人教版（2019）安徽省黟县中学2023-2024高一上学期数学必修一期末测试卷（原卷 解析）

2023-2024黟县中学高一上学期数学期末测试卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，则等于( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式是( )
A. B.
C. D.
7.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，，，，则下列命题正确的是 ( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，则下列结论正确的是 ( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D. 的图象的对称轴方程为
11.【多选题】关于函数，有下列结论，其中正确的是( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小值是
C. 函数在上单调递增，在上单调递减
D. 函数的单调递增区间是和
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值等于_________．
13.若函数则函数的值域是_________．
14.函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是 _________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求；
如果，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
17.本小题分 已知函数，．
若，解关于的不等式；
若函数的最小值为，求的值．
18.本小题分 如图，墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观察它．
当时，观察者离墙多远时，视角最大？
若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？
19.本小题分某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励．记奖金为单位：万元，销售利润为单位：万元．
写出奖金关于销售利润的解析式；
如果业务员老江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，为基础题．
对一元二次不等式求解求出，再计算．
【解答】
解：因为，，
所以．
故选
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断．
【解答】
解：由题意可得：命题“ ”的否定是“ ”．
故选：．
3.若，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故选C．
4.函数的单调递减区间是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】，由的单调递减区间为，，可得，，解得，，故函数的单调递减区间是，故选A．
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方法一：令，显然，，为奇函数，排除、，由，排除故选A．
方法二：令，由，故选A．
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由时，，且是定义在上的奇函数得，当时，，即故选D．
7.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点的判定定理，用特殊值代入即可求出．
分别求出，，的值，得出，，从而得出答案．
【解答】
解：
函数的零点在区间上，
故选B．
8.已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：在上是减函数，且在上恒成立，
则解得，
所以实数的取值范围是．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，，，，则下列命题正确的是 ( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】AB
【解析】，则，，A正确；若，，由不等式同向可加性可得，，B正确； 当令，，，，则，C错误； 令，，则， D错误．
10.已知，则下列结论正确的是 ( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D. 的图象的对称轴方程为
【答案】ACD
【解析】， A正确；，，所以在上不单调， B错误；的图象向左平移个单位长度得到，为奇函数， C正确；由，得， D正确．故选ACD．
11.【多选题】关于函数，有下列结论，其中正确的是( )
A. 函数的图象关于轴对称
B. 函数的最小值是
C. 函数在上单调递增，在上单调递减
D. 函数的单调递增区间是和
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数的单调性，函数的奇偶性，函数的最值，考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性，结合复合函数的单调性及“对勾”函数的单调性，可以判断出函数的单调性，并求出函数的最小值，即可得到答案．
【解答】
解：，定义域为，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故选项A正确；
令，当且仅当，即时等号成立，
因为函数在上单调递增，
所以，所以函数的最小值为，选项B正确；
当时，，
由对勾函数可得，函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误；
由偶函数图象的对称性，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是和，故选项D正确．
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值等于________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式属于基础题．
利用诱导公式直接进行化简即可，注意牢记常见的特殊角的三角函数值．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．
13.若函数则函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由，得；由，，，，函数的值域为．
14.函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，，则函数的零点为，，
所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数在上有且仅有个零点，
所以，解得
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求；
如果，求实数的取值范围．
【答案】解：解：，时，
，且
或
，
时，，解得
时，，解得
综上，实数的取值范围为
【解析】本题考查集合的混合运算及集合关系中参数的取值范围，同时考查二次不等式的求解，属于中档题．
求得，再由交集和补集的定义即可得到所求集合；
若，则，讨论是否为空集，可得的不等式，解不等式即可得到所求范围．
16.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
【答案】解：由，可得，
．
联立
可得，，
又由知，
．

【解析】略
17.本小题分
已知函数，．
若，解关于的不等式；
若函数的最小值为，求的值．
【答案】解：时，由得，
，，
因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为
因为
，
令，因为，
所以，当且仅当时取得等号
则，
当，即时，在上单调递增，
当，即时，，
所以，解得，符合题意
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以，解得，不合题意，舍去．
综上，的值为．
【解析】本题考查复合型指数函数的性质，考查二次函数的单调性与最值，属于中档题．
根据指数函数的性质求解即可；
由题意得，再根据的取值范围分情况讨论求解．
18.本小题7分
如图，墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观察它．
当时，观察者离墙多远时，视角最大？
若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？
【答案】解：当时，过作的垂线，垂足为，
则，且，
设观察者离墙米，则，
且，，
所以，
，
当且仅当时取等号．
所以，当观察者离墙米时，视角最大
由知，
所以，，即
当时，，所以
即，解得或，
又因为，所以，
所以观察者离墙的距离应在至米范围内．
【解析】本题考查三角函数模型的应用，解三角形的实际应用求夹角及距离问题，属于中档题．
首先利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用基本不等式确定函数的最大值；
利用两角和的正切公式建立函数关系，利用的取值范围即可确定的范围．
19.本小题分
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励．记奖金为单位：万元，销售利润为单位：万元．
写出奖金关于销售利润的解析式；
如果业务员老江获得万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】解：由题意知
由题意知，
即，
所以，
解得．
所以老江的销售利润是万元．
【解析】本题主要考查的是函数模型的应用，属于基础题．
结合题意列出函数解析式即可；
利用所得的函数解析式逆向求值即可．