类型6 方案设计题专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

类型6 方案设计题
1.方案设计型题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求考生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优，它主要有经济类方案设计题，测量类方案设计题，分割与网格方案设计题.
2.方案设计题属于应用性开放问题.因为它贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时要慎于思考，并能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析，得出符合要求的一种或几种方案.
3.一般有多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多，一般与方程、不等式、函数的内容有关.
4.一般限定条件，限定测量工具，让同学们设计一个可行的方案，对某一物体的长度进行测量并计算，大多数以利用直角三角形进行求解，要注意的是设计出来的方案要有可操作性.
5.操作类图案设计题包含的内容比较多，如扩建方案设计、拼图方案设计、分割方案设计、镶嵌方案设计、面积分割方案设计、分割与拼图方案设计、铺设方案设计、网格图案设计等，它把作图的技能考查放在一个实际生活的大背景下，考查考生的综合创新能 力，给考生的创造性思维提供了广阔的空间与平台，此类题常以某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，通过某些辅助线，将面积分割或分割后拼出符合某些条件的图形.
【例1】如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中,D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点 B 绕点 E 旋转 180°得到点 F,画出点 F,再在 AC 上画点 G,使DG∥BC;
(2)在图 2 中, P 是边 AB 上一点,∠BAC=α.先将 AB 绕点 A 逆时针旋转2α,得到线段 AH，画出线段 AH，再画点 Q，使P，Q两点关于直线AC 对称.
【解】(1)画图如图1
(2)画图如图2
注：图1中 BF 可以不画；点G可以用平行线生成分点的方法画出.
【例2】2021年, “广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长.为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅.经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的 0.75 倍，用8 000 元购买弧形椅的数量比用 4 800 元购买条形椅的数量多10张.
(1) 弧形椅和条形椅的单价分别是多少元
(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进 300 张休闲椅，并保证至少增加1 200个座位.请问：应如何安排购买方案最节省费用 最低费用是多少元
【解】(1)设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，
由题意得
解得x=160
经检验，x=160是原分式方程的解，且符合题意.
∴0.75x=120(元).
答：弧形椅的单价为 160元/张，条形椅的单价为 120元/张.
(2)设购进弧形椅 m张，则购进条形椅(300-m)张,
由题意得5m+3(300-m)≥1 200,
解得m≥150.
设购买休闲椅所需的费用为 W 元，
则 W=160m+120(300-m),
即W=40m+36 000.
∵W 随m的增大而增大，
∴当m=150时,W 有最小值,W最小=40×150+36000=42000(元).
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答：购进150 张弧形椅，150 张条形椅最节省费用，最低费用是42 000元.
1.甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
包裹编号 Ⅰ 号产品重量/吨 Ⅱ号产品重量/吨 包裹的重量/吨
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过 19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.
(1)如果装运的Ⅰ号产品不少于 9 吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 (写出要装运包裹的编号)；
(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于 9 吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案 (写出要装运包裹的编号).
2.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，分别按要求画出图形.
(1)在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上.(画出一个即可)
(2)在图 2 中画出以 AB 为边的菱形ABDE,且点 D,E均在格点上.
3.为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1 275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品 25件.
(1)求一、二等奖奖品的单价；
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于 4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式
4.如图,在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点 A，B，C，D重合.
(1)在图1中画格点线段 EF,GH 各一条,使点E,F,G,H分别落在边AB,BC,CD,DA上,且EF=GH,EF不平行GH.
(2)在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点 M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且
如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.
(1)如图②,作出点 A 关于l 的对称点A',线段A'B与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点 C 处建燃气站，所得路线 ACB是最短的.
为了证明点 C 的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C',连接AC',BC',证明 . 请完成这个证明.
(2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.
压轴预测
1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,5).
(1)请画出△ABC 关于x 轴的对称图形△A B C ;
(2)以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC 的位似图形△A B C ,且位似比为1;
(3)借助网格，利用无刻度直尺画出线段CD,使 CD 平分△ABC 的面积.(保留确定点 D 的痕迹).
2.某公司在甲、乙工厂代工同一产品，表1是两个工厂产品的收费标准，表2 是两个工厂的代工记录(a，b为常数，m，n都为不大于10的正整数)，代工费用由加工费和制版费两部分组成，制版费与件数无关.已知甲、乙两工厂第一次代工合计500件，且两工厂收费相同.
表1
收费内容 工厂 单件加工费 制版费
甲 10元 2 000元
乙 25元 0
表2
时间 甲工厂代工记录 乙工厂代工记录
第一次 a件 b件
第二次 (a+100m)件 (b+100n)件
(1)求a,b的值;
(2)若m+n=12，第二次分配到甲工厂的代工件数小于分配到乙工厂的代工件数的2倍，求甲、乙两工厂第二次代工总费用的最小值；
(3)若甲工厂代工效率为20件每小时，乙工厂代工效率为40件每小时，第二次甲、乙两工厂代工总费用估计在 42 000 到44 000元之间(包括42 000,44 000),求出所有满足条件的代工分配方案，并指出哪种方案代工
总时长最短.
3.问题提出
(1)如图 1,在 ABCD 中,∠A = 45°,AB=8,AD=6,E 是AD 的中点,点 F 在DC上,且 DF=5.求四边形 ABFE 的面积.(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园 ABCDE.按设计要求，要在五边形河畔公园 ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点 O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上,且满足 BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五边形 ABCDE 中,∠A=∠B=∠C=90°,AB= 800 m,BC=1 200 m,CD=600 m,AE=900 m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 OPMN 若存在，求四边形 OPMN 面积的最小值及这时点 N 到点A 的距离；若不存在，请说明理由.
类型6 方案设计题
1.(1)ABC(或 ABE 或AD 或ACD 或BCD或ACE，本题答案不唯一，写出一组即可)；(2)ACE 【解析】本题考查方案的选择.由题意，选择 ABC时，装运的Ⅰ号产品重量为5+3+2=10(吨),总重6+5+5=16<19.5(吨),符合要求;选择ABE时,装运的Ⅰ号产品重量为5+3+3=11(吨),总重6+5+8=19<19.5(吨),符合要求;选择AD时,装运的Ⅰ号产品重量为 5 + 4 = 9(吨),总重 6+7 = 13<19.5(吨)，符合要求；选择ACD时，装运的Ⅰ号产品重量为5+2+4=11(吨),总重6+5+7=18<19.5(吨),符合要求；选择 BCD时，装运的Ⅰ号产品重量为3+2+4=9(吨),总重5+5+7=17<19.5(吨),符合要求;选择DCE时,装运的Ⅰ号产品重量为4+2+3=9(吨),总重7+5+8=20>19.5(吨),不符合要求;选择 BDE时,装运的Ⅰ号产品重量为3+4+3=10(吨),总重5+7+8=20>19.5(吨),不符合要求;选择ACE时,装运的Ⅰ号产品重量为 5+2+3=10(吨),总重6+5+8=19<19.5(吨)，符合要求.综上，满足条件的装运方案不唯一，可能是 ABC 或 ABE 或AD 或ACD 或BCD 或ACE;(2)选择 ABC 时,装运的Ⅱ号产品重量为1+2+3=6(吨);选择ABE时,装运的Ⅱ号产品重量为1+2+5=8(吨);选择 AD 时,装运的Ⅱ号产品重量为 1+3=4(吨);选择ACD时,装运的Ⅱ号产品重量为1+3+3=7(吨);选择 BCD时,装运的Ⅱ号产品重量为 2+3+3=8(吨);选择 ACE 时,装运的Ⅱ号产品重量为1+3+5=9(吨).综上，满足条件的装运方案为 ACE.
2.(1)略 (2)略
(1)结合所给直线及等腰三角形的判定即可作图；(2)结合所给直线及菱形的判定即可作图.
解：(1)答案不唯一.
(2)
3.(1)一等奖奖品单价为60 元，二等奖奖品单价为45 元 (2)共有三种方案：一等奖奖品4件，二等奖奖品 23件；一等奖奖品7 件，二等奖奖品 19 件；一等奖奖品10件，二等奖奖品15件.
(1)设一等奖奖品单价为 4a 元，二等奖奖品单价为3a元，根据相等关系列分式方程求解，注意要对方程的解进行检验；(2)设购买一等奖奖品为x件，二等奖奖品为 y件，根据题意列出二元一次方程，根据4≤x≤10 及二元一次方程的整数解得出购买方案.
解：(1)设一等奖奖品单价为 4a元，二等奖奖品单价为3a元,
根据题意： 化简得
解得a=15，经检验a=15为所列方程的根.
答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元.
(2)设购买一等奖奖品为x件，二等奖奖品为y件.
由题意得,60x+45y=1275,即4x+3y=85,
∵4≤x≤10,
∴符合条件的为:x=4,y=23;
x=7,y=19;x=10,y=15.
∴共有三种方案：
一等奖奖品4件，二等奖奖品23件；
一等奖奖品7件，二等奖奖品19件；
一等奖奖品10件，二等奖奖品15件.
4.(1)略 (2)略
(1)利用勾股定理可确定四个点的位置，但需保证两直线不平行；(2)先计算两条线段的长度，再在方格纸上作图.
解：(1)画法不唯一，如图1或图2等.
(2)画法不唯一，如图3或图4等.
5.(1)略 (2)略
(1)连接A'C',可得( ,可得AC+CB=A'B,同理可得 ，利用三角形三边的关系即可得证；(2)①首先确定铺设的管道经过点 D，再利用(1)的方法作图即可得最短线路；②先分别过点 B 和点A'作圆的切线，确定切点为管道经过的点，再利用两切点之间的圆弧和(1)的结论可得最短线路.
解:(1)证明:如图①,连接A'C'.
∵点A,A'关于l对称,点C在l上,
∴CA=CA'.
同理
(2)①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB(如图②，其中 D 是正方形的顶点).
②在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 ACD+ 如图③，其中CD，BE都与圆相切).
压轴预测
1.(1)略 (2)略 (3)略
解:(1)△A B C 即为所求.
(2)△A B C 即为所求.
(3)连接格点 MN,交 AB 于点 D,连接CD.根据矩形性质可得 D 即为AB 的中点，∴CD即为所求.
2.(1)a=300,b=200 (2)28 000 (3)当 时，代工总时长最短，为80小时
(1)根据题意列出方程组，求解即可；(2)设第二次代工总费用为W元，列出W 关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，结合m的取值范围即可求出最小值；(3)根据题意列出不等式，得出 m 和n的值，结合代工效率可求出代工总时长最短时的方案.
解：(1)由题意得 解得
(2)设第二次代工总费用为 W 元.
∵m+n=12,
∴W =10(300+100m)+2 000+25(200+100n)
=10 000+1000m+2500n
=40 000-1500m.
∵300+100m<2(200+100n),
∵--1500<0,
∴W 随m的增大而减小.
又∵m为正整数，
∴当m=8时,W 有最小值,
(3)由题意得 10(300+100m)+2 000+25(200+100n)=10 000+1 000m+2 500n.
∴42 000≤10 000+1 000m+2 500n≤44 000,
∴64≤2m+5n≤68.
∵m，n均为不大于 10的正整数，
代工时长
∴当 时，代工总时长最短，为80 小时.
(2)存在,四边形OPMN 面积的最小值为 470 000 m ,此时点 N 到点A 的距离为350 m
(1)根据特殊角的三角函数值求得平行四边形在 AB 边上的高，再用平行四边形 ABCD 的面积减去△DEF与△BCF的形面积之和即可求解；(2)构造矩形 ABCF，设AN=x，用x表示相关线段长度，再利用含x的代数式表示四边形OPMN 的面积，根据二次函数的性质即可求得面积的最小值.
解:(1)解法一:在 ABCD中,设AB边上的高为h.
∵AD=6,∠A=45°,∴h=ADsin45°=3
∵EA=ED,∴点E到DC 的距离为h/ .
解法二：如图，在 ABCD中，设AB边上的高为h.
∵AD=6,∠DAB=45°,
连接AF,作△AEF的高FG.
由已知,得DC∥AB.
∴∠GDF=∠DAB=45°.
(2)解法一：存在.如答案图，分别延长AE 与CD，交于点 F,
则四边形 ABCF 是矩形.
设AN=x,
则PC=x,BO=2x,BN=800-x,
AM=OC=1200-2x.
由题意，易知MF=BO,PF=BN.
∴当x=350时,
AM=1200-2x=500<900,CP=350<600.
∴符合设计要求的四边 形 OPMN 面积的最小值为470 000 m ,
这时,点 N 到点A 的距离为350 m.
解法二：存在.如图，分别延长AE与CD，交于点 F，
则四边形 ABCF 是矩形.
由题意,易知△ANM≌△CPO,△BON≌△FMP.
∴NM=OP,NO=MP.
∴四边形OPMN 是平行四边形.
连接 MO.
设AN=x,则BO=2x,BN=800-x,
AM=OC=1200-2x.
=(2x+1200-2x)×800-x(1200-2x)-2x(800-x)
∴当x=350时,S四边形OPMN=470 000.
AM=1200-2x=500<900,
CP=AN=350<600.
∴符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值为470 000 m ,
这时,点 N 到点 A 的距离为350 m.
解法三：存在.如图，过点 P作PF⊥AB，垂足为 F，则四边形 BCPF 为矩形.
设AN=x,则 BF=CP=x,BO=2x,
BN=800-x,AM=OC=1200-2x,
AF=800-x.
∴当x=350时,S四边形OPMN=470 000.
AM=1200-2x=500<900,CP=350<600.
∴符合设计要求的四边形 OPMN 面积的最小值为470 000 m ,
这时,点 N 到点A 的距离为 350 m.