类型 2 分类讨论问题 专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

类型 2 分类讨论问题
1.分类讨论思想就是按照一定的标准把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个解决，最后予以总结作出结论的思想方法.
2.分类讨论的实质是化整为零，各个击破的转化策略.分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做到既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案.
3.运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则.
【例1】在△ABC中,AD为边 BC 上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是 度.
【解析】本题考查三角形的内角和定理.如图,因为 AD⊥BD,所以∠ADB=90°.又∠ABC=30°,所以∠ 当点 C 位于 C 处时,. 当点C位于 C 处 时,. .综上,∠BAC 是40°或 80°.
【答案】40 或80
【例2】抛物线 2x-3交x轴于A,B两点(A在B 的左边),C是第一象限抛物线上一点，直线 AC 交y 轴于点 P.
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图1,当OP=OA 时,在抛物线上存在点 D(异于点 B),使 B,D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点 D 的横坐标.
【解】(1)A(-1,0),B(3,0).
(2)∵OP=OA=1,∴P(0,1),
∴直线AC的解析式为y=x+1.
①若点 D在AC 下方时,
过点 B 作AC 的平行线与抛物线的交点即为D .
∵B(3,0),BD ∥AC,
∴BD 的解析式为 y=x-3.
联立
解得， (舍).
∴点 D 的横坐标为0.
②若点 D 在AC 上方时,点 D (0,-3)关于点 P 的对称点为G(0,5).
过点G作AC 的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D.
直线l的解析式为y=x+5.
联立
解得
∴ 点 D , D 的 横 坐 标 分 别 为
∴ 符合条件的点 D 的横坐标为：0， 或
另解:设 D(d,d -2d-3),过点 D 作x 轴垂线交AC 于点G,根据DG=4求解.
1.有一题目:“已知:点O 为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC 以及它的外接圆O，连接 OB,OC,如图. 由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全，∠A 还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是 ( )
A.淇淇说的对，且∠A 的另一个值是115°
B.淇淇说的不对,∠A 就得65°
C.嘉嘉求的结果不对，∠A 应得50°
D.两人都不对，∠A 应有3个不同值
2.已知△ABC 是等腰三角形.若∠A = 40°, 则 △ABC 的 顶 角 度 数是 .
3.如图,在△ABC 中,AC=2,BC=4,点 O 在 BC 上,以 OB 为半径的圆与AC 相切于点 A. D 是 BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为 .
4.已知点 A 在反比例函数y= 的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则 AB的长为 .
5.如图, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2 点 D 为AB的中点,点 P 在 AC 上,且CP=1,将 CP绕点 C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q,连接 AQ,DQ.当∠ADQ=90°时,AQ的长为 .
6.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏,如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1.第一步,在AB边上找一点D，将纸片沿 CD 折叠，点 A 落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠,点 D 落在D'处,如图 3.当点 D'恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为 .
7.矩形纸片 ABCD,长 AD=8cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点 B,交 AD 边于点 E,点 A 落在点A'处，展平后得到折痕 BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE的长为 厘米.
8.如图,抛物线 y= 经过点A(--1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点 D.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点 P 的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP 的面积;
(3)点Q 在抛物线上，当 的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点 Q 的横坐标.
9.如图,抛物线 bx+c经过点A(-2,0),B(4,0),与 y轴正半轴交于点C，且 OC=2OA，抛物线的顶点为 D，对称轴交x轴于点 E.直线y= mx+n经过B,C两点.
(1)求抛物线及直线 BC的函数表达式；
(2)点F 是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点 F 的坐标及FA+FC的最小值；
(3)连接AC，若点 P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点 E 为直角顶点的 Rt△PEQ，且满足 tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
1.如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 与反比例函数 交于点D，E，过点 D，E分别作平行于x轴和 y 轴的直线交坐标轴于点A，B，直线 AD与直线BE 交于点C,已知点 A(0,2),B(4,0),若点 P 为坐标轴上的一点，且△OPD 的面积等于四边形 DOEC 的面积，则P 点的坐标为 .
2.如图,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=25,点 E 是BC 边上一点,CE=16,点 M 是边AD 上一动点，点N 是边 BC 上一动点，射线 AN 与射线 ME 相交于点 F，且满足∠AFM=∠EAD,将△ABE 沿 AB 翻折得到△ABG.
(1)连接 DE,求∠AED的度数;
(2)当△AFM 是以 FM 为腰的等腰三角形时，求EN 的值.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 与直线 交于A,B两点，抛物线与 y 轴交于点 C，直线 y= 与 x轴交于点 D，与y 轴交于点E,且∠DCB=90°,CB=CD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在 BD上是否存在点F,使得以C,D,F为顶点的三角形与△BCE 相似 如果存在，请求出点 F 的坐标；如果不存在，请说明理由.
4.已知函数 (b,c为常数)的图象经过点
(1)求 b,c满足的关系式;
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m 的函数解析式；
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.
类型 2 分类讨论问题
1. A 【解析】本题考查三角形的外接圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理.当点 O 在△ABC 内部时,∠A= 当点 O 在 AB 或 AC 边上时,∠A= 当点O在△ABC外部时，由圆内接四边形的性质知 故选 A.
2.40°或 100° 【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理.当∠A 是△ABC的顶角时，
△ABC 的顶角度数是40°;当∠A 是△ABC的底角时,△ABC的顶角度数是 .综上，△ABC的顶角度数是40°或100°.
3. 或 【解析】本题考查圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质.如图1，连接OA.∵AC是⊙O的切线,∴OA⊥AC,即. 当点 D 与点O重合时，△ACD是直角三角形，设⊙O的半径为r，则OA=OB=r.∵BC=4,∴OC=BC-OB=4-r,在Rt△ACO中，AC=2，由勾股定理得( 解得 ,即 AD 的长为 .如图2,当AD⊥BC 时,△ACD 是直角三角形,连接 OA,易知( ∵∠ADO=∠OAC=90°,∠AOD=∠COA,∴△AOD∽△COA,∴OC=ADC,艮 解得 ∴AD的长为- 或
4.5,2 , 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质、等腰三角形的性质、勾股定理.如图1，当OB=AB=5时,△OAB是等腰三角形,此时AB=5;如图2,当OA=AB=5时,△OAB是等腰三角形,此时AB=5;当OA=OB=5时,△OAB 是等腰三角形,过点 A 作AM⊥OB 于点 M.∵点 A 在反比例函数 的图象上，∴设点 A 的坐标为 在Rt△AOM中，由勾股定理得 整理得 即 解得a=±3或a=±4.∵a>0,∴a=3或a=4.当a=3时,如图3,点A 的坐标为(3,4),即(OM=3,AM=4,∴BM=OB-OM=2.在Rt△ABM中,由勾股定理得 当a=4时,如图4,点 A的坐标为(4,3),即OM=4,AM=3,∴BM=OB-OM=1.在 Rt△ABM中,由勾股定理得 综上所述，AB的长为5，2 ,
【解析】本题考查等腰直角三角形的性质、圆的性质、勾股定理.如图，CP 绕点C 在平面内旋转所得的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆.因为∠ACB= 所以 又D为AB 的中点，所以 AB,所以当∠ADQ=90°时,C,D,Q三点共线.当点 Q 在DC 的延长线上的 Q 位置时,DQ =CD+CQ =3.在 Rt△ADQ 中，由勾股定理得 ;当点 Q 在线段 DC 上的 Q 位置时,DQ =CD- 在 Rt△ADQ 中, 由 勾 股定
理得 综 上, AQ 的长为 或.
6. 【解析】本题考查轴对称的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理.如图1，当点 D的对应点 D'落在 AB 边上时,则对称轴 A'C⊥AB. 在Rt△ABC中,∠B = 30°, AC = 1, ∴ ∠A = 60°. 在Rt△ACM中, 由 折叠知，∠CA'D=∠A=60°,A'C=AC=1,∴∠A'DB =30°, 在 Rt△A'DM 中, 由折叠知 如图2,当点 D'落在 BC 边上时，由折叠可知，. ∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°,A'C=AC=1,∴∠A'DC=90°,在 Rt△A'CD'中, 综上所述，A'D'的长为
充分利用轴对称(折叠)的性质确定直角三角形是解答本题的关键.
【解析】本题考查矩形的性质、图形的折叠、锐角三角函数.根据题意，分三种情况：①当∠ABE=30°时,在 Rt△ABE 中, ②当 时，如图1， ,过点 A'作MN∥AB,交AD 于点M,交 BC 于点 N,在 Rt△A'BN 中,A'B= 又在Rt△A'EM 中,I ∴AE=AM-EM=BN-EM=2--(4 -6)=8-4 ;③当∠AEB=30°时,如图2,在 Rt△ABE 中,AE= .综上所述，AE 的长为 或4 或；
(2) (3) , ,1
(1)将点 A(-1,0),C(0,3)代入 中求出a，c即可；(2)连接OP，根据抛物线的解析式求出点 B的
坐标，根据 即可求解；(3)过点 P 作 PF∥x轴,交直线 BC 于点 F,可得△PFD∽△ABD,进而得出 可知当 PF最大时，PDD最大，设 表示出点 F 的坐标，求出当PF 最大时点 P 的坐标,设出点 Q 坐标,然后分∠APQ=90°,∠PAQ=90°,∠AQP=90°三种情况进行讨论即可.
解:(1)∵抛物线 经过点 A(--1,0)、C(0,3),
解得
∴该抛物线的函数表达式为
(2)如图1,连接OP,
令
∴B(3,0).
∵C(0,3),P(1,4),
∴OC=3,OB=3, xp=1, yp=4.
(3)如图2,作 PF∥x轴,交直线 BC于点F,
则△PFD∽△ABD.
∵AB=4是定值,
∴当 PF最大时, 最大.
设 yBC= kx+b,
∵C(0,3),B(3,0),
设
则
∴当 时，PF取得最大值
此时
设点
若△APQ是直角三角形，
则点 Q不能与点 P、A重合，
下面分三类情况讨论：
①若∠APQ=90°,如图3,
过点 P 作PP ⊥x轴于点 P ,作QP ⊥P P交P P的延长线于点 P ，
则△PP Q∽△AP P.
②若∠PAQ=90°,如图4,
过点 P 作直线 PA ⊥x轴于点A ,过点 Q作QA ⊥x轴于点A ,
则△APA ∽△QAA .
③若∠AQP=90°,如图5,过点 Q作QQ ⊥x轴于点Q ,作 PQ ⊥Q Q交Q Q的延长线于点Q ,
则△PQQ ∽△QAQ .
综上所述，当PDD的值最大且△APQ是直角三角形时，点 Q的横坐标为
9.(1)抛物线的解析式为 直线 BC的解析式为y=-x+4 (2)(1,3)5 或
(1)根据点A的坐标可求出点 C 的坐标，即可求出c的值，再将点A，B的坐标代入抛物线，列出二元一次方程组，求出a，b的值，即可求出抛物线的解析式，将点 B，C的坐标代入直线BC 的解析式求出m，n的值，即可得直线 BC的函数表达式；(2)点A 关于抛物线对称轴的点是B,则当 F,B,C三点共线时,FA+BC有最小值,此时线段 BC的长即为FA+FC的最小值，求出抛物线的对称轴，代入直线 BC 的解析式，求出点 F 的坐标，再根据点 B 和点C 的坐标求出 BC 的长即可求解；(3)设出点 P，Q的坐标，再分 P，Q在对称轴两侧或同侧进行讨论即可求解.
解:(1)∵点 A(-2,0),∴OA=2.
∵OC=2OA,∴OC=4,
∴点C的坐标为(0,4),即c=4.
将点A，B的坐标代入抛物线得
解得
∴抛物线的解析式为
将点 B，C的坐标代入直线BC 的解析式y= mx+n得 解得
∴直线 BC 的解析式为y=-x+4.
(2)∵点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，
∴FA=FB,
∴FA+FC=FB+FC,则当 F,B,C,三点共线时,FA+FC有最小值，此时直线BC与对称轴的交点即为点 F，则 BC的长即为FA+FC的最小值.
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=1时,y=-1+4=3,
∴点 F 的坐标为(1,3),
又∵OC=3,OB=4,∴BC=5,
即 FA+FC的最小值为5.
∴当 FA+FC的值最小时,点 F 的坐标为(1,3),FA+FC的最小值为5.
(3)设点 P 的坐标为 点 Q的坐标为(m,-m+4),
如图1，当点 P，Q分别在对称轴两侧时，过点 P 作 PM⊥x轴于点 M,过点 Q作QN⊥x轴于点 N,
∴∠PME=∠PEQ=90°,
∴∠MPE+∠PEM=∠PEM+∠QEN=90°,
即∠MPE=∠NEQ,
∴△PME∽△ENQ,
若·tan∠EQP=tan∠OCA,
即
解得 (舍去负值)，
此时点 P 的坐标为
如图2，当点 P，Q都在对称轴右侧时，过点 P，Q作对称轴的垂线，垂足为 M，N，
则 -m+4,
由△PEM∽△EQN得
解得 (舍去负值)，
此时点 P 的坐标为
综上所述，点P 的坐标为
或
1.(0,12)或(0,-12)或(-6,0)或(6,0)
【解析】本题考查反比例函数的综合应用.将y=2代入直线 得x=1,∴点 D(1,2).把D点的坐标代入 得k=2，∴反比例函数的解析式是 同理可得 2×4-1×2=6.由题意得当点 P 在 y 轴上时, |OP|×1=6,∴OP=±12;当点 P 在x 轴上时,S△OPD= |OP|×2=6,OP=±6,∴P .点的坐标为(0,12)或(0,-12)或(-6,0)或(6,0).
2.(1)90° (2)0或3
(1)利用矩形的性质结合勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解；或利用矩形的性质及相似三角形的判定与性质即可求解;(2)分 MA=MF 和FA=FM两种情况进行讨论,当MA=MF 时,点 N 和点 E 重合;当 FA=MF时，利用相似三角形的判定与性质及矩形的性质即可求解.
解:(1)解法一:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD=12,AD=BC=25,∠ABC=∠C=90°,
∴BE=BC-CE=25-16=9,
∴∠AED=90°.
解法二：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=12,AD=BC=25,∠ABC=∠C=90°,
∴BE=BC-CE=25-16=9,∠BAE+∠BEA=90°.
y
∴ABE=ECD,∴△ABE∽△ECD,
∴∠BAE=∠CED,∴∠CED+∠BEA=90°,
(2)①当MA=MF时,∠MAF=∠MFA.
∵∠AFM=∠EAD,∴∠MAF=∠EAD,
∴点 E,F,N三点重合,即 EN=0;
②当FA=FM时,∠FAM=∠FMA.
∵∠AFM=∠EAD,∠FMA=∠AME,
∴△FMA∽△AME,
∴∠AME=∠AEM,∴AM=AE=15.
过点 F 作 FQ⊥AD于点Q,交 BC于点 P,
则∠AQF=90°.
∵AD∥BC,∴FP⊥NE,
∵四边形 ABCD是矩形,
∴∠BAQ=∠ABE=90°,
∴四边形 ABPQ是矩形,
∴AQ=BP=BN+NP,
即 解得 EN=3.
综上所述，当△AFM是以FM 为腰的等腰三角形时，EN的值是0或3.
(2) (2, 或
(1)过点 B作BM⊥y轴，垂足为 M，根据全等三角形的判定证明△COD≌△BMC，根据全等三角形的对应边相等可表示出点 B的坐标，将点 B 的坐标代入一次函数的解析式，可求出c的值，再将点 B的坐标代入抛物线的解析式，可求出b的值，据此即可求得抛物线的解析式；
(2)分两种情况进行讨论:①若△DCF∽△BCE,利用全等三角形的判定证明△CDE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等可表示出点 F 的坐标；②若△DFC∽△BCE,证明△CEF∽△BEC,则有∠ECF=∠EBC=45°.设出点 F 的坐标，作 FN⊥y轴，表示出相关线段的长，从而可建立关于 m的方程，求出 m 的值，进而可得点 F 的坐标.
解:(1)过点 B作BM⊥y轴,垂足为点 M,如图1.
∵∠DCB=90°,CB=CD,
∴∠DCO+∠BCO=∠DCO+∠CDO=90°,
∴∠BCO=∠CDO.
又∠COD=∠BMC=90°,
∴△COD≌△BMC(AAS),
∴BM=CO=c,CM=DO=1,
∴B(c,c-1).
将点 B 坐标代入直线 中,得 c-1=
解得c=3,∴B(3,2).
将(3,2)代入 中，解得
(2)由题意,得∠CDB=∠CBD=45°.
①若△DCF∽△BCE,则∠CFD=∠CEB,
∴∠CED=∠CFB,
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴DE=BF,
点 F 的坐标为
②若△DFC∽△BCE,则∠DFC=∠BCE.
又∠CEF=∠BEC,
∴△CEF∽△BEC,
∴∠ECF=∠EBC=45°.
设点 F 坐标为 作 FN⊥y轴,如图2.
∴CN=FN==m,NE= yr-OE= m,
解得
∴点 F 的坐标为
综上可知，当点 F坐标为(2， )或( 时,以C,D，F为顶点的三角形与△BCE 相似.
4.(1)c=2b ( (3)2 或6
(1)把x=-2,y=4代入解析式即可求出c=2b;(2)求得 的对称轴，即可找到 n与m 的函数关系式；(3)根据对称轴的位置，确定函数在-5≤x≤1的最值，即对b进行分类讨论，根据最大值与最小值的差为16，列出等式求b.
解:(1)将点(-2,4)代入 得
∴c=2b.
∴b,c满足的关系式是c=2b.
(2)把c=2b代入. 得
∵顶点坐标是(m,n),
且 即b=-2m.
∴n关于m的函数解析式为
(3)由(2)的结论，画出函数 和函数 y= 的图象.
∵函数 的图象不经过第三象限，
①当 即4≤b≤8时,如图1所示,
x=1时，函数取到最大值y=1+3b;
时，函数取到最小值
即b +4b-60=0.
∴b=6或b=-10(舍去).
②当 即0≤b<4时,如图2所示,
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x=-5时，函数取到最大值y=25-3b;
时，函数取到最小值
即
∴b=2或b=18(舍去).
综上所述，b的值为2 或6.