辽宁省锦州市渤海大学附中2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省锦州市渤海大学附中 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | ≤ 2，或 > 1}， = { 2,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 2} B. {2} C. { 2,2} D. { 2,1,2}
√ +1
2.函数 = 的定义域是( )

A. [ 1, +∞) B. (0, +∞)
C. ( 1, +∞) D. [ 1,0) ∪ (0,+∞)
3.已知幂函数 ( ) = ( 1) +1，则 (2) =( )
3
A. 8 B. 4 C. √ 2 D. √2
4.已知集合 = { |1 2}， = { | 2 ( + 1) + 0}，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条
件，则实数 的取值范围为( )
A. (2,3) B. (2,6) C. [2, +∞) D. (2, +∞)
5.某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其
中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个
统计图：
则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为( )
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
6.《数术记遗》记述了积算(即筹算)、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14
种算法的相关资料所花费的时间(单位： )分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组
数据的( )
A. 众数是31 B. 10%分位数是31.5
C. 极差是38 D. 中位数是44
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7.经调查发现，一杯热茶的热量 会随时间 的增大而减少，它们之间的关系为 = ln √ 0，其中 0 > 0，
∈

且 > 1.若一杯热茶经过时间 1，热量由 0减少到
0，再经过时间 2，热量由
0减少到 0，则 1 =( )
4 4 8 2
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
8.已知函数 ( )是 上的奇函数，对任意 ∈ ，都有 (2 ) = ( ) + (2)成立，则 (1) + (2) + (3) +
+ (2024) =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了研究我市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客
人数(单位：万人)，得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法正确的是( )
A. 7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少
B. 乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势
C. 甲景点4月到9月游客人数的平均值在[32,33]内
D. 甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月
10.若log0.3 < log0.3 ，则下列说法一定正确的是( )
1 1
A. ln > 0 B. ln( 2 2) > 0 C. ln( + 1) > 0 D. ln( ) > 0

11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2) = 2 ( )，且当 ∈ [ 2,0]时， ( ) = 2 2 ，则( )
A. (1) = 2
B. 当 ∈ [0,2]时， ( ) = 2 2 4
9
C. 若对任意的 ∈ ( ∞, ]，都有 ( ) ≤ 6，则实数 的取值范围是( ∞, ]
2
1
D. 若 ( ) = + 1( < 6)，则 ( ) = ( )有8个互不相等的实数根
2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题“ ∈ ，2 2 3 ≥ 1”的否定是______．
1 3
13.已知函数 = 3 2( > 0且 ≠ 1)的图像过定点( , )，正实数 ， 满足 = 1，则 + 的最

小值为______．
14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小
明需要在9个小格子中填上1～9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字， ， ，
， ， 这5个数字未知，且 ， 为偶数，则 + > 8的概率为______．
9 7

4 6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 4 + 3 0}， = { | ( 2) 0}．
(1)求 ∪ ；
(2)若 ， 为集合，定义集合运算 + = { | = + , ∈ , ∈ }，求 + ．
16.(本小题15分)
甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次
成绩(满分10分，8分及以上为优秀)，如下表所示：
甲射击成绩 10 9 7 8 10 10
乙射击成绩 10 6 10 10 9 9
(1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差；
(2)判断哪位运动员的射击成绩更好？
17.(本小题15分)
北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为
了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”
为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目(跳绳、踢毽子、篮球投篮)和2个弹跳项目(跳
高、跳远)中随机抽取2个项目进行比赛．
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(Ⅰ)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
(Ⅱ)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率．
18.(本小题17分)
5
已知函数 ( ) = log 2 ( + 1) ( > 0, ≠ 1, ∈ )的图象经过点(0,1)，(1, 2 )． 2
(1)证明：函数 ( )的图象是轴对称图形；
(2)求关于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0的解集；
(3)若函数 = ( ) 有且只有一个零点，求实数 的值．
19.(本小题17分)
若函数 = ( )在区间[ , ]上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 = 5，则称函数 =
( )是在区间[ , ]上的“美好函数”．
(1)函数 = 5 + 1； = 2； = 6 中，哪个函数是在区间[0,1]上的“美好函数”？并说明理由；
(2)已知函数 = ( ) = 4 2 +1( ≠ 0)．
①函数 ( )是在区间[0,1]上的“美好函数”，求 的值；
②当 = 1时，函数 ( )是在区间[ , + 1]上的“美好函数”，求 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ∈ ，2 2 3 < 1
13.【答案】12
1
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)因为 = { | 2 4 + 3 0} = { |( 1)( 3) 0} = { |1 3}，
= { | ( 2) 0} = { |0 2}，
所以 ∪ = { |0 3}；
(2)因为 = { |1 3}， = { |0 2}，
由集合运算的新定义及不等式的性质，可得 + = { |1 5}．
1
16.【答案】解：(1)甲运动员6次射击成绩的平均数为 = × (10 + 9 + 7 + 8 + 10 + 10) = 9，
甲 6
1 4
所以甲运动员6次射击成绩的方差为 2 = × [3 × (10 9)2 + (9 9)2 + (7 9)2 + (8 9)2] = ，
甲 6 3
1
乙运动员6次射击成绩的平均数为 乙 = × (10 + 6 + 10 + 10 + 9 + 9) = 9， 6
1
所以乙运动员6次射击成绩的方差为 2 = × [3 × (10 9)2 + (6 9)2 + 2 × (9 9)2] = 2；
乙 6

(2)因为 = ， 2甲 乙 <
2 ，
甲 乙
所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但是甲运动员的射击成绩更稳定，
所以甲运动员的射击成绩更好．
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17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，设3个趣味项目分别为 1(跳绳)， 2(踢毽子)， 3(篮球投篮)，2个弹跳项目
分别为 1(跳高)， 2(跳远)．
从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果有：{ 1 , 2}，{ 1 , 3}，{ 1 , 1}，{ 1 , 2}，{ 2 , 3}，{ 2 , 1}，{ 2 , 2}，
{ 3 , 1}，{ 3 , 2}，{ 1 , 2}，共10种情况，
抽取到的这2个项目都是趣味项目的有：{ 1 , 2}，{ 1 , 3}，{ 2 , 3}，共3种情况，
3
故所求概率为 ．
10
(Ⅱ)根据题意，从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，有：{ 1 , 1}，{ 1 , 2}，{ 2 , 1}，{ 2 , 2}，{ 3 , 1}，
{ 3 , 2}，共6种情况，
这2个项目包括跳绳但不包括跳高的基本事件为{ 1 , 2}，共1种情况
1
故所求概率为 ．
6
2 = 1
18.【答案】解：(1)证明：根据题意可得{
( 2
5，又 > 0， ≠ 1， ∈ ，
+ 1) = 2 2
解得 = 2， = 1，
22 +1
∴ ( ) = log2(2
2 + 1) = log2(2
2 + 1) log22
= 2 = 2 2(2 + 2 )，
又 ∈ ，且 ( ) = ( )，∴ ( )为偶函数，
∴ ( )的图象关于 轴对称，
∴函数 ( )的图象是轴对称图形；
(2)由(1)可得 ( ) = log2(2
2 + 1) ，
∴关于 的不等式2 ( )+ 2 7 ≤ 0可化为：
22 + 1 2 7 ≤ 0，
∴ (2 )2 2 6 ≤ 0，
∴ (2 + 2)(2 3) ≤ 0，
∴ 2 3 ≤ 0，∴ ≤ log23，
∴原不等式的解集为( ∞, log23]；
(3)由(1)可知 ( ) = 2(2 + 2 )， ∈ ，
∴ = ( ) 有且只有一个零点即为：
= ( )与 = 在 上只有一个交点，
1
令 = 2 + 2 = 2 + ≥ 2√ 1，当且仅当 = 0时，等号成立， 2
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1
又由 = 2 与 = + ( > 1)都为增函数，

可得 = 2 + 2 在(0, +∞)上单调递增，又 = log2 在(0,+∞)上单调递增，
∴ = ( ) = 2(2
+ 2 )在(0,+∞)上单调递增，又 ( )为偶函数， (0) = 1，
∴要使 = ( )与 = 在 上只有一个交点，则 = 1，
故实数 的值为1．
19【. 答案】解：(1)因为函数 = 5 + 1在区间[0,1]上单调递减，所以 = 0 + 1 = 1， = 5 + 1 = 4，
所以 = 5，故 = 5 + 1是在区间[0,1]上的“美好函数”；
因为函数 = 2在区间[0,1]上单调递增，根据二次函数的性质可得， = 1， = 0，
所以 = 1 ≠ 5，故 =
2不是在区间[0,1]上的“美好函数”；
因为 = 6 在区间[0,1]上单调递增，所以 = 6， = 1，
所以 = 5，故 = 6
是在区间[0,1]上的“美好函数”．
(2)①有题知 = 4 2 +1 = (2 1)2 ．
因为 ∈ [0,1]，所以2 ∈ [1,2]．
令 = 2 ，则 = ( 1)2 ， ∈ [1,2]，
当 > 0时，函数 = ( 1)2 在区间[1,2]上单调递增，
此时 = 0， = ，所以有0 ( ) = 5 = 5；
当 < 0时，函数 = ( 1)2 在区间[1,2]上单调递减，
此时 = ， = 0，所以有 = 5 = 5，
综上所述， = ±5；
②由题可知，函数 = 4 2 +1 = (2 1)2 1．
因为 ∈ [ , + 1]，所以2 ∈ [2 , 2 +1].
令 = 2 ，则 = 2 2 = ( 1)2 1， ∈ [2 , 2 +1].
当2 +1 ≤ 1，即 ≤ 1时，函数 = 2 2 在[2 , 2 +1]上单调递减，
此时 2 +1 2 +1 = (2 ) 2 × 2 ， = (2 ) 2 × 2 ，
因为函数 ( )是在区间[ , + 1]上的“美好函数”，
所以有(2 )2 2 × 2 (2 +1)2 + 2 × 2 +1 = 5，整理得3 × (2 )2 2 × 2 + 5 = 0，无解；
当2 < 1 < 2 +1，即 1 < < 0时，函数 = 2 2 在[2 , 1]上单调递减，在[1,2 +1]上单调递增，
又2 +1 1 > 2 1，故此时 = (2 +1)2 2 × 2 +1 ， = 1，
因为函数 ( )是在区间[ , + 1]上的“美好函数”，
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所以有(2 +1)2 2 × 2 +1 + 1 = 5，解得 = 1 + 2(1 + √ 5) > 0(舍去)；
当2 ≥ 1，即 ≥ 0时，函数 = 2 2 在[2 , 2 +1]上单调递增，
此时 +1 2 = (2 ) 2 × 2
+1， = (2 )2 2 × 2 ，
因为函数 ( )是在[ , + 1]上的“美好函数”，
5
所以有(2 +1)2 2 × 2 +1 (2 )2 + 2 × 2 = 5，解得 = 2 ． 3
5
综上所述： = 2 ． 3
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