类型8 开放性问题专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

类型8 开放性问题
1.传统的解答题和证明题，其条件和结论是由题目明确给出的，我们的工作就是由因导果或执果索因，而开放探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答.开放性、操作性、探索性和综合性是开放探究性问题的明显特征.这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛.解答方法灵活多变，既需要扎实基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性，具备良好的个性品质.
2.开放性问题的基本形式有：条件开放题(问题的条件不完备)；结论开放题(问题的结论不确定或不唯一)，这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结论的开放题，前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.
3.探究条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目.探究条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法.解答探究条件型问题的思路是从所给结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件.解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立.这两种情况所需补充的条件往往不唯一.
4.探究结论型问题是指由给定的已知条件探究相应的结论的问题.解答这类问题的思路是从所给条件(包括图形特征)出发，进行探索、归纳，大胆猜想出结论，然后对猜想的结论进行推理、证明.观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新加的内容，学习中应重视并应用.
【例 1】如图,已知AB∥DE,AB = DE,请你添加一个条件 ,使△ABC≌△DEF.
【解析】本题考查全等三角形的判定.因为 AB∥DE,所以∠B=∠DEC.又 AB=DE,所以当 BC=EF 时,△ABC≌△DEF(SAS).
【答案】BC=EF(答案不唯一，符合题意即可)
【例2】若一次函数y=x+b(b是常数)的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 (写出一个即可).
【解析】本题考查一次函数的图象与性质.在一次函数 y=x+b中,k=1>0,图象经过第一、三象限，若b>0，则图象经过第一、二、三象限，∴b的值可以是1.
【答案】1(答案不唯一，满足b>0即可)
【例3】如图,在矩形ABCD中,点 E,F分别在 BC,AD 上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是菱形，这个条件可以是 (写出一个即可).
【解析】本题考查菱形的判定、矩形的性质、平行四边形的判定.∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC.∵AF=EC,∴四边形AECF 是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形,则可添加AF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=FC.
【答案】答案不唯一,如:AE=AF
1.写出一个比 大且比 小的整数是 .
2.请写出一个 y随x的增大而增大的一次函数的表达式： .
3.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图，这个图案绕着它的中心旋转角 后能够与它本身重合，则角α可以为 度.(写出一个即可)
4.若一元二次方程 (b,c为常数)的两根x ,x 满足 则符合条件的一个方程为 .
5.下图是某剧场第一排座位分布图.
甲，乙，丙，丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5，每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲，乙，丙，丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票，若丙第一个购票，要是其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票先后顺序 .
6.下图中4×4 与6×6的方格都是由边长为 1 的小正方形组成.图1是绘成的七巧板图案，它由 7 个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形(顶点均在格点上).
(1)选一个四边形画在图 2中，使点 P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形.
(2)选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的 倍，画在图3中.
7.在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.
问题: 如 图, 在 △ABC 中, ∠ABC =∠ACB,点 D 在AB 边上(不与点 A,点 B重合),点 E在AC 边上(不与点 A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD 相交于点 F.若 ,求证:BE=CD.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
8.如图,点 E 是□ABCD的边CD 的中点,连接 AE 并延长,交 BC的延长线于点 F.
(1)若AD的长为2,求 CF 的长;
(2)若∠BAF=90°,试添加一个条件,并写出∠F的度数.
1.满足不等式3(2+x)>2x的负整数可以是 (写出一个即可).
2.如图,□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 O, 请添 加 一个 条件: ,使□ABCD 是菱形.
3.如图,在△ABC 中,D 是线段 AB 上的一点(不与点 A，B重合)，连接CD.请添加一个条件使△ABC 与△DBC 相似,这个条件可以是 (写出一个即可).
4.如图在8×8的方格纸 ABCD中,M,N 分别是AD，AB 的中点，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且所画的线段端点均不与点A,B,C,D重合.
(1)在图 1 中画一条格点线段 EF 平分MN,使 E,F 在四边形ABCD 的边上,且不与它的边平行；
(2)在图 2 中画一条格点线段 GH，使得MN平分GH,且 G,H 在四边形ABCD的边上.
开放性问题
1.2(或3) 【解析】本题考查无理数的估算. ‘ 在 和 之间的整数为2 或3.
2. y=x(答案不唯一) 【解析】本题考查一次函数的图象与性质.本题答案不唯一.满足y= kx+b(k>0，b为常数)即可,如y=x.
3.60(答案不唯一) 【解析】本题考查旋转的性质.由题图可知，图案相当于一个正六边形，∴当旋转角α为60°或60°的倍数时，旋转后的图形能和原图形重合.
(答案不唯一) 【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 可以设 则--b=-2+2=0,c=-2×2=-4,∴b=0,c=-4,∴方程可以为
5.答案不唯一，如：“丙、丁、甲、乙” 【解析】本题考查数据间的排列.若丙第一个购票，那么丙购买1，2,3,4号座位的票,若丁购买5,7,9,11,13号座位的票,甲购买6，8号座位的票，乙购买10，12，14号座位的票，则丙丁甲乙的购票顺序满足题意，同理可得丙丁乙甲、丙甲丁乙、丙乙丁甲的购买顺序也满足题意.
6.(1)略 (2)略
根据题目要求画出所求的图形，答案不唯一.
解：(1)画法不唯一，如图1或图2 或图3或图4等.
(2)画法不唯一，如图5 或图6 或图7 或图8等.
7.略
利用全等三角形的判定和性质证明线段相等即可.
证明：选择条件①的证明：
因为∠ABC=∠ACB,所以AB=AC,
又因为AD=AE,∠A=∠A,
所以△ABE≌△ACD,
所以BE=CD.
选择条件②的证明：
因为∠ABC=∠ACB,所以AB=AC,
又因为∠A=∠A,∠ABE=∠ACD,
所以△ABE≌△ACD,所以 BE=CD.
选择条件③的证明：
因为FB=FC,所以∠FBC=∠FCB,又因为∠ABC=∠ACB,BC=CB,所以△CBE≌△BCD,所以BE=CD.
8.(1)2 (2)略
(1)由平行四边形的性质结合已知条件利用角角边证明△ADE≌△FCE，再根据全等三角形对应边相等求解即可；(2)本问答案不唯一，添加一个条件满足题意即可，如：添加当∠B=50°时，由直角三角形的性质即可得∠F=40°.
解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥CF,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF,
∵E是CD 的中点,∴DE=CE,
∴△ADE≌△FCE,
∴CF=AD=2.
(2)答案不唯一,如∠B=50°,得∠F=40°.
压轴预测
1.—5(答案不唯一) 【解析】本题考查解不等式并求整数解.将不等式去括号，得6+3x>2x，移项合并后，得x>-6,∴负整数解可以是-5.
2. AB=BC(答案不唯一) 【解析】本题考查菱形的判定.∵四边形 ABCD是平行四边形，∴所添加的条件可以是一组邻边相等，还可以是对角线互相垂直，所以答案不唯一，故可以添加AB=BC.
3.∠CAB=∠DCB 或∠ACB=∠CDB 或 【解析】本题考查相似三角形的判定与性质.由图可知，∠B 是两个三角形的公共角，∴若添加∠CAB=∠DCB或∠ACB=∠CDB,可根据两角对应相等判定两个三角形相似；若添加 可根据两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似，∴添加的条件可 以 是 ∠CAB = ∠DCB 或∠ACB = ∠CDB 或
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4.(1)略 (2)略
解:(1)
如图1，图2，图3，图4.(任一种即得分，点E，F可交换位置)
(2)
如图5，图6.(任一种即得分，点G，H可交换位置)