 = 6，则 的取值范围是0 < < 2或 > 6
D. 若 = 6，则 3 的取值范围是( ∞, 9) ∪ (6, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.不等式3 2 + 5 > 2的解集为______．
√ +√
13.设 > 0， > 0， > 0且 ≠ 1，已知 + = 7√ ，若 = ( + )，则 = ______． 3
14.若 ∈ ，对 ∈ [0, ]，不等式[( 1)2 ]( ) ≤ 0恒成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
2 1 1 1 1
(1)[1253 + ( ) 2 + 3433]2；
16
2 (2)( 2 + 3) 3
2 3
3 2
2 ．
23 32
16.(本小题15分)
已知集合 = { | < < 2 2}， = (1,5)．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( + 1) = 2 + 3 + 3，函数 ( ) = ( )．

(1)求函数 ( )的解析式；
(2)试判断函数 ( )在区间(0,1]上的单调性，并用函数单调性定义证明．
18.(本小题17分)
1 1
已知关于 的一元二次不等式 2 + + 1 > 0的解集为( , )．
3 4
(1)求 ， 的值；
(2)若关于 的不等式( 2 + 4 + ) 2 4( + 2 ) + 3 > 0的解集为 ，求实数 的取值范围．
第 2 页，共 6 页
19.(本小题17分)
+ + +
平均值不等式 1 2 ≥ √ 1 2 ( 1, 2 , … , ≥ 0，当且仅当 1 = 2 = = 时等号成立)是最基
本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质
分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用．
+
当 = 2时，可得基本不等式 ≥ √ ( , > 0，当且仅当 = 时，等号成立)．
2
+ + 3
当 = 3时，可得 ≥ √ ( , , > 0，当且仅当 = = 时，等号成立)，而利用该不等式我们可以解
3
16
决某些函数的最值问题，例如：求函数 ( ) = 2 + ( > 0)的最小值．

2 16 2 8 8 2 8 8 2 8我们可以这样处理： ( ) = + = + + ≥ 33 = 12，当且仅当 = ，即 = 2时，等号成

16
立，所以 ( ) = 2 + 的最小值为12．

(1)请利用当 = 2时的结论解决下面问题：
已知 > 0， > 0， > 0，求证： + + ≥ √ + √ + √ ；
(2)请利用当 = 3时的结论解决下面问题：
8
①已知 > > 0，求 + 的最小值；
( )
②已知矩形 的周长为6，设 = (0 < < 3)，将其绕 所在直线旋转一周所得圆柱的体积为 ，求
的最大值．
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】( ∞, 2) ∪ ( , +∞)
3
1
13.【答案】
4
√ 5+1
14.【答案】(0, ]
2
2 1 1 1 1
15.【答案】解：(1)[1253 + ( ) 2 + 3433]2
16
1
= (25 + 4 + 7)2
1
= 362
= 6．
2 3
(2)( 2 + 3)2 33 2
2
23 32
= (log 2)2 + 2 + (log 3)23 2 (log 2)
2 (log 3)23 2
= 2．
16.【答案】解：(1)当 = 时， ≥ 2 2，即 1 ≤ ≤ 2时，满足 ；
< 2 2
当 ≠ 时，由 可得{ ≥ 1 ，解得2 < ≤ √ 7，
2 2 ≤ 5
第 4 页，共 6 页
综上所述：实数 的取值范围是 ∈ [ 1, √ 7].
< 2 2
(2)因为 是 的真子集，所以{ ≤ 1 ，解得 ∈ ( ∞, √ 7].
5 ≤ 2 2
17【. 答案】解：(1)设 + 1 = ，则 = 1，所以函数 ( + 1) = 2 + 3 + 3可化为 ( ) = ( 1)2 + 3(
1) + 3 = 2 + + 1，
1 1
所以 ( ) = 2 + + 1，所以函数 ( ) = ( ) = + + 1；

(2)函数 ( )在区间(0,1]上单调递减，证明如下：
1 1 1 1
任取 1、 2 ∈ (0,1]，且 1 < 2，则 ( 1) ( 2) = ( 1 + + 1) ( 2 + + 1) = ( 1 2) + ( ) =1 2 1 2
1 2 1
( 1 2) ， 1 2
0 < 1 < 2 ≤ 1，所以 1 2 < 0，0 < 1 2 < 1， 1 2 1 < 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在(0,1]上单调递减．
1 1
18.【答案】解：(1)由题可知 2 + + 1 = 0的两根是 和 ，且 < 0，
3 4
1 1
= +
由根与系数关系得{ 3 4
= 12
，解得{ ；
1 1 1
= × = 1
3 4
(2)由(1)知不等式( 2 + 4 12) 2 4( 2) + 3 > 0的解集为 ，
当 2 + 4 12 = 0时，即 = 6或 = 2，
3
若 = 6，则得32 + 3 > 0，解集为{ | > }，不合题意，舍去，
32
若 = 2，则得3 > 0，解集为 ，符合题意；
当 2 + 4 12 ≠ 0时，要使不等式( 2 + 4 12) 2 4( 2) + 3 > 0的解集为 ，
2 + 4 12 > 0
只需{ ，解得2 < < 26，
[ 4( 2)]2 12( 2 + 4 12) < 0
综上：实数 的取值范围是[2,26)．
19.【答案】证明：(1)因为 > 0， > 0， > 0，所以由基本不等式，
得 + ≥ 2√ ，当且仅当 = 时，等号成立，
+ ≥ 2√ ，当且仅当 = 时，等号成立，
+ ≥ 2√ ，当且仅当 = 时，等号成立，
以上三式相加，得2 + 2 + 2 ≥ 2√ + 2√ + 2√ ，
即 + + ≥ √ + √ + √ ，当且仅当 = = 时，等号成立；
第 5 页，共 6 页
8 8
解：(2)① + = ( ) + +
( ) ( )
3 8
≥ 3 √( ) = 3
3
√8 = 6，
( )
8
当且仅当 = = ，即 = 4， = 2时等号成立，
( )
8
即 + 的最小值为6；
( )
②设 = (0 < < 3)，则 = 3 ，由圆柱体积公式得：
= 2(3 )

= 4 (3 )
2 2

+ +(3 )
≤ 4 [2 2 ]3 = 4 ，
3

当且仅当 = 3 ，即 = 2时等号成立，
2
即 的最大值为4 ．
第 6 页，共 6 页