重庆市江北区鲁能巴蜀中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市江北区鲁能巴蜀中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}，集合 = { | 2 = }，则 ∪ =( )
A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2,3} D. { 1,0,1,2,3}
3 2 5( < 0)
2.已知 ( ) = { ，则 (10) =( )
( 3)( ≥ 0)
A. 2 B. 2 C. 7 D. 22
3.若 < 0，且 + > 0，则以下不等式中正确的是( )
1 1
A. + < 0 B. √ > √ C. 2 < 2 D. | | > | |

(2 )
4.若函数 = ( )的定义域是[0,2]，则函数 ( ) = 的定义域是( )
1
A. [0,1) ∪ (1,2] B. [0,1) ∪ (1,4] C. [0,1) D. (1,4]
4 2 1
5.已知 = 33, = 43, = 253，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
2
6.函数 ( ) = 2 2 3的单调递增区间为( )
A. [1, +∞) B. [3, +∞) C. ( ∞, 1] D. ( ∞, 1]
7.已知关于 的不等式( + 1) 2 + 1 > 0的解集为 ，则实数 的取值范围是( )
2√ 3 2√ 3 2√ 3
A. { | > } B. { | < 或 > }
3 3 3
2√ 3
C. { | > 或 = 1} D. { | ≥ 1}
3
1 1 ( )
8.定义∣ ∣∣ ∣ = ，已知 1( ) = (
2 + 12 20)2, 2( ) = (
2 + 10 )2，若 ( ) = ∣ 1 ∣，
∣
∣ ∣
2( )∣
且 (4) = 2(√ 6 √ 3)， (6) = 2(√ 6 2)，则 ( )的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 1 1
9.已知 + = 4，则 2 2等于( )

A. 2 B. √ 2 C. √ 2 D. 2
10.若 ， 均为正数，且 + 2 = 1，则下列结论正确的是( )
1 1 2
A. 的最大值为 B. + 的最小值为9
9
2 1C. + 4 2的最小值为 D. ( + 2)(2 + 1)的最小值为4
2
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11.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意 ， ∈ ，都有2 ( + ) = ( ) ( )，当 > 0时， ( ) > 2，则( )
A. (0) = 2 B. ( )为奇函数
C. ( )的值域为(0, +∞) D. ( )在 上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知命题 ： ≥ 2，2 ≥ 2，则命题 的否定为______．
13. 2( 64+ 69) = ______．
2, 0 ≤ ≤ 3
14.已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = { ，若对任意 ∈ [2, ]，不等式
3 + 9, > 3
( 1) ≥ ( )恒成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3 √ 2 √ 2
2024 2027 √ 2
(1)化简： √ 2024 + √( )2027

+ ÷ ( 6 3 )√ 2, > 0， > 0；
3
√ 2
1 1(2)已知9 = 8 = 24，试求 + 的值．
2
16.(本小题15分)
1
已知集合 = { | ≤ 2 ≤ 4}, = { | 2 ( + 3) + 3 < 0}．
8
(1)求集合 ，并写出当 ∈ 时集合 的真子集的个数；
(2)若 ∩ ( ) = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、
不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，
注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生
的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力
集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数 与时间 (分钟)的关系为：当0 ≤ ≤ 8时，
是 的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当8 ≤ ≤ 40时， 是
的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100．
(1)求 关于 的解析式；
(2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想
听课状态”所持续的时间有多长？(精确到1分钟)(参考数据：√ 5 ≈ 2.236)
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18.(本小题17分)
已知定义在{ | ≠ 0}上的函数 ( )满足： ∈ { | ≠ 0}，都有 ( ) = ( ) + ( )，且当 > 1时 ( ) > 0．
(1)求 (1)， ( 1)的值；
(2)求证： ( )为偶函数；
(3)求关于 的不等式 (2 3 2 ) (2 ) ≤ 0的解集．
19.(本小题17分)
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线. 1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一
般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数 ( ).类似的有双曲正弦函数 ( )，也可以定义双曲正切函数 ( ) =
( )
.已知函数 ( )和 ( )具有如下性质：①定义域为 ，且 ( )在 上是增函数；② ( )是奇函数， ( )是
( )
偶函数；③ ( ) + ( ) = . (常数 是自然对数的底数， ≈ 2.71828 … )
(1)求双曲正弦函数 ( )和双曲余弦函数 ( )的解析式；
(2)试判断 ( )在(0, +∞)上的单调性，并用单调性的定义证明；
1
(3)关于 的不等式 ( (2 )) > (2 ( ) + 3)对任意 ∈ [ln , 2]恒成立，求实数 的取值范围．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ≥ 2，2 < 2
13.【答案】
14.【答案】(2,3]
15.【答案】解：(1) ∵ > 0， > 0，
3 √ 2 √ 2
2024 22024 2027
√
∴ √ + √( )2027 + ÷ ( 6 3 )√ 2
3
√ 2
2 2 1 2 2 1
= + 3 3 ÷ ( 3 3) = +3 3 = ；
(2) ∵ 9 = 8 = 24，则∴ = log924， = log824，
1 1 1 1
∴ + = 249 + 248 = 24(92 × 8) = 2424 = 1． 2 2
1
16.【答案】解：(1)因为 = 2 3 ≤ 2 ≤ 22 = 4，
8
所以 3 ≤ ≤ 2，
所以 = { | 3 ≤ ≤ 2}，
当 ∈ 时， = { 3, 2, 1,0,1,2}，共6个元素，真子集有26 1 = 63个；
(2)由(1)得 = { | 3 ≤ ≤ 2}，所以 = { | < 3或 > 2}．
对于集合 = { | 2 ( + 3) + 3 < 0}，
2 ( + 3) + 3 = ( 3)( ) < 0，
当 = 3时， = ，满足 ∩ ( ) = ，
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当 < 3时， = { | < < 3}，
要使 ∩ ( ) = ，则需 ≥ 2，
所以2 ≤ < 3，
当 > 3时， = { |3 < < }，满足 ∩ ( ) = ，
综上所述， 的取值范围是[2, +∞)．
17.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 8时，设 = + ，
+ = 70
依题意{ ，解得： = 2， = 68，
5 + = 78
所以 = 2 + 68，
当 = 8时， = 16 + 68 = 84，
当8 ≤ ≤ 40时，设 = ( 20)2 + 100( < 0)，
1
将(8,84)代入上式得84 = × 122 + 100, = ，
9
1
所以 = ( 20)2 + 100，
9
2 + 68,0 ≤ ≤ 8
综上所述， = { 1 ；
( 20)2 + 100,8 < ≤ 40
9
2 + 68 ≥ 80
(2)由{ ，解得：6 ≤ ≤ 8，
0 ≤ ≤ 8
1
由{ ( 20)
2 + 100 ≥ 80
9 ，解得：8 < ≤ 20 + 6√ 5 ≈ 33，
8 < ≤ 40
综上所述，6 ≤ ≤ 33，共33 6 = 27分钟．
18.【答案】解：(1)因为 ， ∈ { | ≠ 0}，都有 ( ) = ( ) + ( )，
令 = = 1，可得 (1) = (1) + (1)，解得 (1) = 0；
令 = = 1，可得 (1) = ( 1) + ( 1) = 0，所以 ( 1) = 0；
(2)证明：因为 ( )的定义域为{ | ≠ 0}，
对 ， ∈ { | ≠ 0}，都有 ( ) = ( ) + ( )，
令 = 1，可得 ( ) = ( ) + ( 1)，即 ( ) = ( )，
所以 ( )为偶函数；

(3)设 1， 2 ∈ (0, +∞)且
2
1 < 2，则 > 1， 1
2 因为当 > 1时 ( ) > 0，所以 ( ) > 0，则 ( 2) < 0，
1 1

所以 ( 1) ( 2) = ( 1) (
2
1 ) = ( ) [ ( ) + (
2)] = ( 2) < 0，
1 11 1 1
即 ( 1) ( 2) < 0，所以 ( )在(0, +∞)上单调递增，
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又 ( )为偶函数，所以 ( )在( ∞, 0)上单调递减，
则关于 的不等式 (2 3 2 ) (2 ) ≤ 0，
即 (2 3 2 ) ≤ (2 )，
|2 3 2 | ≤ |2 |
等价于{2 ≠ 0 ，解得0 < < 1或1 < ≤ √ 2或 √ 2 ≤ < 1或 1 < < 0，
2 3 2 ≠ 0
所以不等式的解集为[ √ 2, 1) ∪ ( 1,0) ∪ (0,1) ∪ (1, √ 2]．
19.【答案】解：(1)由 ( ) + ( ) = ①，
可得 ( ) + ( ) = ，
∵函数 ( )为 上的奇函数， ( )为 上的偶函数，
∴ ( ) + ( ) = ②，
+
由①②可得 ( ) = ， ( ) = ，
2 2
∵函数 1 = ， = 均为 上的增函数，故函数 ( )为 上的增函数，合乎题意．
+
(2)函数 ( ) = 在(0, +∞)上为增函数，证明如下：
2
任取 1、 2 ∈ (0, +∞)且 1 > ，则
1 > 2 > 1， 1+ 22 > 1，
1
1 1
+ 2+ 1 1 1
∴ ( 1 2 1 21) ( 2) = = [( ) ( )] 2 2 2 2 1
1 1 2 ( 1
2)( 1+ 2 1)
= [( 1 2)
2 +
] = > 0，即 ( ) > ( )，
1 2 2 1+ 2 1 2
+
∴函数 ( ) = 在(0, +∞)上为增函数．
2
( )
(3) ∵ ( ) = = ，该函数的定义域为 ， ( ) +

( ) = = ( )，故函数 ( )为奇函数， +
( ) 2 1 2
又∵ ( ) =
(
= 2 = 1 + ) +1 2 ， +1
∵内层函数 = 2 + 1在 上为增函数，且 > 0，
2
外层函数 = 1 在(0, +∞)上为增函数，∴函数 ( )在 上为增函数，

由 ( (2 )) > (2 ( ) + 3) = ( 2 ( ) 3)，
2 + 2
∴ (2 ) > 2 ( ) 3，即 > ( ) 3，
2
即 2 + 2 > 2 ( ) 6，

∵函数 ( ) = 在 上是增函数，
2
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令 = ，则函数 = 在 上是增函数，
1 3 3
当 ∈ [ln , 2]时， = ∈ [ , ]，且 2 = 2 + 2 2，则 2 + 2 = 2 + 2，
2 2 2
3 3
于是有 2 + 2 > 2 6，即 2 + 2 + 8 > 0对任意的 ∈ [ , ]恒成立，
2 2
3 3
令 ( ) = 2 + 2 + 8，其中 ∈ [ , ]，
2 2
3 3 3 3
当 ≤ 时，即当 ≥ 时，函数 ( )在[ , ]上单调递增，
2 2 2 2
3 9 41 41 3 41
则 ( ) = ( ) = 3 + 8 = 3 + > 0，解得 < ，此时， ≤ < ； 2 4 4 12 2 12
3 3 3 3
当 < < 时，即当 < < 时，只需 = 4 2 32 < 0，
2 2 2 2
3 3
解得 2√ 2 < < 2√ 2，此时， < < ；
2 2
3 3 3 3
当 ≥ 时，即当 ≤ 时，函数 ( )在[ , ]上单调递减，
2 2 2 2
3 9 41 41 41 3
则 ( ) = ( ) = + 3 + 8 = + 3 > 0，解得 > ，此时， < ≤ ． 2 4 4 12 12 2
41 41
综上所述，实数 的取值范围是( , )．
12 12
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