2024-2025学年北京十九中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京十九中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列图象中，表示定义域、值域均为的函数是( )
A. B.
C. D.
4.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，若中恰有个元素，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用单位：万元与仓储中心到机场的距离单位：之间满足的关系为，则当最小时，的值为( )
A. B. C. D.
8.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.对，表示不超过的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是( )
A. ，
B. ，
C. ，，
D. ，，，则
10.设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.函数的定义域为______．
12.绝对值不等式的解集为______．
13.已知函数的图象如图所示，则的值为______．
14.已知函数若，则 ______；若的值域是，则实数的取值范围是______．
15.函数，给出下列四个结论
的值域是；
任意，且，都有；
任意，且，都有；
规定，，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知全集，，，．
Ⅰ求，；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
证明：为奇函数；
用定义证明：在区间上是减函数；
解不等式．
18.本小题分
已知二次函数的最小值为，且．
求的解析式；
若在区间上不单调，求实数的取值范围；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
若函数的定义域为集合，若在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
如果的图像关于原点对称，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
参考答案
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16.解：Ⅰ全集，，，
，
或，
或；
Ⅱ，，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上：实数的取值范围或．
17.解：证明：任取，
则，所以是奇函数；
证明：设，且，是上的任意两个实数，
则，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
解：不等式化为，
又在区间上是减函数，
所以，解得，
故原不等式解集为
18.解：二次函数的最小值为，且．
由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以．
由题意可得，则，解得，
故的范围为；
由不等式，整理可得，
令，则其对称轴，
当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
当，即时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解；
综上所述，的范围为
19.解：是区间上的增长函数，理由如下：
因为，；
不是区间上的增长函数，理由如下：
反例：当时，．
由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即，解得，
所以满足题意的最小正整数为．
根据题意，当时，，当时，，
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：
所以，
若是上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
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