四川省遂宁市射洪县绿然学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

四川省射洪县绿然学校 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ > 1， 2 > 1”的否定是( )
A. > 1， 2 ≤ 1 B. ≤ 1， 2 ≤ 1
C. > 1， 2 ≤ 1 D. ≤ 1， 2 ≤ 1
2.若集合 = {1,2,5,7}， = { | = 3 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {2,7} B. {1,7} C. {2,5} D. {2,5,7}
3.设 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { |0 ≤ ≤ 2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合 到集合 的函数关系
的是( )
A. B. C. D.
4.若 ≠ 3，则 = 2 6 的值与 9的大小关系是( )
A. = 9 B. < 9 C. > 9 D. 不能确定
5.已知 1 ≤ + ≤ 1，1 ≤ ≤ 3，则3 2 的取值范围是( )
A. 2 ≤ 3 2 ≤ 8 B. 3 ≤ 3 2 ≤ 8
C. 2 ≤ 3 2 ≤ 7 D. 5 ≤ 3 2 ≤ 10
1 2
6.已知函数 (1 ) = 2 ( ≠ 0)，则 ( ) =( )
1 1
A. 2 1( ≠ 0) B. 2 1( ≠ 1)
( 1) ( 1)
4 4
C. 2 1( ≠ 0) D. 2 1( ≠ 1)
( 1) ( 1)
7.已知函数 ( + 1)的定义域为[1,5]，则 ( 1)的定义域为( )
A. [ 1,3] B. [0,4] C. [1,5] D. [3,7]
( + 3) + + 3, > 1
8.函数 ( ) = { 是增函数，则实数 的取值范围为( )
2 + (1 ) , ≤ 1
A. ( 3, 2] B. ( 3, 1] C. [ 2, 1] D. ( 2, 1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.可以作为“ 2 < < 2”的一个充分不必要条件可以是( )
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A. > 2 B. 2 < < 0 C. < 2 D. 0 < < 2
10.下列函数相等的是( )
3
A. 函数 = 与函数 = √ 3
B. 函数 = √ 2 2 + 1与函数 = | 1|
2 1
C. 函数 = 与函数 = 1
+1
D. 函数 = √ + 1 √ 1与函数 = √ 2 1
11.对于函数 = ( )，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ∈ ，并且 ( ) ( ) = 1，则
称函数 = ( )为“倒函数”.则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( ) = + √ 2 + 1是“倒函数”
B. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，则 (0) = 1
1
C. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，当 ≤ 0, ( ) = 2
2 2
，则 > 0， ( ) = 2 +
+
1
D. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在 上是单调增函数，记 ( ) = ( ) ，
( )
若 1 + 2 > 0，则 ( 1) + ( 2) > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.不等式2 2 3 2 > 0的解集是 ．
3
13.当 ≥ 3时， ( ) = + 的最小值是______．

14.在如表的4 × 4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，在所有符合上述要求的
选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是______．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设全集 = ，集合 = { |1 ≤ ≤ 5}，集合 = { | 1 2 ≤ ≤ 2}．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
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16.(本小题15分)
2 1
已知函数 ( ) = ．
+1
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在( 1, +∞)上的单调性；
(3)试判断函数在 ∈ [3,5]的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
+ 1, ≤ 2
已知函数 ( ) = { 2 + 2 , 2 < < 2．
2 2, ≥ 2
5
(1)求 ( √ 3)， ( ( ))的值；
2
(2)若 ( ) = 3，求实数 的值；
(3)若 ( ) > ，求实数 的取值范围．
18.(本小题15分)
为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本5万元，当年产量
1
(单位：万件)低于10万件时，流动成本 ( ) = 2 + 3 (万元)，当年产量 (单位：万件)不低于10时，
4
144
( ) = 8 + 50(万元).经调研，每件水果箱售价为7元，每年加工的水果箱能全部售完．

(1)求年利润 ( )关于年产量 (单位：万件)的函数关系式；(注：年利润=年销售额 固定成本 流动成本)
(2)求年产量 (单位：万件)为多少时，年利润 ( )取得最大值，并求出 ( )的最大值．
19.(本小题17分)
我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有同学
发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + )
为奇函数.已知 ( ) = 3 3 2 + 1．
(Ⅰ)求证：函数 ( )图象的对称中心是(1, 1)；
(Ⅱ)求 ( 10) + ( 9) + + (0) + (1) + (2) + + (11) + (12)；
1 2
(Ⅲ)若 > 0、 > 0，且 (2 ) + ( + 1) = 2，则 + 的最小值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】( ∞, ) ∪ (2, +∞)
2
13.【答案】4
14.【答案】112
15.【答案】解：(1)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，得 ，
又 = { |1 ≤ ≤ 5}， = { | 1 2 ≤ ≤ 2}，
{ 1 2 < 1 1 2 ≤ 1因此 或{ ，解得 ≥ 7，
2 ≥ 5 2 > 5
所以实数 的取值范围为[7, +∞)；
(2)由已知 ，
1 1
当 = 时， 1 2 > 2，解得 < ，符合题意，因此 < ；
3 3
当 ≠ 时，而 = { |1 ≤ ≤ 5}， = { | 1 2 ≤ ≤ 2}，
则1 ≤ 1 2 ≤ 2 ≤ 5，无解，
1
所以实数 的取值范围( ∞, ).
3
16.【答案】解：(1)令 + 1 ≠ 0，得 ≠ 1，
2 1
∴函数 = 的定义域是{ | ≠ 1}；
+1
(2)函数 ( )在( 1, +∞)上是增函数，证明如下：
2 1 3
∵ = ( ) = = 2 ，
+1 +1
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∴任取 1， 2 ∈ ( 1, +∞)，且 1 < 2，
3 3
则 ( 1) ( 2) = (2 ) (2 ) 1+1 2+1
3 3
=
2+1 1+1
3(
= 1 2
)
，
( 1+1)( 2+1)
∵ 1 < 1 < 2，
∴ 1 2 < 0，( 1 + 1)( 2 + 1) > 0，
∴ ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在( 1, +∞)上是增函数；
(3) ∵ ( )在( 1, +∞)上是增函数，
∴ ( )在[3,5]上单调递增，
2×5 1 3
它的最大值是 (5) = = ，
5+1 2
2×3 1 5
最小值是 (3) = = ．
3+1 4
+ 1, ≤ 2
17.【答案】解：函数 ( ) = { 2 + 2 , 2 < < 2，
2 2, ≥ 2
(1) ( √ 3) = ( √ 3)2 + 2 × ( √ 3) = 3 2√ 3，
5 5 3
( ) = + 1 = ，
2 2 2
5 3 3 3 3
( ( )) = ( ) = ( )2 + 2 × ( ) = ．
2 2 2 2 4
(2)若 ( ) = 3，
当 ≤ 2时， + 1 = 3，解得 = 2(舍去)，
当 2 < < 2时， 2 + 2 = 3，解得 = 3(舍去)，或 = 1，
当 ≥ 2时，2 1 = 3，解得 = 2，
综上所述， = 1，或 = 2．
(3)当 ≤ 2时， + 1 > 恒成立，
当 2 < < 2时， 2 + 2 > ，解得 < 1，或 > 0，
∴ 2 < < 1，或0 < < 2，
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当 ≥ 2时，2 1 > 恒成立，
综上满足 ( ) > 的实数 的取值范围为{ | < 1，或 > 0}．
1 1
18.【答案】解：(1)当0 < < 10时， ( ) = 7 ( 2 + 3 ) 5 = 2 + 4 5，
4 4
144 144
当 ≥ 10时， ( ) = 7 (8 + 50) 5 = 45 ( + )，

1
2 + 4 5,0 < < 10
所以利润函数为 ( ) = { 4 ；
144
45 ( + ), ≥ 10

1 1
(2)当0 < < 10时， ( ) = 2 + 4 5 = ( 8)2 + 11，
4 4
此时 = 8， ( ) = 11；
144 144
当 ≥ 10时， ( ) = 45 ( + ) ≤ 45 2√ = 21，

144
当且仅当 = ，即 = 12时取得等号．

因为11 < 21，所以年产量为12万件时，年利润 ( )取得最大值21万元．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明： ( ) = 3 3 2 + 1 = ( 1)3 3( 1) 1，
设 ( ) = ( + 1) + 1，
则 ( ) = 3 3 ，
易得 ( )的定义域为 ，且 ( ) = ( )，则 ( )为奇函数，
则函数 ( )图象的对称中心是(1, 1)；
(Ⅱ)根据题意，由(Ⅰ)的结论，函数 ( )图象的对称中心是(1, 1)，
则有 ( 10) + (12) = 2， ( 9) + (11) = 2，… …， (0) + (2) = 2，
又由 (1) = 1，
则 ( 10) + ( 9) + + (0) + (1) + (2) + + (11) + (12) = 23；
(Ⅲ)根据题意，若 > 0、 > 0，且 (2 ) + ( + 1) = 2，
则2 + + 1 = 2，变形可得2 + = 1，
1 2 1 2 4 4
则 + = (2 + )( + ) = 4 + + ≥ 4 + 2√ × = 8，

当且仅当 = 2 时等号成立，
1 2
故 + 的最小值为8．

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