2023-2024学年吉林省长春十一中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省长春十一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合的元素之和为，则实数所有取值的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，的表达式为( )
A. B. C. D.
3.如图所对应的函数的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.若角的终边经过点，且，则( )
A. B. C. D.
5.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数有两个零点，，则有( )
A. B. C. D.
7.定义域和值域均为常数的函数和图象如图所示给出下列四个命题，那么，其中正确命题是( )
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有九个解
8.已知函数，则满足不等式的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的有( )
A. 若，则
B. 若集合，，且，则实数的取值所组成的集合是
C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为或
D. 已知函数的定义域是，则的定义域是
10.下列式子成立的有( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的单调递增区间是，
B. 的值域为
C.
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，使取得最小值时的值为______．
13.命题任意“，”为假命题，则实数的取值范围是______．
14.已知定义在上的奇函数满足，且时，，给出下列结论：
；函数在上是增函数；函数的图象关于直线对称；若，则关于的方程在上的所有根之和为．
则其中正确的命题为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
求的方程；
直线与相切于点，若点的纵坐标为，求直线的方程．
16.本小题分
已知函数
若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值．
若在只有一个零点，求．
17.本小题分
的内角、、的对边分别为，，，已知．
求的大小；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
若点，分别在线段，上，且平面，求线段的长度．
19.本小题分
学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛．
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会电脑同时给出道判断题，判断对错和道连线题由电脑随机打乱给出的四个数学定理，，，和与其相关的数学家，，，，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题，要求参赛者全都作答，若有道或道以上答对，则该选手挑战成功．
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功．
方式二：将班级选派的个人平均分成组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功．
在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率．
甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率．
在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由．
参考答案
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15.解：设，
因为点到定点与定直线的距离相等，
所以点轨迹为开口向右的抛物线，且，
则点轨迹方程为，
即的方程为；
设，
因为点在上，
解得，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
因为直线与相切，
所以，
因为，
所以．
故的方程为．

16.解：，
所以，因为曲线在处的切线与轴垂直，
所以，解得，
所以，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值为，无极大值．
若在只有一个零点，即函数在只有一个零点，
即方程在只有一个根，即在只有一个根，
即函数与的图象在只有一个交点，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，，当时，，
所以要使函数与的图象在只有一个交点，
则．
17.解：由题设及正弦定理得，
，
，
，又，可得，
又，
化简得，
，
则，可得，
；
由知，又，
，
由正弦定理，可得，
为锐角三角形，
，
，
可得，由，可得，
，
从而，即面积的取值范围是．
18.解：过点作，垂足为，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
所以直线与平面所成角为，
由已知四边形为菱形，，，
所以为边长为的等边三角形，故BH，
因为平面，平面，
所以，又，，
所以，
在中，，，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
连接，点为线段的中点，
由已知为等边三角形，所以，又，
所以，又平面，
以点为坐标原点，，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，
设，则，
因为平面，平面，
所以，故，
所以，
所以，
所以，
所以．
所以线段的长度为．
19.解：记事件为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题，
则所求概率为：；
记事件：甲同学挑战成功，
由题所求概率为：；
设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为，，
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，
则两人中至少有一人回答正确的概率为，
所以，
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为，
所以，
所以，
构造，
则
，
因为，则，，
所以，，
所以，即，所以单调递增，
又因为，
由题，所以，
从而，即，
所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛．
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