专题13 图形的变换 知识点梳理及专项练习（含解析）--2025年中考数学一轮复习

专题13 图形的变换
1.图形的平移
(1) 定义: 在平面内, 将一个图形 移动一定的 ，这样的图形的运动叫作平移.
(2)性质：新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是 ，连接各组对应点的线段 且 .
(3)平移图形的作图依据： ; ; .因此在平移作图时，应依照指定的 、 画图，采用“以局部带整体”的平移方法，即通过几个 平移后的 ，得到平移的图形.
2.轴对称
(1)如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .
(2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线是 ，折叠后重合的对应点就是 .
(3)如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
3.旋转
(1)把一个图形 的图形变换叫作旋转， 叫作旋转中心， 叫作旋转角.
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(2)图形的旋转由 、 和 所决定.其中① 在旋转过程中保持不动; ②旋 转 分为 时针 和 时针； ③旋转 一般小于 360°.
(3)旋转的特征：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化，也就是旋转前后的两个图形为 .
(4)旋转作图的依据： 相等，对应点到旋转中心的 相等.旋转作图时，在确定了 后，依据指定的 和 画图，具体操作时往往通过 旋转后的位置，得到旋转后的图形.
4.中心对称
(1) 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫作 图形，这个点就是它的 .
(2)把一个图形绕着某一个点旋转 °, 如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点成 ，这个点叫作 .这两个图形中的对应点叫作关于中心的 .
(3)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 .关于中心对称的两个图形是 图形.识别一个图形是否是中心对称图形，其依据是中心对称图形的定义，看其绕 后是否与其本身重合.若重合，则说明是中心对称图形；反之，则不是.
5.位似
(1)如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫作 ，这点叫作 ，也就是说这两个图形关于这点 ，它们的相似比又称 .
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 .
(3)在平面直角坐标系中，如果 是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于 或 .
实战演练
1.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.5
2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
3.如图,将△ABC 折叠,使 AC 边落在 AB 边上，展开后得到折痕 l，则l 是△ABC的( )
A.中线 B.中位线
C.高线 D.角平分线
如图,△ABC与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，且相似比为 1 : 2,则△ABC 与△DEF 的周长
之比是 ( )
A.1:2
B.1:4
C.1:3
D.1:9
5.如图,在△ABC 中,AB=AC,若 M 是 BC 边上任意一 点, 将 △ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN,点 M 的对应点为点 N，连接 MN，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=AN
B. AB∥NC
C.∠AMN=∠ACN
D. MN⊥AC
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点 C顺 时 针 旋 转 得 到△DEC,使点 B 的对应点 E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D，延长 DE交AB 于点 F，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AC=DE B. BC=EF
C.∠AEF=∠D D. AB⊥DF
7.如图，在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点 A,B 的坐标分别是A(0,2),B(2,--1),平移△ABC 得到△A'B'C',若点 A 的对应点 A'的坐标为(--1,0),则 点 B 的 对 应 点 B' 的 坐 标是 .
8.如图, △ABC 中,点 D 为边 BC 的中点，连接AD，将△ADC 沿 直 线AD 翻 折 至 △ABC 所 在 平 面 内, 得△ADC',连接 CC',分别与边 AB 交于点E,与AD交于点O.若AE=BE,BC'=2,则AD的长为 .
9.如图,将周长为 8 的△ABC沿 BC 边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形 ABFD的周长为 .
10.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将△ABC 平移后得到△A'B'C',且点 A的对应点是A'(2,3),点 B、C的对应点分别是 B'、C'.
(1)点 A、A'之间的距离是 ;
(2)请在图中画出△A'B'C'.
11.图1、图2 均是4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.其中点 A，B，C均在格点上.请在给定的网格中按要求画四边形.
(1)在图1中,找一格点 D,使以点 A,B,C，D为顶点的四边形是轴对称图形.
(2)在图2中,找一格点 E,使以点 A,B,C，E为顶点的四边形是中心对称图形.
12.在矩形 ABCD 中,E 为DC 边上一点,把△ADE 沿AE 翻折,使点 D 恰好落在BC 边上的点 F.
(1)求证:△ABF∽△FCE;
(2)若AB=2 ,AD=4, 求 EC的长.
压轴预测
1.如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(-1,0),C(1,0),请确定一点 D,使得以点 A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点 D 的坐标可能是 ( )
A.(0,-1)
B.(2,1)
C.(0,-2)
D.(-1,1)
2.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=12,AC=13.现将纸片进行折叠，使得顶点 B 落在AC 边上，对应点为 D，折痕为AE.则 BE的长为 ( )
A.2.4 B.2.5
C.2.8 D.3
3.如图是一张矩形纸片 ABCD,点 E 在AB边上,把△ADE 沿直线 DE 折叠,使点 A落在BC 边上的点 F 处.点 G 在 BC 边上,把△CDG沿直线 DG 折叠,使点 C 恰好落在 线 段 DF 上 的 点 H 处,∠EDG = °. 若 则
4.图1、图2均为7×6 的正方形网格,点 A,B，C在格点上.
(1)在图1中确定格点 D,并画出以A,B,C,D为顶点的四边形，使其为轴对称图形.(画一个即可)
(2)在图2中确定格点 E,并画出以A,B,C,E为顶点的四边形，使其为中心对称图形.(画一个即可)
5.在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答.
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案.
选出的三个图案是 (填写序号)；它们都是 图形(填写“中心对称”或“轴对称”)；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性.
6.如图，△ABC 的三个顶点坐标分别是A(0,3),B(1,0),C(3,1).
(1)以原点O 为位似中心，在y轴左侧画出△A B C ,使得△A B C 与△ABC 的位似比为2：1；
(2)△ABC 的内部一点 M 的坐标为(a,b),则点 M 在△A B C 中的对应点 M1的坐标是多少
7.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1),B(4,2),C(3,5).
(1)以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A B C ;
(2)将△ABC平移,使平移后点 B,C的对应点B2，C2分别在 y轴和x 轴上，画出平移后的△A B C ;
(3) 借助网格，利用无刻度直尺 画出△A B C 的中线C2D2.
参考答案
1.(1)沿某一方向 距离
(2)对应点 相等 平行(或在同一直线上)
(3)平移不改变图形的大小和形状 对应角相等 对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等 方向 距离关键点 位置
2.(1)重合 轴对称图形 对称轴
(2)重合 轴对称 对称轴 对称点
(3)某直线 垂直平分线
3.(1)绕某一点O转动一个角度 点 O转动的角
(2)旋转中心 旋转方向 旋转角度旋转中心 方向 顺 逆 角度
(3)旋转中心 相同 距离 夹角 线段 形状与大小 全等图形
(4)旋转角 距离 旋转中心 旋转方向 旋转角度 几个关键点
4.(1)180 重合 中心对称 对称中心
(2)180 重合 中心对称 对称中心对称点
(3)对称中心 平分 全等 某一点旋转 180°
5.(1)位似图形 位似中心 位似 位似比
(2)位似比
(3)位似变换 k - k
1. D 【解析】本题考查轴对称图形的对称轴条数.如图，作出该图形的对称轴，其条数为5，故选 D.
2. B
3. D 【解析】本题考查轴对称的性质.由折叠知折痕平分∠BAC,故选 D.
4. A 【解析】本题考查位似的性质.△ABC 与△DEF 的周长之比与位似比相等，即为1：2，故选 A.
5. C
6. D 【解析】本题考查图形旋转的性质.由旋转的性质得AC= DC,BC=EC,∠A=∠D,又∠AEF=∠DEC,∴∠AFE=∠DCE=90°,∴AB⊥DF,∴一定正确的是D选项,故选 D.
7.(1，-3) 【解析】本题考查平移的性质.因为点 A 从(0,2)平移至 A'(-1,0),所以△ABC先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所以点 B(2，-1)平移后的对应点 B'的坐标为(1，-3).
8.3 【解析】本题考查翻折的性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质.由翻折的性质可知△DCA≌△DC'A,OC=OC',∠COD=∠C'OD=90°,所以 O为CC'的中点.因为 D为BC 的中点,所以OD 是△BCC'的中位线，所以OD= BC',OD∥BC',所以∠COD= 因为 AE=BE,BC'=2,所以OD=1.在△EC' B 和 △EOA 中, 所 以△EC'B≌△EOA(AAS),所以. 所以 AO=2,所以AD=AO+OD=2+1=3.
9.12 【解析】本题考查图形的平移.∵平移的距离为 2个单位长度,∴AD=CF=2.又∵AC=DF,∴四边形ABFD的周长为8+2+2=12.
10.(1)4 (2)图略
解:(1)4.
(2)如图,△A'B'C'即为所求作.
11.(1)略 (2)略
(1)以AC为对称轴,作点 B的对称点 D,则四边形 ABCD即为所求；或以 BC的垂直平分线为对称轴，作点 A 的对称点 D，则四边形 ABCD 即为所求；或以 AC的垂直平分线为对称轴，作点 B的对称点D，则四边形ABCD即为所求；(2)以AC为对角线或以AC 为边作平行四边形即可.
解：答案不唯一，以下答案供参考：
评分说明：(1)未标注点 D，E或标注错误，但所画图形正确不扣分.
(2)作图痕迹是虚线不扣分.
(3)点的位置正确但没画四边形共扣1分.
(4)第(1)问和第(2)问只画对一个给3分.
12.(1)略
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
(2)设CE=x,由 △ABF∽△FCE,可得 ∠CFE =∠BAF=30°,进而得EF=2x,由此即可求解.
解:(1)由题意得∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°.
又∵∠EFC+∠FEC=90°,
∴∠AFB=∠FEC.
又∵∠B=∠C,
∴△ABF∽△FCE.
∴AF=4且∠BAF=30°.
又∵△ABF∽△FCE,
∴∠CFE=∠BAF=30°.
设CE=x,
则EF=2x,
压轴预测
1. C 【解析】本题考查中心对称图形和轴对称图形.分别在坐标系中描出选项中的各点，观察所得的图形，可知点(0，-2)与A，B，C三点构成的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，故选 C.
2. A 【解析】本题考查折叠的性质、勾股定理的应用.∵∠B=90°,AC=13,AB=12,∴BC=√AC -AB =5.设BE=x.由折叠的性质,可得AD=AB=12,DE=BE=x,∠ADE=∠B=90°,∴CD=AC-AD=13-12=1,EC=BC-BE=5-x.在 Rt△DEC中, DE ,即( 解得x=2.4,∴BE=2.4,故选 A.
3.45 【解析】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、锐角三角函数.在矩形 ABCD 中,∠ADC=90°,由折叠
可知,∠ADE=∠EDH,∠HDG=∠GDC,∴∠EDH+ 即∠EDG=45°;∵BF+CG= 即
4.(1)略 (2)略
解：(1)画出符合要求的图形如下.(答案不唯一)
(2)画出符合要求的图形如下.(答案不唯一)
5.(1)①③⑤ 轴对称(或②④⑥ 中心对称) (2)略
解:(1)①③⑤轴对称(或②④⑥ 中心对称)
(2)轴对称
中心对称
6.(1)略 (2)(-2a,-2b)
(1)依据位似中心及位似比的大小即可作出△A B C ；
(2)根据位似比和位似图形的位置即可求解.
解:(1)如图所示,△A B C 即为所求.
(2)∵△A B C 与△ABC 的位似比为2 :1,△A B C 在 y轴左侧,△ABC的内部一点M 的坐标为(a,b),
则点 M 在 △A B C 中 的 对 应 点 M 的 坐 标是(-2a,-2b).
7.略
解:(1)如图.
(2)如图.
(3)如图.