类型5 阅读与创新题 专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

类型5 阅读与创新题
1.阅读与创新题一般由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容.它要求考生根据阅读获取的信息回答问题.它提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程或一个新的数学公式的推导与应用或考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的.
阅读与创新题的类型有：(1)考查新定义运算、新概念问题；(2)考查解题思维过程，指出解题根据、思想方法类问题；(3)考查归纳、猜想、探索和发现知识、方法介绍和运用类问题；(4)考查阅读后的理解、应用和知识迁移类能力问题；(5)考查阅读后总结材料的知识和方法 的归 纳总结能力问题.
2.解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新 的数学知识、结论，揭示了什么或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，从而解决题目中提出的问题.
【例1】定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b, 若 则 x 的 值为
【解析】本题考查新定义、解分式方程.由题意得 去分母得x+x+1=(2x+1)·(x+1),化简整理得 解得 经检验，x=0是原方程的增根，∴原方程的解为 即x的值为
答案
【例2】对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 N，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称 N 是m的“和倍数”.
例如:∵247÷(2+4+7) = 247÷13=19,
∴247 是 13的“和倍数”.
又如:∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4,
∴214 不是“和倍数”.
(1)判断357,441 是否是“和倍数” 说明理由；
(2)三位数 A 是 12 的“和倍数”,a,b,c分别是数A 其中一个数位上的数字，且a>b>c.在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F(A)，最小的两位数记为G(A).若 为整数，求出满足条件的所有数 A.
【解】(1)357 不是“和倍数”,441 是“和倍数”.理由如下：
∵357÷(3 + 5 + 7) = 357÷15 =23……12,
∴357 不是“和倍数”.
∵441÷(4+4+1)=441÷9=49,
∴441是9 的“和倍数”.
(2)∵a>b>c>0,
∴F(A)=10a+b,G(A)=10c+b.
∴F(A)+G(A)=10a+b+10c+b=10(a+c)+2b.
由题意得a+b+c=12.
∴a+c=12-b,1∴F(A)+G(A)=10(12-b)+2b=120-8b.
为整数，
为整数.
∴b为奇数.
∴b=3或5.
当b=3时,a+c=9,
∴a=8,b=3,c=1;或a=7,b=3,c=2.
当b=5时,a+c=7,
∴a=6,b=5,c=1.
∵A是12的“和倍数”,
∴A是12 的倍数且为偶数.
当a=8,b=3,c=1时,138 和318 均不能被 12 整除.
当a=7,b=3,c=2时,A=372或732.
当a=6,b=5,c=1时,A=156或516.
综上,满足条件的数 A 为 372,732,156,516.
1.对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”. 例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n, 给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果.以上说法中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.对于任意的有理数a,b,如果满足 那么我们称这一对数a,b 为“相随数对”,记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”, 则 3m+2[3m+(2n-1)]= ( )
A. -2
B. -1
C.2
D.3
3.定义一种运算:a * b = 则不等式(2x+1)*(2-x)>3的解集是 ( )
A. x>1或
C. x>1或x<-1
或x<-1
4.设 P(x,y1),Q(x,y1)分别是函数 C1,C1图象上的点,当 a≤x≤b时，总有 恒成立，则称函数 C1,C1在a≤x≤b上是“逼近函数”,a≤x≤b为“逼近区间”.则下列结论：
①函数y=x--5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数 在 3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数 的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数 的“逼近区间”.
其中，正确的有 ( )
A.②③
B.①④
C.①③
D.②④
5.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰△ABC 是“倍长三角形”,底边 BC 的长为 3,则腰 AB 的长为 .
6.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法. 例如“已知3a--b=2,求代数式6a-2b--1的值.”可以这样解:6a-2b--1=2(3a-b)--1=2×2--1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程 ax+b=3的解，则代数式 的值是 .
7.在平面直角坐标系xOy中,已知点 M(a,b),N.对于点 P 给出如下定义：将点 P 向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点 P'，点P'关于点 N 的对称点为Q,对称点 Q 为点 P 的“对应点”.
(1)如图,点 M(1,1),点 N 在线段 OM 的延长线上,若点 P(-2,0),点 Q 为点 P 的“对应点”.
①在图中画出点 Q；
②连接 PQ,交线段 ON 于点 T.求证:
(2)⊙O 的半径为 1,M 是⊙O 上一点,点 N 在线段 OM上,且 若 P 为⊙O外一点,点 Q 为点 P 的“对应点”,连接 PQ.当点 M 在⊙O 上运动时直接写出 PQ 长的最大值与最小值的差(用含 t的式子表示).
8.下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程 (a≠0)的根就是相应的二次函数 y= 的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与 x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据抛物线的顶点坐标 和一元二次方程根的判别式 分别从a>0和a<0两种情况进行分析：
(1)a>0时，抛物线开口向上.
①当 时，有
∵a>0,
∴顶点纵坐标
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1).
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∴一元二次方程 有两个不相等的实数根.
②当 时，
有
∵a>0,
∴顶点纵坐标
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2).
∴一元二次方程 有两个相等的实数根.
③当 时，……
(2)a<0时，抛物线开口向下.
……
任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可)；
A.数形结合
B.统计思想
C.分类讨论
D.转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识.例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为 .
压轴预测
1.若一个整数能表示成 (a,b是正整数)的形式，则称这个数为“和平数”.例如，因为 所以2是“和平数”.已知 (x是任意整数，k是常数)，若 S为“和平数”，则下列 k值中不符合要求的是( )
A.5
B.10
C.15
D.17
2.若 定 义 一 种 新 运 算: a b = 例如:3 1=3-1=2;
5 4=5+4-6=3.则函数 y=(x+2)(x-1)的图象大致是 ( )
3.用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b，规定 如 则(-2)☆(-1)的值为 ( )
A.-3
B.1
C.
4.定义：已知二次函数 与二次函数 其中a,b,c为常数，且a≠c,ac≠0,则称这两个函数互为倒函数，下列结论正确的是 ( )
A.若(2,0)是 的倒函数图象上的一点，则
B.当两个互为倒函数的图象的开口方向相反时，则它们与x轴均无交点
C.若二次函数y 图象上存在一点(m，n)，则它的倒函数 y 图象上必存在一点
D.两个互为倒函数的 图象 必有两个交点
5.对于实数m,n,定义一种运算“*”为:m*n= mn + n. 如果关于x 的方程 有两个相等的实数根，则a= .
类型 5 阅读与创新题
1. D 【解析】本题考查新定义及其运用.对于①，如(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n,(x-y-z)-m-n=x-y-z-m-n,故①正确;对于②,对于多项式x-y-z-m-n不论怎么加括号都得不到多项式-(x-y-z-m-n)，即不存在任何“加算操作”使其结果与原多项式之和为0,故②正确;对于③,第1种:(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n;第 2种:x-(y-z)-m-n=x-y+z-m-n;第3种:x-(y-z)-(m-n)=x-y+z-m+n;第4种:x-(y-z-m)-n=x-y+z+m-n;第5种:x-(y-z-m-n)=x-y+z+m+n;第6种:x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n;第7种:x-y-(z-m-n)=x-y-z+m+n;第8种:x-y-z-(m-n)=x-y-z-m+n，即所有的“加算操作”共有 8种不同的结果.综上所述，三种说法都正确，故选 D.
2. A 【解析】本题考查新定义.由已知得 解得9m+4n=0,3m+2[3m+(2n-1)]=3m+6m+4n-2=9m+4n-2=-2,故选 A.
3. C 【解析】本题考查新定义问题.由题知,(2x+1)* 所以不等式(2x+1) *(2-x)>3 或 解得x>1 或x<-1,故选C.
4. A 【解析】本题考查新定义问题、一次函数与二次函数的综合应用.对于①,y -y =-2x-7,在1≤x≤2上,当x=1时,y -y 取得最大值为-9,当x=2时,y - y 取得最小值为-11,即-11≤y -y ≤-9,故函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上不是“逼近函数”,故①错误；对于②， 在3≤x≤4上,当x=3时,y -y 取得最大值为1,当x=4时,y -y 取得最小值为-1，即 ,故函数y=x-5, 在3≤x≤4 上是“逼近函数”，故②正确；对于 在0≤x≤1上,当 时，y -y 取得最大值为 当x=0或x=1时,y -y 取得最小值为-1，即 满足-1≤ y -y ≤1,故0≤x≤1是函数 的“逼近区间”，故③正确；对于④， 在2≤x≤3上,当 时,y -y 取得最大值为 ，当x=2或x=3时,y -y 取得最小值为1,即1≤y - 故2≤x≤3不是函数. 的“逼近区间”，故④错误，∴正确的有②③，故选 A.
5.6 【解析】本题考查新定义、等腰三角形的性质.由题意可知，在△ABC中，若腰长是底边长的2 倍，则 AB=AC=2BC=2×3=6;若底边长是腰长的2倍,则AB= 不能构成三角形，即此情况不符合题意，所以这个三角形的腰长AB为6.
6.14 【解析】本题考查一元一次方程的解、代数式的化简求值、整体思想.由题知，2a+b=3，所以 1=14.
7.(1)略 (2)4t-2
(1)①先根据定义和 M(1，1)求出点 P'的坐标，再根据题意结合点 N 的坐标可求出点Q 的坐标，画出点 Q 即可；②延长 ON 至点 A(3,3),连接 AQ,利用“AAS”证明△AQT≌△OPT,得到 ，再利用勾股定理求出OA，OM，ON的长，进而求出 TO的长，即可求出NT的长,即可得证;(2)连接 PO并延长至点S,使OS=OP,延长 SQ至点T,使 ST=OM,根据定义得出点 P'与点Q,进而得出 NM 为△P'QT 的中位线,得出 NM= QT.表示出 NM,从而表示出 TQ,进而得出 SQ,再结合三角形的三边关系表示出PQmx与PQmin,即可得解.
解:(1)①点 Q如图所示.
【解题过程】因为点 M(1,1),
所以点 P(-2，0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点 P'，
所以 P'(-1,1).
因为点 P'关于点 N 的对称点为Q,N(2,2),
所以点 Q的横坐标为2×2-(-1)=5,纵坐标为2×2-1=3,
所以点 Q(5,3).
②证明:如图,延长ON 至点A(3,3),连接AQ.
因为AQ∥OP,
所以∠AQT=∠OPT.
在△AQT 与△∠OPT中,
所以△AQT≌△OPT(AAS),
所以
因为A(3,3),M(1,1),N(2,2),
所以
所以
所以
所以
(2)4t-2.
【解题过程】如图，连接 PO并延长至点S，使OS=OP，延长 SQ至点T,使 ST=OM.
因为 M(a,b),点 P 向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度,得到点 P',
所以
因为点 P'关于点 N 的对称点为Q，
所以
又因为OP=OS,
所以OM∥ST,
所以 NM为△P'QT 的中位线,
所以
因为NM=OM-ON=1-t,
所以 TQ=2NM=2-2t,
所以 SQ=ST-TQ=1-(2-2t)=2t-1.
在△PQS中,PS-QS结合题意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QS,
所以P Qmax-PQmin=(PS+QS)-(PS-QS)=2QS=4t-2,
即 PQ长的最大值与最小值的差为4t-2.
8.(1)AC(或 AD或CD) (2)略 (3)略
解:(1)AC(或AD或CD)
(2)a>0时，抛物线开口向上.
当 时，有4ac-b >0.
∵a>0,
∴顶点纵坐标
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点(如图).
∴一元二次方程 无实数根.
(3)可用函数观点认识二元一次方程组的解(答案不唯一.又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等)
压轴预测
1. C 【解析】本题考查新定义问题.当k=5时， 所以 S 是“和平数”，故排除选项 A.当k=10时， 所以S是“和平数”,故排除选项 B;当k=15时, .因为14不是平方数，所以k=15 不符合要求，故选项C符合题意；当k=17时， 所以 S 是“和平数”，故排除选项 D，故选 C.
2. A 【解析】本题考查新定义、一次函数的图象.由新定义得,若x+2≥2(x-1),则x≤4.分两种情况讨论:当x≤4时,(x+2) (x-1)=(x+2)-(x-1)=x+2-x+1=3,即y=3;当x>4时,(x+2) (x-1)=(x+2)+(x-1)-6=x+2+x-1-6=2x-5,即y=2x-5.∵k=2>
0,∴当x>4时,在函数y=2x-5的图象中 y随x的增大而增大，故选项 A符合题意，故选 A.
3. D 【解析】本题考查新定义、有理数的混合运算.根据题中的新定义可得，原式 故选 D.
4. D
5.0 【解析】本题考查新定义的概念及其运用、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.由题可得. 整理得 ∵方程有两个相等的实数根， 0,整理得a(a+1)=0,解得 (舍去),∴a=0.