专题 16 概率 知识点梳理及专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

专题16 概率
1.事件可以分为 和 .确定事件又包括 和 .在每次试验中，事先知道其一定会发生的事件叫作 .在每次试验中，事先知道其一定不会发生的事件叫作 .在每次试验中，事先都无法确定其会不会发生的事件叫作 .
2.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且发生的可能性相等，其中使事件 A发生的结果有m(m3.概率的计算方法有： ， , .
4.可以通过计算 来评判游戏是否公平.如果游戏双方 相同，说明游戏公平，否则可以通过修改游戏规则或者得分标准使游戏公平.
5.较复杂事件的概率估算：可以通过 估计复杂事件的概率，要求选用合理的 ，在相同条件下进行试验，试验次数越 ，试验获得的估计值相对就越准确.
实战演练
1.某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序.主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽.下列说法中正确的是 ( )
A.小星抽到数字1的可能性最小
B.小星抽到数字2的可能性最大
C.小星抽到数字3的可能性最大
D.小星抽到每个数的可能性相同
2.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B两位同学座位相邻的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“□□□”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A. B. C. D.
5.不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2 个红球和1个白球，从袋子中随机摸出 2 个球，下列事件是必然事件的是 ( )
A.摸出的2个球中至少有1个红球
B.摸出的2个球都是白球
C.摸出的2个球中1个红球、1个白球
D.摸出的2个球都是红球
6.现有4 张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道.若琪琪第一个抽签，她从1—8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 .
8.如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 .
9.质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1 000
合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904
合格率m 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是(结果保留一位小数) .
10.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 .
11.2022 年 3 月 25 日,教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.
等级 时长t(单位：分钟) 人数 所占百分比
A 0≤t<2 4 x
B 2≤t<4 20
C 4≤t<6 36%
D t≥6 16%
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
(2)该校共有 500名学生，请你估计等级为 B 的学生人数；
(3)本次调查中，等级为 A 的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
12.2022年3 月22 日至28 日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.
成绩x/分 频数 频率
60≤x<70 15 0.1
70≤x<80 a 0.2
80≤x<90 45 b
90≤x<100 60 c
请根据图表中所给信息，解答下列问题：
(1)表 中 a = , b = ,c= ;
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为 99 分，从这4 名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的 2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.
13.小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次.
(1)小亮随机摸球10次，其中6 次摸出的是红球，求这 10次中摸出红球的频率；
(2)若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.
压轴预测
1.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1到6 的点数，则下列事件为随机事件的是 ( )
A.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
B.两枚骰子向上一面的点数之和小于2
C.两枚骰子向上一面的点数之和小于6
D.两枚骰子向上一面的点数之和等于13
2.在一个不透明的袋子中有三个黑球和两个白球，它们除了颜色不同外都相同，随机从中摸一个球，记录颜色后，放回袋子中，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.某园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为 .(结果精确到0.1)
植树总数n 400 3 500 7 000 9 000 14 000
成活数m 369 3 203 6 335 8 073 12 628
成活的频率- mn 0.923 0.915 0.905 0.897 0.902
4.如图是一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120°和240°.若让转盘自由转动一次，则指针落在白色区域的概率是 .若让转盘自由转动两次，则指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率是 .
5.为了响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，镇海区各校在周六开展了丰富多彩的社团活动.某校为了了解学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向，在全校各个年级抽取了一部分学生进行抽样调查(每人选报一类)，绘制了如图所示的两幅统计图(不完整).
请根据图中信息，解答下列问题.
(1)求扇形统计图中m= ，并补全条形统计图；
(2)已知该校共有 1 600名学生，请估计有意向参加“摄影社团”共有多少人
(3)在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中乙、丙两位同学的概率.
参考答案
1.确定事件 随机事件 必然事件 不可能事件 必然事件 不可能事件随机事件
3.列表法求概率 画树状图法求概率利用频率估计概率
4.概率获胜的概率
5.试验的方法 替代物 多
1. D 【解析】本题考查随机事件的可能性.小星抽到数字1,2,3的可能性相同,故选 D.
2. A 【解析】本题考查用列表法或画树状图法求概率.由题意，列表如表，
第二次 第一次 红 绿
红 (红,红) (红,绿)
绿 (绿,红) (绿,绿)
由表可知，共4种等可能的结果，其中只有一种满足要求，故所求概率为 ,故选 A.
由题意，画树状图如图，
由图可知，共4种等可能的结果，其中只有一种满足要求，故所求概率为 ,故选A.
3. C 【解析】本题考查画树状图求概率.根据题意画树状图如图所示.由图可知，四人依次坐下共有24 种等可能情况，其中A，B两位同学座位相邻的情况共有 12种，所以A，B两位同学座位相邻的概率是 故选 C.
4. B 【解析】本题考查用画树状图法求概率.根据题意，画树状图如图：
从树状图可知，一共有8种等可能的情况，其中涂成两黑一白的有3种情况，∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ,故选 B.
5. A 【解析】本题考查必然事件的概念.根据题意知袋子中共有3个球，其中有2个红球和1个白球，∴任意摸出2个球，有两种等可能的情况，分别是两个都是红球，1个红球1个白球，∴在摸出的2球中至少有1个红球是必然事件，故选 A.
6. A 【解析】本题考查列举法求随机事件的概率.根据题意，从4张卡片中随机抽取两张的等可能情况有(北斗，天问)，(北斗，高铁)，(北斗，九章)，(天问，高铁)，(天问，九章)，(高铁，九章)，共6种，其中恰好是“天问”和“九章”的只有一种情况，∴P(恰好是“天问”和“九章”)= ,故选 A.
7. 【解析】本题考查随机事件的概率.琪琪从1—8号中随机抽取一签，抽到6号赛道的概率是
【解析】本题考查扇形的面积公式、随机事件的概率.由图可知，大正方形的边长等于小正方形的对角线长.设大正方形的边长为2a，则圆的半径为a，∴大正方形的面积为 ∴P(这个点取在阴影部分
9.0.9 【解析】本题考查用频率估计概率.根据合格率可知在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约为0.9.
10. 【解析】本题考查求随机事件的概率.根据已知图形，设每个小正方形的边长都为1，则大正方形的面积为9，其中黑色区域的面积为2，∴P(小球停留在黑色区域)= ，即该小球停留在黑色区域的概率是
11.(1)50 8% (2)200 (3)
(1)根据D等级的人数及其所占的百分比，求出本次调查的学生总人数；根据总人数和A 等级的人数，求出其所占的百分比x；(2)用等级为B的学生占调查人数的比例乘全校学生总人数，即可估计全校等级为 B的学生人数；(3)先列表求出所有等可能的结果数，再确定抽到一男一女的结果数，代入概率公式，即可求解.
解:(1)50 8%.
本次调查的学生总人数为
8÷16%=50;
4÷50=8%,即x=8%.
(名),
即估计等级为 B的学生有200名.
(3)根据题意，列表如下：
男 1 男 2 女 1 女 2
男 1 (男2,男 1) (女 1,男 1) (女 2,男 1)
男 2 (男 1,男 2) (女1,男 2) (女 2,男 2)
女 1 (男 1,女1) (男 2.女 1) (女 2,女1)
女 2 (男 1,女2) (男 2.女 2)( (女 1,女2)
从表中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的有8种情况，∴P(恰好抽到一名男生和一名女生
12.(1)30 0.3 0.4 (2)略 (3)
(1)由频率的定义即可求出a,b,c;(2)由(1)中a的值,即可补全频数分布直方图；(3)根据题意，画树状图或列表求出所有等可能的结果，再求出选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果数，利用概率公式，即可求解.
解:(1)a=150×0.2=30,
b=45÷150=0.3,
c=60÷150=0.4.
(2)补全频数分布直方图如图所示.
(3)解法一：画树状图如图所示，
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
解法二：列表如表所示，
男 女 1 女 2 女 3
男 —— 男、女1 男、女2 男、女3
女 1 女 1、男 —— 女 1、女 2 女 1、女 3
女 2 女 2、男 女 2、女1 —— 女 2、女3
女 3 女 3、男 女 3、女 1 女 3、女 2 ——
由表知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为1名男生、1名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为1名男生、1名女生的概率为
13.(1) (2)
(1)由频率的定义计算；(2)根据题意，利用列表法或画树状图法得出所有等可能的结果数和所求结果数，利用概率计算公式求解即可.
解：(1)摸出红球的频率为
(2)解法一：列表如下：
第二次 第一次 红 红 白 黄
红 (红 ,红 ) (红 ,红 ) (红 ,白) (红 ,黄)
红 (红 ,红 ) (红 ,红 ) (红 ,白) (红 ,黄)
白 (白,红 ) (白,红 ) (白,白) (白,黄)
黄 (黄,红 ) (黄,红 ) (黄,白) (黄,黄)
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黄的结果有2种，
∴P(摸出一白一黄)
解法二：画树状图如下：
由上图可知，共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黄的结果有2种，
∴P(摸出一白一黄)
压轴预测
1. C 【解析】本题考查随机事件的判断.由题知，两枚骰子向上一面的点数之和最小为2，最大为12，结合选项可知，选项 A，B，D均为不可能事件，只有选项C是随机事件,故选 C.
2. C 【解析】本题考查随机事件、概率和树状图.列出树状图可知两次摸到黑球的概率为 ,故选C.
3.0.9 【解析】本题考查用频率估计概率.从表中实验频率可以看出，成活率在0.9周围波动，∴这种树苗成活的概率约为0.9.
4. . 【解析】本题考查随机事件的概率.由题意可知，白色扇形的圆心角为120°，则白色扇形面积等于圆的面积的 ，∴转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率为 ；易知红色区域的面积是白色区域面积的2倍，若转盘自由转动两次，指针情况如表所示：
第一次 第二次 白 红 红
白 (白,白) (红,白) (红,白)
红 (白,红) (红,红) (红,红)
红 (白,红) (红,红) (红,红)
从表中可以看出，一共有9种等可能的情况，其中一次落在白色区域，另一次落在红色区域有4种情况，∴P(指 针一次落在白色区域，另一次落在红色区域)
5.(1)20 图略 (2)240 (3)
(1)根据C的人数及其所占的百分比求出本次调查的总人数，再求出A 的人数，即可求出所占的百分比，即可得m的值，并根据求出 A 的人数补全条形统计图；(2)先求出 D所占的比值，乘该校学生总数，即可求解；(3)画出树状图求出所有等可能的情况，再确定符合条件的情况数，代入概率公式，即可求解.
解:(1)20.
由图可得，本次调查的总人数为15÷25%=60，则 A 类别人数为60-(24+15+9)=12,补全条形统计图如图所示
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人).
答：估计该校学生有意向参加“摄影社团”共有 240人.
(3)由题意画树状图如图所示，
由图可知共有12种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两位同学的结果数为2，
∴恰好选中乙、丙两位同学的概率为