2023-2024学年吉林省八校高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省八校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，满足，且，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为( )
A. B.
C. D.
4.已知复数是关于的一元二次方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
5.设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，且，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.如图，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点的同一水平面上的，两处进行测量，如图已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，且米，，则雁鸣塔的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，在正四棱锥中，，是棱上的动点，一只蚂蚁从点出发，经过点，
爬到点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点不包含端点，则平行四边形的周长的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，满足，，且，则( )
A. B.
C. 向量，的夹角是 D.
10.如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则( )
A.
B.
C. 直线与异面
D. 直线与异面
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若平面，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则 ______．
13.如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则 ______．
14.设点是的重心，过点的直线分别与线段，交于，两点，已知，则 ______；若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
当时，若，求的最小值．
16.本小题分
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面是边长为的正方形．
求该几何体的表面积；
求该几何体的体积．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知．
求；
若，在边上，，，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且．
证明：．
在侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，．
若为锐角，且，求的面积；
求四边形面积的最大值；
当时，在四边形所在平面内，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，，
所以，
因为，
所以，解得．
当时，，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
16.解：由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高，
由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积，
故该几何体的表面积．
由球的体积公式可得半球的体积，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积，
故该几何体的体积．
17.解：因为，
所以，
即，
即，解得或．
因为，所以，则；
由题意可得，即，
则，因为，，，
所以，即，解得或．
当时，的面积为；
当时，的面积为．
综上，的面积为或．
18.证明：设交于点，连接，
正方形中，则，，
又，所以，
又，
所以平面，
而平面，
所以；
解：存在侧棱上一点，满足条件，
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点，使得，因为，
则，
连接，，则，因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，
所以．
即．
19.解：连接，
因为为锐角，且，所以，
在中，由余弦定理得，，即，
在中，由余弦定理得，，即，
所以，即，
所以，解得，
因为，所以，
故的面积为．
四边形的面积，
所以，
由知，
所以，
联立得，，
所以，
当且仅当时，四边形的面积取得最大值．
将绕点旋转，使得，分别与，重合，连接，，
则，，，，即是等边三角形，
所以，且，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
由图可知，当且仅当，，，四点共线时，等号成立，
故的最小值是．
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