类型 1 规律探究题专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

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类型 1 规律探究题
1.规律探究题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法.它既能充分地考查考生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考查考生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等.解决这类问题，往往需要考生展开观察、类比、归纳、猜想等一系列的探索活动.通过规律探究题的解题活动，不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，有利于思维品质的提高，也有利于自主探索、创新精神的培养.
2.在解决规律探究题时，通常先考察一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论.在解题的过程中，需要对题目中的数据、图形等进行适当的变化，使得数据的规律更加明显.
3.通过观察、猜想、分析、归纳等数学活动，学生了解中考规律探究题的常见题型及其特征.熟悉规律探究题的一般思路、解法.因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力.
【例1】如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正六边形 ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB∥x轴，交 y轴于点 P.将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转 90°,则第2022 次旋转结束时,点A的坐标为 ( )
D.(1, )
【解析】本题考查旋转的性质、正六边形的性质、特殊角的三角函数.如图，若△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则△OAP每旋转4次回到初始位置，因为 2022=4×505+2,所以第 2 022 次旋转结束,△OAP旋转至△ODQ的位置，此时点 A 旋转至点D的位置.在正六边形 ABCDEF 中,∠COD=60°,OC=OD,所以△OCD 是等边三角形,所以OD=CD = 2. 又∠COQ= 90°, 所以∠DOQ=30°.因为 DE∥AB∥x 轴,所以∠OQD=90°,所以 所以 ,故选 B.
【答案】B
【例2】如图中的三个图形都是边长为1 的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 2×2个小正方形，所有线段的和为 12，第三个图形有 3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为 .(用含 n的代数式表示)
【解析】本题考查规律探究.由图可知，第一个图形中有1×1个小正方形，所有线段和为4，4=4×1；第二个图形中有2×2个正方形,所有线段和为 12,12=4×(1+2);第三个图形中有 3×3 个正方形，所有线段和为24,24=4×(1+2+3),照此计算,第n个图形中有 n × n个正方形，所有线段 和为 2n(n+1)，即第n 个网格中所有线段的和为2n(n+1).
【答案】2n(n+1)
【例3】观察以下等式:
第1个等式：( (2×2) ,
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：( (5×8) ,
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明.
【解】( (6×10) ;
[(n+1)·2n] .
证明：左边：
右边
所以左边=右边，等式成立.
1.将字母“C”, “H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是 ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
2.把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1 个菱形，第②个图案中有 3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为 ( )
A.15 B.13
C.11 D.9
3.按一定规律排列的单项式：x,3x ,5x ,7x ,9x ,……, 第 n 个单项式是 ( )
A.(2n-1)x"
B.(2n+1)x"
C.(n-1)x"
D.(n+1)x"
4.将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是( )
A.98 B.100 C.102 D.104
5.由12个有公共顶点O的直角 三 角 形 拼 成 的 图 形 如 图 所示，∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°.若OA=16,则OG 的长为 ( )
A.2 B.
6.木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第 n个图中共有木料 根.
7.观察下列各等式:
①
②
③
根据以上规律，请写出第5个等式： .
8.如图,六边形 ABCDEF 是正六边形,曲线 FA1B1C1D1E1F1…叫作“正六边 形 的 渐 开线”， 的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时，曲线线 FA1B1C1D1E1F1的长度是 .
9.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1 表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有 6 块(如图2)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8 块(如图3)；以此类推.
(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
(2)若一条这样的人行道一共有 n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 (用含 n 的代数式表示).
(3)现有2 021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块
压轴预测
1.如图，是由相同大小的圆按照一定的规律摆放而成，按照规律，第5个图形中圆的个数是 ( )
A.61 B.41
C.40 D.25
2.如图，正方形 ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……，按照此规律继续下去，则S9的值为 ( )
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点 P(1，0).点P 第 1 次向上跳动 1 个单位至点 P1(1,1),紧接着第 2 次向左跳动 2 个单位至点P2(-1,1),第 3 次向上跳动1个单位至点P3，第4 次向右跳动 3 个单位至点 P4，第5次又向上跳动1个单位至点 P5，第6 次向左跳动 4 个单位至点 P6,……,照此规律,点 P 第 2 022 次跳动至点 P2022的坐标是 .
4. 如图, 四边形ABCD是正方形, 曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段 90°的弧组成的.其中： 的圆心为点 A，半径为AD； 的圆心为点 B，半径为BA1;B1C1的圆心为点 C,半径为CB1;C1D1的圆心为点 D，半径为DC1;…,DA1,A1B1,…的圆心依次按点A,B,C,D循环. 若正方形 ABCD 的边长为 1，则 的长是 ， 的长是 .
5.五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有 3 个盆栽，第三层有 5 个盆栽，第四层有7个盆栽，……，以此类推.请观察图形规律，解答下列问题.
(1)第10 层有 个盆栽,第 n 层有 个盆栽；
(2)计算:1+3+5+…+49= ;
(3)拓展应用:求 51+53+55+…+1 949的值.
6.先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：第1个等式：
第2个等式：
2×3×4-1×2×3)
第3个等式：
1×2+2×3+3×4
2×3+3×4×5-2×3×4)
(1)依此规律,猜想:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= (直接写出最后结果)；
(2)根据上述规律计算:10×11+11×12+12×13+…+29×30.
类型 1 规律探究题
1. B 【解析】本题考查规律探究.由题图可知，图①中有4个“H”,图②中有6个“H”,图③中有8个“H”,则图④中有 10个“H”,故选 B.
2. C 【解析】本题考查探索图形的变化规律.由题意知，第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3 个菱形，即1+2×1=3,第③个图案中有5个菱形,即1+2×2=5,……,则第n个图案中有1+2(n-1)=(2n-1)个菱形,∴第⑥个图案中有2×6-1=11(个)菱形,故选 C.
3. A 【解析】本题考查数式规律探究.依题意，第1个单项式的系数为1×2-1=1，第2个单项式的系数为2×2-1=3,第3个单项式的系数为3×2-1=5,……,第n个单项式的系数为n×2-1=2n-1；第1个单项式的x的指数为1，第2个单项式的x的指数为2，第3个单项式的x的指数为3，……，第n个单项式的x的指数为n，所以第n个单项式是(2n-1)x”,故选 A.
4. B 【解析】本题考查规律探究.由题知，第n行有n 个数，且同一行相邻的两个数相差2.第1行第1个数是2，第2行第1个数是2+2=4,第3行第1个数是2+2+4=8,第4行第1个数是2+2+4+6=14,……,以此类推,第10行第1个数是2+2+4+6+8+10+12+14+16+18=92,所以第10 行第5个数是92+2×4=100,故选 B.
5. A 【解析】本题考查探索规律、特殊角的三角函数值、相似三角形的判定与性质.根据题意，设第1个图形的边长ML=1.∵∠AOB=∠BOC= =∠LOM=30°,∴第2个图形的边长 第 3个图形的边长 第4个图形的边长 第6个图形的边长 第 12 个 图形的边长 ∠AOB,∠OHG=∠OBA,∴△GOH∽△AOB,∴OG: 故选 A.
【解析】本题考查图形的规律探究.由图可知，第1个图中有1根木料，第2个图中有1+2=3(根)木料；第3个图中有1+2+3=6(根)木料；第4个图中有1+2+3+4=10(根)木料;……,照此计算,第n个图中有 (根)木料.
【解析】本题考查规律探究问题.由题知.
即 即
8.7π 【解析】本题考查规律探索、正六边形的性质、弧长公式.∵正六边形的每一个内角都为120°，∴每一个外角都等于60°，即每个扇形的圆心角都为60°，由图可知，扇形 FAA 的半径为1,扇形 A BB 的半径为2,其余扇形的半径依次为3,4,5,6,∴曲线 FA B C D E F 的长度为
9.(1)2 (2)2n+4 (3)1 008
(1)观察题图1，2，3，即可得出答案；(2)利用(1)中结论结合题干中正方形地砖只有1块时等腰直角三角形地砖的块数，即可求解；(3)根据题意，列出关于 n的不等式，求解即可.
解:(1)2;
(2)2n+4;
(3)设需要正方形地砖n块，
于是2n+4≤2 021,解得 n≤1 008.5,
由题意可知n取1008.
所以需要正方形地砖1008块.
压轴预测
1. B 【解析】本题考查规律探究.观察图形的变化可知，第1个图形中圆的个数为 第2个图形中圆的个数为 第3个图形中圆的个数为： 第4个图形中圆的个数为 ，所以第5个图形中圆的个数为 故选 B.
2. A
3.(-506,1 011)
4.π 3π 4 039π 【解析】本题考查弧长的计算.由图可知,曲线 DA B C D A …是由一段段90°的弧组成的,半径为每次前一段弧的半径加1, 4(n-1)+2,故 的长为 的长为 的半径为 的弧长为
5.(1)19,2n-1 (2)625 (3)950 000
(1)找出层数与每层盆数的对应关系，再按照规律解题即可;(2)利用倒序相加的方法可得2(1+3+5+…+49)=(1+49)+(2+48)+…+(49+1),求和后再除以2即可得解；(3)根据(2)中结论与平方差公式解题即可.
解:(1)19,(2n-1).
(2)625.
(3)1+3+5+…+1949=975 .
而由(2)知
∴原式=(1+3+5+…+1949)-(1+3+5+…+49)
=950 000.
(2)86 60
解：
(2)原式=(1×2+2×3+…+29×30)-(1×2+2×3+…+9×10)
=8 660.