辽宁省大连市王府高级中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省大连市王府高级中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + 1 = 0的倾斜角为( )
A. 45° B. 135° C. 90° D. 120°
2.已知向量 = (1, 1,0)，则与 共线的一个单位向量 =( )
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2
A. (1,1,0) B. ( , , 0) C. ( , , 0) D. (0,0,1)
2 2 2 2
3.用0，1，2，3，4这五个数字能组成无重复数字且1与3不相邻的五位数的个数有( )
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
1
4.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1，点 在棱 上，且 = ，点 是平面 上的动点，且3
动点 到直线 1 1的距离与点 到点 的距离的平方差为1，则动点 的轨迹是( )
A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线
5.已知直线 1：3 + 2 5 = 0， 2：(3 1) 2 = 0，若 1// 2，则 的值为( )
1 1
A. B. 6 C. 0 D. 0或
6 6
6.已知点 为抛物线 2 = 2 ( > 0)上一动点，点 为圆 ：( + 2)2 + ( 4)2 = 1上一动点，点 为抛物
线的焦点，点 到 轴的距离为 ，若| | + 的最小值为3，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2
7.设 1、 2是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 为坐标原点，点 在椭圆 上，延长 2交椭
√ 3 2 | |圆 于点 ，且| 1| = | |.若△ 1 2的面积为 ，则 =( ) 3 | 1 2|
√ 3 2√ 3 4√ 3
A. B. C. √ 3 D.
2 3 3
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2 2
8.过双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点 作直线 ，且直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，垂足为
√ 3 1
，直线 与另一条渐近线交于点 .已知 为坐标原点，若△ 的内切圆的半径为 ，则双曲线 的离
2
心率为( )
2√ 3 4√ 3 2√ 3
A. B. √ 3 + 1 C. D. 或2
3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 过点 (1,2)且在 、 轴截距相等的直线方程为 + 3 = 0
B. 过点( 1,2)且垂直于直线 2 + 3 = 0的直线方程为3 + = 0
C. 过两圆 2 + 2 + 6 + 4 = 0及 2 + 2 + 4 + 2 4 = 0的交点的直线的方程是 + + 2 = 0
5 3
D. 直线 = ( 2) + 4与曲线 = 1 + √ 4 2有两个不同的交点，则实数 的取值范围是[ , ]
12 4
10.某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论
正确的有( )
A. 分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B. 分给甲、乙两地每地各2辆，分发丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C. 分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D. 分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)与圆 ： 2 + 2 = 5交于 、 两点，且| | = 4，直线 过 的焦点 ，
且与 交于 、 两点，则下列说法中正确的是( )
A. = 2
1 1
B. + = 1
| | | |
C. 存在某条直线 ，使得| | + 2| | = 5
D. 若点 (2,2)，则△ 周长的最小值为3 + √ 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，在四面体 中， = , = , = ，点 在 上，且 = 2 ，
点 为 的中点，设 = + + ，则3 + 3 + 3 = ______．
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13.已知过点 (0,1)且斜率为 的直线 与圆 ：( 2)2 + ( 3)2 = 1交于 ， 两点.若 = 12，其
中 为坐标原点，则原点到直线 的距离是______．
14.如图所示，平面直角坐标系 中，四边形 满足 ⊥ ， ⊥ ， +
2 2
2

= 0，若点 ， 分别为焦点在轴上的椭圆 ： + 2 = 1( > 0)的上、下顶8
点，点 在椭圆 上，点 不在椭圆 上，设椭圆 的离心半为 ，则 2 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，△ 的三个顶点坐标分别为 (0,0)， ( 2,0)， ( 3, 3)．
(1)求 边上的中线 的所在直线方程；
(2)求△ 的外接圆 被直线 ： + 1 = 0截得的弦长．
16.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)过点 (2, 4)．
(Ⅰ)求抛物线 的方程，并求其准线 的方程；
(Ⅱ)若点 (0,2)，求过点 且与抛物线 有且仅有一个公共点的直线 的方程．
17.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的虚轴长为4，直线2 = 0为双曲线 的一条渐近线．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)记双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，过点 (2,0)的直线 交双曲线 于点 ， (点 在第一象限)，记直

线 斜率为 1，直线 斜率为 ，求证：
1
2 为定值． 2
18.(本小题15分)
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，△ 为底面圆 的内接正三角形，且边长
为√ 3， 在母线 上，且 = √ 3， = 1， ⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)设线段 上动点为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
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19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，抛物线 ：
2 = 4 的焦点与 2重合，若点
√ 6
为椭圆 和抛物线 在第一象限的一个公共点，且△ 2的面积为 ，其中 为坐标原点． 3
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的上顶点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 于点 、 ，求证：直线 过定点，并求出定
点坐标；
(3)在(2)的条件下，求| | + | |的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
√ 2
13.【答案】
2
1
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)在平面直角坐标系中，△ 的三个顶点坐标分别为 (0,0)， ( 2,0)， ( 3, 3)，
∵ ( 2,0)， ( 3, 3)，
5 3
∴ 边的中点 的坐标为( , )，
2 2
3
0 3
∴中线 的斜率为 25 = ，
0 5
2
3
∴中线 的直线方程为： 0 = ( 0)，即3 5 = 0；
5
(2)设△ 的外接圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
∵ 、 、 三点在圆上，
= 0
∴ {4 2 + = 0 ，
9 + 9 3 3 + = 0
= 2
解得{ = 4，
= 0
∴外接圆 的方程为 2 + 2 + 2 + 4 = 0，即( + 1)2 + ( + 2)2 = 5，
其中圆心 为( 1, 2)，半径 = √ 5，
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| 1 ( 2)+1|
又圆心 到直线 的距离为 = = √ 2，
√ 2 12+( 1)
∴被截得的弦长的一半为√ 2 2 = √ 3，
∴△ 的外接圆 被直线 ： + 1 = 0截得的弦长为2√ 3．
16.【答案】解：(Ⅰ)由题抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)过点 (2, 4)，16 = 4 ，解得 = 4，
抛物线 的方程为 2 = 8 ，其准线 方程为 = 2；
(Ⅱ)由题，①当直线 的斜率不存在时， 轴符合题意，其方程为 = 0；
②如果直线 的斜率为0， = 2符合题意；
③如果直线 的斜率存在且不为0，则设直线 的方程为 = + 2，
= + 2
由{ 得 22 8 + 16 = 0， = 8
由△= 64 64 = 0得 = 1，
故直线 的方程为 = + 2，即 + 2 = 0，
因此，直线 的方程为 = 0或 = 2或 + 2 = 0．
17.【答案】解：(1) ∵虚轴长为4，∴ 2 = 4，即 = 2，
∵直线2 = 0为双曲线 的一条渐近线，

∴ = 2，∴ = 1，

2
故双曲线 的标准方程为 2 = 1．
4
(2)由题意知， ( 1,0)， (1,0)，
设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
联立{
2 = 1
4 ，得(4 2 1) 2 + 16 + 12 = 0，
= + 2
16 12
∴ 1 + 2 = 2 ， = ， 4 1 1 2 4 2 1
3
∴ 1 2 = ( 4 1 + 2)，

∵直线 的斜率 = 11 ，直线 的斜率 2 =
2 ，
1+1 2 1
1 3
1 +1 ( +1) + ( 1+ 2)+ ∴ = 1 = 1 2
1
= 1 2 1 = 4
1 = ，为定值．
2 2 2( 1+3) +3
3 3
2 1
1 2 2 ( 4 1+ 2)+3 2
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18.【答案】解：(1)证明：如图所示，设 与 交于点 ，连接 ，
由于 ⊥底面 ， 底面 ，故 ⊥ ，
又 ⊥ ，即 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
故 BD⊥平面 ，又 ， 平面 ，故 BD⊥ ， ⊥ ，
△ 为底面圆 的内接正三角形，且边长为√ 3，
则 √ 3 3

= √ 3, = √ 3 × = ， = = 2sin ； 2 2 3
又 = √ 3, = 1，
∴ 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
而 √ 3= = ，
2

∴△ ∽△ ，则∠ = ，即 ⊥ ，
2
结合 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
(2)以点 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
结合(1)可知 3 = 2 = 2√ (√ 3)2 ( )2 = √ 3，
2
则 3 √ 3 √ 3 √ 3 1 1 ( , 0,0), (0, , 0), (0, , 0), (0,0, ), ( , 0, √ 3), ( , 0,0)，
2 2 2 2 2 2
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则
3 √ 3 3 √ 3
= ( , , 0), = ( , 0, )，
2 2 2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3 √ 3
⊥
= + = 0
{ ，则{ 2 2 ，
⊥ 3 √ 3 = + = 0
2 2
令 = 1，则 = (1,√ 3, √ 3)，
平面 的法向量可取为 = (0,0,1)，
√ 21
则cos , = = ，
| || | 7
由原图可知二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为√ 21；
7
(3)由(2)
1 √ 3
可得 = ( , , 0), = (0,0, √ 3)，
2 2
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则
1 √ 3
= + = ( , , √ 3 )，
2 2
设直线 与平面 所成角为 ，
| | |3 +2|
则 = =| || | ， √ 2√ 7× 3 +1
2
9 +12 +4 1 12 +1
则sin2 = 2 = (3 + )，
7(3 +1) 7
2
3 +1
12 +1
令 = 2 , ∈ [0,1]， 3 +1
1
+
12 4 4 = 4 × 1 = 49 ≤ = 42
则 +3 1 1 49 + + 144
12 1 6 1 1
，
+ 2√ ( + )
144
12 12 1 + 6
12
49
1 1
当且仅当 + = 1441 ，即 = 时取等号， 12 + 2
12
1 12 +1 1 12 +1
即当 = 时， 2 取最大值4，则sin
2 = (3 + 2 )取最大值1， 2 3 +1 7 3 +1
故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为1．
19.【答案】解：(1)设 ( 0, 0) 0 > 0， 0 > 0，由抛物线方程
2 = 4 ，得焦点 2(1,0)，
设椭圆半焦距为 ，则 = 1，则 1( 1,0)，
因为 1 √ 6 2√ 6 △ = × 1 × 2 2 0 =
，解得 = ，
3 0 3
2
而点 在抛物线 2 = 4 上，则 0 = ，即
2 2√ 6
( , )，
3 3 3
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于是 2 2√ 6 2 2√ 62 = | 2| + | 1| = √ ( 1)2 + ( )2 + √ ( + 1)2 + ( )2 = 4， 3 3 3 3
所以 = 2，所以 2 = 2 2 = 4 1 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1．
4 3
2 2
(2)证明：由(1)知，椭圆

： + = 1的上顶点 (0, √ 3)，
4 3
显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 = + ( ≠ √ 3)，
2 2
{ + = 1联立 4 3 ，消去 整理得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
= +
由 = 64 2 2 4(4 2 + 3)(4 2 12) > 0得4 2 + 3 > 2，
8 4 2 12
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
4 +3 4 +3
由 ⊥ ，得 = 0，
而 = ( 1, 1 √ 3), = ( 2, 2 √ 3)，则 1 2 + ( 1 √ 3)( 2 √ 3) = 0，
即 1 2 + ( 1 + √ 3)( 2 + √ 3) = 0，
整理得(1 + 2) 1 2 + ( √ 3)( 1 + 2) + ( √ 3)
2 = 0，
2
2 4 12 8 则(1 + ) 2 + ( √ 3)( 2 ) + ( √ 3)
2 = 0，
4 +3 4 +3
化简得 2 ，而 ，解得 √ 37 6√ 3 3 = 0 ≠ √ 3 = ，
7
√ 3 √ 3
所以直线 ： = 恒过定点(0, )．
7 7
8√ 3 576
(3)由(2)知， 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
7(4 +3) 49(4 +3)
则| | = √ 1 + 2 | 1 2| = √ 1 + 2 √ ( 1 + )22 4 1 2
2 2 2
= √ 1 + 2
192 576 8√ 3 (49 +36)( +1)
√ + 4 = √ ， 2 2 2 2 2
49(4 +3) 49(4 +3) 7 (4 +3)
令4 2 + 3 = ≥ 3，则 8√ 3 (49 3)( +1) 2√ 3 3 46 16√ 3| | = √ 2 = √ 2 + + 49 ≤ ， 7 16 7 7
当且仅当 = 3，即 = 0时取等号，而| |2 + | |2 = | |2，
则 16√ 6| | + | | = √ | |2 + | |2 + 2| || | ≤ √ 2(| |2 + | |2) = √ 2| | ≤ ，
7
当且仅当| | = | |， = 0时取等号，
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所以| | + | |的最大值为16√ 6．
7
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