2024-2025学年浙江省浙东北名校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省浙东北名校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
3.已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4.古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则( )
A.
B.
C.
D.
6.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线：，则下列结论中错误的是( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线与直线无公共点
C. 曲线上的点到直线的最大距离是
D. 曲线与圆有三个公共点
8.已知，是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知直线：，直线：，则下列命题正确的有( )
A. 直线恒过点 B. 直线的斜率一定存在
C. 若，则或 D. 存在实数使得
11.已知抛物线：，点，，过点的直线交抛物线与，两点，设，，下列说法正确的有( )
A. B. 的最小值为
C. 以为直径的圆过原点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知与圆和圆都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是______．
13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．
14.已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于，两点，点的坐标为，直线，分别与渐近线交于，，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，圆：；
若直线过点且在坐标轴上的截距之和为，求直线的方程；
过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在棱长都为的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；
求点到平面的距离；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，点在线段上，且．
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得，，，四点共面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为．
求的方程；
设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于，两点，且直线，与圆：分别交于，两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，有点，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面如图所示，则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为．
若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值．
若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积．
若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且其斜率满足，求的最大值．
参考答案
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15.解：由直线过点且在坐标轴上的截距之和为，
分两种情况：
当的截距均为，即直线过原点时，设直线的方程为：
代入点，解得，
直线的方程为；
当截距不为时，设直线的方程为：，
点入点，解得，
直线的方程为；
综上所述，直线的方程为或；
由过点的直线与圆交于，两点，且，圆的半径为，
圆心到直线的距离为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：即，
又圆心到直线的距离为解得，
直线的方程为：；
综上所述，直线的方程为或．
16.解：为平行六面体，底面为菱形，可得，
又点在底面上的投影恰为与的交点，
，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则
．
设平面的法向量为，
由，取，得，
又，
点到平面的距离；
设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
又
则，取，得，
又，
．
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：因为平面，
以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，，方向为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
易知：，，，，
由可得点的坐标为，
由可得，
设平面的法向量为：，
则，则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
，
二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
已知，，设，
可得，则，
由得平面的一个法向量为，
令，
即，
解得，
故线段上存在一点，当时，可使，，，四点共面．
18.解：考虑右焦点到一条渐近线的距离，
由题可知的一条渐近线方程为，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，
由离心率，有，解得，
双曲线的方程为．
设直线的方程：，，，
由，
因为直线与双曲线的右支交于两点，
恒成立，
还需，解得，
点坐标为，
，
将代入，
得
，
设：，：，且，，
，即，故，
，，
由，
，同理可得，
由，
，同理可得，
，
令，由，，
得，，
，，
令，，
在区间上为增函数，所以的取值范围为，
，
的取值范围为．
19.解：若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为
，，，
如图建立空间直角坐标系，则点，，在空间中的坐标分别为，
，，
；
；
由题意可知，点在空间中的坐标分别为，对点分类讨论，
当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，
因此在平面直角坐标中，
点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分．
当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，
因此在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的半圆．
点的轨迹为半圆：与圆：的组合曲线如图，
其与轴围成的图形的面积为：．
当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，
，
联立方程，
，
，，
代入韦达定理可得：，即，
化解可得或，
当时，直线经过点，故舍去．
则，
当点，在轴的同侧时，即时，则，
；
当点，在轴的异侧时，即时，则，
．
当直线与轴垂直时，显然不成立．
综上所述：；
故的最大值为．
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