长丰县中2024-2025学年度高三12月数学模拟卷（含解析）

长丰县中2024-2025学年度高三12月数学模拟卷
考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4.函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
5.从，，，，五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
6.定义在上的函数满足，又，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象若在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某类汽车在今年至月的销量单位：千辆如表所示其中月份销量未知：
月份
月销量
若变量与之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A. B. 残差绝对值最大为
C. 样本相关系数 D. 当解释变量每增加，响应变量增加
10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点，为线段的中点，则( )
A. 若，则到准线距离的最小值为
B. 若，且，则到准线的距离为
C. 若，且，则到准线的距离为
D. 若过焦点，，为直线左侧抛物线上一点，则面积的最大值为
11.如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于下列选项中正确的有( )
A. 的最小值为
B. ：：时，：：
C. 三棱锥被平面分割成的两部分体积相等
D. 当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.，则在处的切线方程为_________．
13.若的展开式中含的项的系数为，则的最小值为_________．
14.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则的周期为_________；当时，，若关于的方程有个不同实根，则实数的取值范围是_________．．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.本小题分
已知，，分别是的内角，，的对边，且．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，求的面积；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求的值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为．
证明：平面平面；
若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值．
17.本小题5分
已知点，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线斜率不为交椭圆于，两点，当直线的斜率不存在时，．
求椭圆的离心率；
若点，分别为椭圆的左、右顶点，且面积的最大值为，直线与直线相交于点，求的取值范围．
本小题7分
已知函数．
求的单调区间和极值；
若是函数的极值点．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)讨论在区间上的零点个数．
19.本小题分
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以为首项，为公差的等差数列从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
求第行和第行的通项公式和；
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：证明当时命题成立；以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法请证明：数表中除最后行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．
长丰县中2024-2025学年度高三12月数学模拟卷答案
考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：或，
由，得，，
所以．
故选：．
求出集合，再结合集合的基本运算即可求解结论．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
则的虚部为．
故选：．
利用复数运算法则及共轭复数的定义判定即可．
本题主要考查复数运算法则及共轭复数的定义，属于基础题．
3.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：因为在上的投影向量为，即，
所以，
又，
，
，
所以，
故．
故选：．
根据投影向量公式得到方程，求出，进而由向量夹角余弦公式求出，得到夹角．
本题主要考查投影向量的应用，属于基础题．
4.函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意，设，有，解可得且，即函数的定义域为且，
又由，函数为偶函数，排除，
在区间上，，排除，
当时，，排除，
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性排除，分析区间上，的符号，排除，分析函数图象的变化趋势，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题．
5.从，，，，五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：若选择的个数中有，则没有重复数字的四位数有个；
若选择的个数中无，则没有重复数字的四位数有个；
所以没有重复数字的四位数共有个．
若个位数为，则没有重复数字的偶数有个；
若个位数不为，则没有重复数字的偶数有个；
所以没有重复数字的四位数共有个．
综上所述：该数为偶数的概率为．
故选：．
分类讨论分别求没有重复数字的四位数、偶数的个数，结合古典概型运算求解．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.定义在上的函数满足，又，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：
而，若时，则
所以函数在上是单调减函数，
，
故选：．
先确定函数的自变量的范围和大小关系，再根据导数的符号确定函数的单调性，进一步进行判定函数值的大小即可．
本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、对数值大小的比较等基础知识，考查运算求解能，属于基础题．
7.已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：直线与双曲线的一条渐近线平行，
可得，解得，直线：，双曲线的右焦点，
的右焦点到直线的距离为：．
故选：．
利用已知条件求解，求解右焦点到直线的距离即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题．
8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象若在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
由题可得，
因为，所以当时，，且，
因为在单调递增，所以，
又，解得．
故选：．
根据平移规则可得的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某类汽车在今年至月的销量单位：千辆如表所示其中月份销量未知：
月份
月销量
若变量与之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 残差绝对值最大为
C. 样本相关系数
D. 当解释变量每增加，响应变量增加
【答案】AB
【解析】解：对于选项A，由题意知，
代入方程得，即，
解得，故选项A正确；
对于选项B，月份的残差为，月份的残差为，
月份的残差为，月份的残差为，
月份的残差为，所以残差绝对值最大为，故选项B正确；
对于选项C，由表格可知变量与呈正线性相关，则，故选项C不正确；
对于选项D，当解释变量每增加，响应变量不一定增加，故选项D不正确．
故选：．
对于，根据回归直线必过样本中心点可解得；对于，根据残差的定义计算，即可判断；对于，根据表格和相关系数的意义，即可判断；对于，根据相关关系的定义，即可判断．
本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了残差的定义，以及相关系数的性质，属于基础题．
10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点，为线段的中点，则( )
A. 若，则到准线距离的最小值为
B. 若，且，则到准线的距离为
C. 若，且，则到准线的距离为
D. 若过焦点，，为直线左侧抛物线上一点，则面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】解：选项A，记抛物线的准线为，
当不过点时，根据三角形三边关系可得，
当过点时，，
设点、、到直线的距离分别为、、，
所以，故选项A正确；
选项BC，设、，则，，
由可知，，即，
整理得，
又，所以，
所以到准线的距离为，故选项B错误C正确；
选项D，因为过焦点，，所以，
则，
设直线的方程为，联立可得，
，所以，
所以，可得，
根据图形的对称性，不妨设，因为为直线左侧抛物线上一点，
由图象易知当过点的直线平行于且与抛物线相切时，点到直线的距离最大，此时，的面积最大，
令，易知此时点在抛物线上方，其对应的函数解析式为，
则，解得，则，
所以点到直线的距离，
此时，故选项D正确；
选项E，令、，
因为，所以，即，
设直线的方程为，联立可得，
，所以，解得，
所以直线的方程为，即直线恒过定点，
易知当时，点到直线的距离最大，最大值为，故选项E正确；
故选：．
对于选项A，由可以判断；对于选项BC，设、，由条件求出的值即可；对于选项D，首先求出直线的方程，然后过点的直线平行于且与抛物线相切时，点到直线的距离最大，此时的面积最大，然后算出答案即可；对于选项E，由条件求出直线恒过定点即可判断．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
11.如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于下列选项中正确的有( )
A. 的最小值为
B. ：：时，：：
C. 三棱锥被平面分割成的两部分体积相等
D. 当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为
【答案】ABC
【解析】解：作出与的展开图，如图所示．
则当，，三点共线时，最小，
最小值为，故A选项正确；
由题意得，故BA，又面，
故以为原点，建系如图，
则，，，，
，，设，则，
若：：，则，而，，
设面的法向量，故，，
则，，令，解得，，
故，设面任意一点坐标为，
可得面的方程为，当，时，，
故，显然：：成立，故B正确，
三棱锥上部分被平面截为，，三部分，设原体积为，
设：：，，
，
，
故，
则三棱锥被平面分割成的两部分体积相等，故C正确，
若为中点，则，，
，，设面的法向量，
则，，则，，
令，解得，，故，
故，则面的方程为，
当，时，解得，，
设过，，，的球方程为，将点代入方程，
可得，，
，解得，，，，
故球的方程为，经检验，也在该球上，
故，，，，五点共球，且球的半径为，故D错误．
故选：．
作出与的展开图，即可求解选项问题，建系，利用平面的方程处理，利用截面计算体积为定值处理，球的方程处理即可．
本题考查立体几何的综合应用，距离的最值的求解，几何体的外接球问题，属难题．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，则在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】解：依题意，，
则，
又，
故所求切线方程为：，整理得．
故答案为：．
利用导数的运算法则计算，得到切线斜率，写出切线的点斜式方程，化成一般式方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
13.若的展开式中含的项的系数为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】解：二项展开式的通项为，
令得，
，依题意得，，
，
，当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
故答案为：．
求出通项公式，利用项的系数得到方程，求出，进而由基本不等式求出最小值．
本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
14.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则的周期为______；当时，，若关于的方程有个不同实根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：依题意得：，，所以函数关于原点对称，
又为偶函数，所以，即，
所以函数关于直线对称，
由得，
所以是周期为的周期函数，
当时，，作出函数的部分图象如图，
令，
则，
故函数是上的偶函数，讨论的情况，再由对称性可得的情况，
因为，
所以也是周期为的周期函数，
当时，，
当时，；
当时，．
关于的方程有个不同实根，
即直线与的图象有个公共点，作出函数的部分图象如图：
观察图象知，当直线过原点及点，即时，
直线与的图象有个公共点；
当直线过原点及点，即时，
直线与的图象有个公共点；
当直线绕原点逆时针旋转到直线时，
旋转过程中每个位置的直线不含边界与的图象总有个公共点，
于是得：当时，关于的方程有个不同实根，有．
由对称性知，当时，关于的方程有个不同实根，有．
所以实数的取值范围是：．
故答案为：；．
根据给定条件探讨函数的性质，进而探求函数的性质，作出图象数形结合求解．
本题考查函数周期性和零点综合应用，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
已知，，分别是的内角，，的对边，且．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，求的面积；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求的值．
【答案】解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
Ⅱ由Ⅰ知，
因为，，所以，
由余弦定理可得，，
整理可得，
解得或舍去，
所以；
Ⅲ由于，
．
所以
．
【解析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，两角和的余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．
Ⅰ由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；
Ⅱ由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；
Ⅲ结合二倍角公式及两角和余弦公式即可求解．
16.本小题5分
如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为．
证明：平面平面；
若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值．
【答案】解：证明：取的中点，连接，
因为，，
所以为等边三角形，
因为为中点，所以，，
因为三棱柱的体积为，设到平面的距离为，
所以，
所以，则平面，
又平面，
所以平面平面．
连接，由知平面，又平面，
所以，
因为为的中点，，
所以，且，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
因为，
所以，因为为的中点，所以，
则，
设平面的一个法向量，
则，即，即，
令，解得，
故，
设平面的一个法向量，
则，即，即，
令，解得
，故，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以，
所以．
【解析】取的中点，连接，由已知得出，再根据体积求出点到平面的距离，即可得出平面，即可证明；
建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可．
本题考查面面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
17.本小题5分
已知点，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线斜率不为交椭圆于，两点，当直线的斜率不存在时，．
求椭圆的离心率；
若点，分别为椭圆的左、右顶点，且面积的最大值为，直线与直线相交于点，求的取值范围．
【答案】解：将代入椭圆方程中，
解得，
所以，
即，
整理得，
解得舍去或，
所以椭圆的离心率为；
易知，当点在短轴端点时，的面积最大，
所以，
解得，
则椭圆的方程为，
易知直线，，的斜率不为，
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，，，，
联立，
解得，
所以，
由斜率公式可得，
所以，
，
因为，，
所以，
，
此时，，
联立，消去并整理得，
此时
由韦达定理得，
记，
此时，
所以，
则，
易知，
所以，
解得．
故的取值范围为．

【解析】求出通径，可得齐次式，然后可得离心率；
设直线，，方程分别为：，，，，，，联立求出点坐标，利用斜率公式表示出，，代入化简，再利用韦达定理转化为关于的函数，然后可得的范围．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间和极值；
若是函数的极值点．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)讨论在区间上的零点个数．
【答案】解：，，取，得到，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值．
证明：，，，故，
设，函数单调递增，，．
根据零点存在定理知．
，，，
设，，
当时，，故，单调递增，，
故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．，故F，，故函数在上有个零点．
综上所述：在区间上的零点个数为．
【解析】求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案．
计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
(ⅱ)求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数．
本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路．
19.本小题分
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数：第一行是以为首项，为公差的等差数列从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
求第行和第行的通项公式和；
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：证明当时命题成立；以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法请证明：数表中除最后行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．
【答案】解：因为，，，，，
所以，，，，，
，，，，，
当时，第一行是以为首项，为公差的等差数列，满足要求，
假设当时，成立，即第行为公差为的等差数列，
则当时，
，
故第行的数也依次成等差数列，公差为，
综上，数表中除最后行外每一行的数都依次成等差数列，
由于，，，
所以，
，
由于，故，即，
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故，
，
故，
令，则，
故
，
，
因为，所以，
故，
令，则当时，都有，
综上，为满足要求的等比数列．
【解析】根据题意求出，进而求出和；
利用数学归纳法进行证明即可，并得到数列是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
在的基础上得到和，根据通项公式特征，令并裂项相消法求和得到，并求出当时，满足于任意的，均存在实数，当时，都有．
本题考查数列的应用，数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题，属难题．