福建省龙岩市漳平市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

福建省漳平市第一中学 2024-2025 学年高一上学期第二次月考数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 2 3 < 0}， = { | 1 ≥ 0}，则 ∩ =( )
A. { | > 3} B. { | 1 < ≤ 1} C. { | > 1} D. { |1 ≤ < 3}
3 , < 0
2.已知函数 ( ) = { ，则 ( (1)) =( )
sin( ) 1, ≥ 0
6
√ 3 1
A. B. 1 C. √ 3 D.
3 3
3.函数 ( ) = 2 + 1( > 0, ≠ 1)的图象恒过定点( )
A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)
1
4.设 = 40.2, = 5, = 1 ，则 ， ， 的大小关系为( )
2
5
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.函数 ( ) = 2(
2 2 3)的单调递减区间为( )
A. (1, +∞) B. (3, +∞) C. ( ∞, 1) D. ( ∞, 1)
6.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、
极富书卷气.如图，一扇环形砖雕，可视为将扇形 截去同心扇形 所得
图形，已知 = 10 ， = 30 ，∠ = 120°，则该扇环形砖雕的面
积为( ) 2．
3
A. 5 B. C. D. 500
100 20
1+
7.已知函数 ( ) = ，则“ = 1”是“函数 ( )是偶函数”的( )

A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.定义区间( , )，[ , )，( , ]，[ , ]的长度均为 = ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例
如，(1,2) ∪ [3，5)的长度 = (2 1) + (5 3) = 3.用[ ]表示不超过 的最大整数，记{ } = [ ]，其中
1 24
∈ .设 ( ) = [ ] { }, ( ) = 1，当 2 ≤ ≤ 时，不等式 ( ) < ( )解集的区间长度为 ，则实
2 35
数 的最小值为( )
第 1 页，共 7 页
16 30
A. B. C. 6 D. 7
3 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 330°与30°角的终边相同
12
B. 若 的终边经过 (5 , 12 )， ≠ 0，则 =
13
+
C. 若 = 2，则 = 1
2 cos
D. 若 为第三象限角，则点 ( , )在第二象限
( ) ( )
10.已知定义在 上的函数 ( )满足 (2 + ) = ( )，且当 2 < 1 ≤ 1时，恒有
2 1 > 0，则( )
2 1
A. ( ) + 1是奇函数
B. ( )在(1, +∞)单调递减
C. ( )的对称轴为 = 1
2
D. 不等式 ( 1) > (2 + 1)的解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)
3
1
|( ) 1|, ≤ 1
11.已知函数 ( ) = { 2 ，若函数 = ( ) 有四个零点，从小到大依次为 1， 2， 3， 4
| 4( 1)|, > 1
则下列说法正确的是( )
A. 1 + 2 > 0
B. 3 + 4的最小值为4
C. 2 < 2 + 4 ≤ 4
D. 方程 [ ( )] = 0最多有10个不同的实根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.集合 = { | 2 6 < 0}， = { | 2 2 2 < 0}，若 ∩ = ，则实数 的取值范围______．
7
13.已知 + = ，0 < < ，则 = ______．
13
14.若集合 = {1,2,3,4}的两个非空子集 ， 满足 ∩ = ，则称( , )为集合 的一组“互斥子集”，( , )
与( , )视为同一组互斥子集，则 共有互斥子集______组.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 7 页
15.(本小题13分)
√ 1 2 20° 20°
(1)化简求值： ；
20 √ 1 sin220
3 1
(2)计算 125 + 8 28 + √( 4)3 + ( )
4．
√ 2
16.(本小题15分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 是奇函数，且在(0, +∞)上单调递增．
(1)解不等式 ( + 1) < (2 3 )；
4 1
(2)若实数 ， ( , ∈ +)满足 + = ，求 + 的最小值．
+1
17.(本小题15分)
1+
已知 > 0，函数 ( ) = 是奇函数， ( ) = 22 2 +23 + ． 1 3
(1)求实数 的值；
1
(2)若 1 ∈ [0, ], 2 ∈ [1,2]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，求实数 的取值范围． 6
18.(本小题17分)
某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，需
再投入成本5元.已知该团队轻食的月销售量为 ( ∈ )万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且
11 2 5 11
当0.5 ≤ ≤ 4时，月销售收入为( + + )万元；当 > 4时，月销售收入为[ 3(18 + 9) + ]万2 +1 2 2
元．
(1)求该团队的月销售利润 ( )(万元)与月销售量为 (万份)之间的函数解析式；
(2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？
19.(本小题17分)
列奥纳多 达 芬奇( , 1452 1519)是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，
使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬

链线的函数表达式 ( ) = ，其中 为悬链线系数， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 =

+
，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 = ．
2 2
(1)求 2 2 的值；
(2)解不等式： (3 + 1) + ( 3) > 0；
(3)函数 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，求实数 的取值范围．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | ≤ 3或 ≥ 2}
12
13.【答案】
5
14.【答案】25
2
√ 1 2 20° 20° √ sin 20°+cos220° 2 20° 20°
15.【答案】解：(1)原式 = =
20 √ 2
20 √ cos220
1 sin 20
√ 2 ( 20° 20°) 20° 20°
=
20 √ cos220
= = 1；
20 20
1
(2)原式= lg(125 × 8) 3 + ( 4) + ( ) 2 = 3 3 4 + 4 = 0．
2
16.【答案】解：(1) ∵幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 是奇函数，且在(0, +∞)上单调递增，
2 2 2 = 1，∴ = 3， = 1
∵ ( )在(0, +∞)上单调递增， ( )为奇函数
即 ( ) = 3，
1
∵ ( + 1) < (2 3 ) ∴ + 1 < 2 3 ，∴ < ，
4
1
不等式解集为( ∞, )；
4
(2)由题可知 + = 3，
1 4 1 1 +1 4 1 9
∴ ( + )( + 1 + ) = (4 + 1 + + ) ≥ (5 + 2√ 4) = ，
4 +1 4 +1 4 4
第 4 页，共 7 页
5 4
当且仅当 + 1 = 2 ，即 = , = 时等号成立．
3 3
4 1 9
所以 + 的最小值是 ．
+1 4
1+
17.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 3 是奇函数，所以 ( ) + ( ) = 0， 1 3
2
1+ 1 1 ( )
即 3 + 3 = 0，即 2 = 1，解得 = ±3， 1 3 1+3 1 (3 )
因为 > 0，所以 = 3，
1+3 1 1
当 = 3时， ( ) = 3 ，此时 ( )的定义域为( , )，关于原点对称，满足题意． 1 3 3 3
综上， = 3；
1
(2)若 1 ∈ [0, ], 2 ∈ [1,2]，使得 ( 1) ≥ ( 2)， 6
由题意得， ( ) ≥ ( ) ，
1+3 2
由(1)知， ( ) = 3 = ( 1 + )， 1 3 3 1 3
1 1
易得 ( )在[0, ]上单调递增，故 ( )
6
= ( ) = 1．
6
( ) = 22 2 +2 + = (2 2)2 4 + ，
当 ∈ [1,2]时，2 ∈ [2,4]，所以 ( ) = (2) = ，
所以 ≤ 1，即实数 的取值范围为( ∞, 1]．
11 2 5 +1 2
18.【答案】解：(1)由题意，当0.5 ≤ ≤ 4时， ( ) = + + 5 2 = + ，
2 +1 2 2 +1
11 1
当 > 4时， ( ) = 3(18 + 9) + 5 2 = 3(18 + 9) + 2， 2 2
2 8
+ + , 0.5 ≤ ≤ 4
所以 ( ) = {2 +1 5 ；
1
3(18 + 9) + 2, > 42
11 2 5 +1 2
(2)当0.5 ≤ ≤ 4时， ( ) = + + 5 2 = + ≥ 2，
2 +1 2 2 +1
+1 2
当且仅当 = ，即 = 1时取等，
2 +1
1 1
当 > 4时， ( ) = log3(18 + 9) + 2 > log2 3(18 × 4 + 9) + × 4 2 = 4 > 2， 2
因此，当月销售量为1万份时，该团队的月销售利润最小，最小利润为2万元．
+
19.【答案】解：(1)由题意可得 2 2 = ( )2 ( )2
2 2
2 + 2 +2 2 + 2 2
=
4 4
= 1；
第 5 页，共 7 页

(2)因为 ( ) = = , ∈ 恒成立，故 = 是奇函数．
2
又因为 = 在 上严格递增， = 在 上严格递减，

故 = = 是 上的严格增函数，
2
所以 (3 + 1) + ( 3) > 0，
即 (3 + 1) > ( 3) = (3 )
1
所以3 + 1 > 3 ，解得 > ，
2
1
所以不等式的解集为( , +∞)；
2
(3)因为 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，
所以 ( 2 + 2 ) ( ) 3 = 0，
即 ( 2 + 2 ) ( ) 3 = 0在 ∈ [0, 2]有2个实数根，
( )+3
所以 = 2 2 在 ∈ [0, 2]有2个实数根， +
令( ) + 3 = ，易知 = ( ) + 3在 ∈ [0, 2]上单调递增，
9
所以 ∈ [3, ]，
2
( )+3
则 = 2 2 = + 2 ， ( 3) +2
1 2所以 6 +11 11= = + 6，

11 9
令 ( ) = + 6， ∈ [3, ]，
2
9
由对勾函数性质可知， ( )在[3, √ 11)上单调递减，在(√ 11, ]上单调递增，
2
2 9 17
又 (3) = , (√ 11) = 2√ 11 6, ( ) = ，
3 2 18
作函数 = ( )的草图，如图所示：
1 2 11 1
当2√ 11 6 < ≤ 时，函数 ( ) = + 6与 = 有两个交点，
3
即函数 ( )的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，
第 6 页，共 7 页
所以3 √ 11+3≤ < ，
2 4
即实数 的取值范围为 3 √ 11+3[ , )．
2 4
第 7 页，共 7 页