四川省德阳市外国语学校2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

四川省德阳市外国语学校 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = {1,2,3}， = {2,3,4}，则 ∩ =( )
A. {2} B. {3} C. {2,3} D. {1,2,3,4}
2.命题“ ≤ 1， 2 3 + 5 > 0”的否定是( )
A. > 1， 2 3 + 5 ≤ 0 B. ≤ 1， 2 3 + 5 ≤ 0
C. > 1， 2 3 + 5 ≤ 0 D. ≤ 1， 2 3 + 5 ≤ 0
3.函数 = log (2 1) + 3( > 0且 ≠ 1)的图象必过点( )
1 1
A. ( , 4) B. (1,3) C. ( , 3) D. (1,4)
2 2
4.已知角 的终边经过点 ( 1,2)，则 的值是( )
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
5.若函数 ( ) = ( 21 + + 6)在[ 2, +∞)上是减函数，则 的取值范围为( )
2
A. [4, +∞) B. [4,5) C. [4,8) D. [8, +∞)
6.已知 = 0.62， = 20.6， = log20.6，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.设函数 ( )的定义域为 ，若存在闭区间[ , ] ，使得函数 ( )满足：
① ( )在[ , ]上是单调函数；
② ( )在[ , ]上的值域是[2 , 2 ]，则称区间[ , ]是函数 ( )的“和谐区间”．
下列结论错误的是( )
A. 函数 ( ) = 2( ≥ 0)存在“和谐区间”
B. 函数 ( ) = 2 ( ∈ )存在“和谐区间”
1
C. 函数 ( ) = 2 ( > 0)不存在“和谐区间”
D. 函数 ( ) = log2 ( > 0)存在“和谐区间”
1
8.设函数 ( )的定义域为 ，满足 ( + 2) = ( )，且当 ∈ (0,2]时， ( ) = ( 2).若对任意 ∈ [ , +∞)，
2
3
都有 ( ) ≥ ，则 的取值范围是( )
16
9 9 11 11
A. [ , +∞) B. [ , +∞) C. [ , +∞) D. [ , +∞)
4 2 4 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
√ 5
9.已知 = ，且 > 0，则( )
3
A. < 0 B. + > 0 C. tan2 > 1 D. 为第四象限角
10.已知实数 > 1， > 1，且满足 = + + 3，则( )
A. 的最小值为9 B. + 的最小值为7
1 1
C. 2 + 2的最大值为18 D. + 的最小值为1
1 1
11.定义在 上的函数 ( )，对 ， ∈ ，都有 ( + ) = ( ) + ( )，且当 > 0时， ( ) > 0恒成立，
则( )
A. ( )是偶函数
B. ( )在 上单调递增
C. (0) = 0
D. 任意实数 都满足 ( 2) + (2 4) < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。
12.已知幂函数 ( ) = ( 2 + 2 2) 在(0, +∞)上单调递增，则 = ______．
+ 1, > 1,
13.若函数 ( ) = { 是 上的增函数，则实数 的取值范围为______．
(3 2 ) + 2, ≤ 1
3 + 1, ≤ 0
14.设函数 ( ) = { ，若关于 的函数 ( ) = 2( ) ( + 2) ( ) + 3恰好有六个零点，则实数
| 4 |, > 0
的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
化简下列各式：
20+ 5 80
(1) ；
5 4
3
sin( )cos(2 )cos( + )
(2) 2 ．
cos( + )sin( + )
2
16.(本小题10分)
2
已知函数 ( )是奇函数，当 ∈ (0, +∞)时， ( ) = + 1．

(1)求 ( 3)及 < 0时 ( )的解析式；
2
(2)判断当 ∈ (0, +∞)时， ( ) = + 1的单调性，并用定义证明你的结论．

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17.(本小题10分)
已知集合 = { | ( 4) ≥ 0}， = { | + 1 < < 2 1}．
(1)若 ∈ ，均有 ，求实数 的取值范围；
(2)若 > 2，设 ： ∈ ， ，求证： 成立的充要条件为2 < < 3．
18.(本小题10分)
春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位. 2024年12月4日，“春节— —中国人庆祝传统
新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，
如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化
盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日— —春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重
要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞
狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中
旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目
在2025年接待 万名游客，则需追加管理及维修成本 ( )万元，且 ( ) =
2 + 20 + 100,0 ≤ < 40, ∈
{165 9000 ，该游玩项目的每张门票售价为80元．
+ 1150,40 ≤ ≤ 100, ∈
2
(1)求2025年该项目的利润 ( )(万元)关于游客数量 (万人)的函数关系式(利润=销售额 成本)；
(2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题12分)
若关于 的一元二次方程 2 + + = 0有两个实根 1， 2，则称 = | 1 2|为两根之间的距离，简称“根
距”.当 ∈ [ , + 1)，其中 ∈ ，则称该一元二次方程有 级“根距”.例如 = 2.68 ∈ [2,3)，则称该一元
二次方程有2级“根距”．
(1)试用 ， ， 表示根距 ；
(2)设关于 的方程( 1)2 2 + (2 2 3 + 1) + 2 2 + 3 = 0有两个不等实根，判断该方程的根距 是
多少级？
(3)若 ≠ ， ， ∈ { |2 3 3 2 + 1 = 0}，当 1 < 2时， ∈ (
2
1 , 2)， + + > 0，求 ， 的值，
并确定一元二次方程 2 + + = 0根距 级数 的最小值，使 至少可以取到两个整数值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
4 3
13.【答案】[ , )
3 2
3
14.【答案】(2√ 3 2, ]
2
100
20+ 5 80 lg(20×5) 80 lg
15.【答案】解：(1) = = 80 = 1；
5 4 5 4 5lg
4
3 3
sin( )cos(2 )cos( + ) sin( )cos(2 )cos( + )
2 2 (2) = = = ．
cos( + )sin( + ) cos ( + )sin( + ) sin ( sin )
2 2
2 5
16.【答案】解：(1)根据题意，当 ∈ (0, +∞)时， ( ) = + 1.则 (3) = ，
3
5
又由 ( )为奇函数，则 ( 3) = (3) = ，
3
2
当 < 0时， > 0，则 ( ) = 1 ，

2
又由 ( )为奇函数，则 ( ) = ( ) = 1 + ，

2
故 < 0时， ( ) = 1 + ，

(2) ( )在区间(0, +∞)上为减函数，
2 2 2( )
证明：设0 < 1 < 2， ( 1) ( 2) = ( + 1) ( + 1) =
2 1 ，
1 2 1 2
又由0 < 1 < 2，则 2 1 > 0，则有 ( 1) ( 2) > 0；
故 ( )在区间(0,+∞)上为减函数．
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17.【答案】解：(1) = { | ( 4) ≥ 0} = ( ∞, 0] ∪ [4,+∞)， = { | + 1 < < 2 1}．
因为 ∈ ，均有 ，所以 ∩ = ．
当 ≤ 2时， = ，满足题意；
+ 1 ≥ 0 5
当 > 2时，{ ，所以2 < ≤ ．
2 1 ≤ 4 2
5 5
综上， ≤ ，即 的取值范围是( ∞, ]．
2 2
(2)证明：若 ： ∈ ， 为真命题，则￢ ： ∈ ， ∈ 为假命题．
￢ ： ∈ ， ∈ 为真命题，
因为 > 2，所以 ≠ ，由￢ ： ∈ ， ∈ ，得 ．
1
则2 1 ≤ 0或 + 1 ≥ 4，解得 ≤ 或 ≥ 3，所以 ≥ 3．
2
因为￢ ： ∈ ， ∈ 为假命题，所以2 < < 3．
综上，若 > 2，则 成立的充要条件为2 < < 3．
18.【答案】解：(1)当0 ≤ < 40，100 ∈ 时，
( ) = 80 2 20 100 500 = 2 + 60 600，
当40 ≤ ≤ 100，100 ∈ 时，
165 9000 5 9000
( ) = 80 ( + 1150) 500 = + 650，
2 2
2 + 60 600,0 ≤ < 40, ∈
故 ( ) = { 5 9000 ；
+ 650,40 ≤ ≤ 100, ∈
2
(2)当0 ≤ < 40，100 ∈ 时，
( ) = ( 30)2 + 300，
故当 = 30万人时， ( )取得最大值，最大值为300万元，
当40 ≤ ≤ 100，100 ∈ 时，
5 9000 5 9000
( ) = + 650 ≤ 2√ + 650 = 350(万元)，
2 2
5 9000
当且仅当 = ，即 = 60时，等号成立，
2
由于350 > 300，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元．
19.【答案】解：(1)关于 的一元二次方程 2 + + = 0有两个实根 1， 2，
则称 = | 1 2|为两根之间的距离，
±√
2
4
当 2 4 ≥ 0时， 1 , 2 = ， 2
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√ 2 4
故 = | 1 2| = ． | |
(2)由题设 1 ≠ 0， = (2 2 3 + 1)2 4( 1)2( 2 2 + 3) = ( 1)2(4 11) > 0，
11
可得 > ，
4
√ 2 ( 1) (4 11) √ 4 11
所以 = | 1 2| = 2 = ，
( 1) 1
2+11 4 4 4 2
设√ 4 11 = ，则 = ，所以 = 2 = 7 ≤ = ， 4 +7 + 7 √ 7
2√ ×
7 9
当且仅当 = , 2 = 7, = 时等号成立，
2
9 2
且 = 满足 = ( 1)2(4 11) > 0，所以 ∈ (0, ],
2 √ 7
2
因为 ∈ [0,1)，所以此方程的根距 是0级．
√ 7
1 1
(3)由2 3 3 2 + 1 = 0，( 1)2(2 + 1) = 0，得 = 1或 = ，则 , ∈ { , 1}，
2 2
因为当 1 < 2时， ∈ ( 1 , 2),
2 + + > 0，
1
所以 < 0，因为 ≠ ，所以 = ， = 1，
2
√ 1+2
所以关于 的方程 2 + + = 0根距 = | 1 2| = 1 = 2√ 1 + 2 ，
2
2
2 4 ( +1) 4
由2√ 1 + 2 ∈ [ , + 1)，得 ∈ [ , ),
8 8
2
( +1) 4 2 4
因为 ∈ ，当 ≤ 1，即 ≤ 3时，此时 少于2个整数解，
8 8
3 21
若 = 4，则 ∈ [ , ), 仅有1个整数解 = 2，
2 8
21
若 = 5，则 ∈ [ , 4), 仅有1个整数解 = 3，
8
45
若 = 6，则 ∈ [4, ), 有2个整数解 = 4和 = 5，
8
综上，关于 的一元二次方程 2 + + = 0根距 级数 的最小值为6，使 至少可以取到两个整数值．
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