2024-2025学年江苏省苏州市南京航空航天大学苏州市附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京航空航天大学苏州市附中高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示圆，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.直线的倾斜角量( )
A. B. C. D.
3.在和两个数之间插入个数，使它们与、组成等差数列，则该数列的公差为( )
A. B. C. D.
4.若直线与互相垂直，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：及圆：，则“”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知递增等差数列中，且是，的等比中项，则它的第项到第项的和为( )
A. B. C. D.
7.九章数学中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙厚尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：，则( )
A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为
C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的倍
10.已知圆：，直线：，下列叙述正确的为( )
A. 直线恒过定点 B. 直线被圆所截得的弦最长时，
C. 直线被圆所截得的弦中最短弦长为 D. 直线可能与圆相离
11.设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若数列的前项和为，则
C. 是递减数列
D. 若对任意的，恒成立，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知椭圆的方程为，则它的焦点坐标为______．
13.已知数列的前项和为，，则满足的正整数的值为______．
14.已知椭圆的左、右焦点分别是，，，是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为______．
15.已知数列前项和，数列为等比数列，首项，公比为，且满足，，成等差数列．
求数列，的通项公式；
设，记数列的前项和为，求．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
当时，求的长；
当弦被点平分时，写出直线的方程．
17.本小题分
已知圆过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
过点作圆的切线，求切线方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足条件：的周长为，记动点的轨迹为曲线．
求的方程；
设过点的直线与曲线交于，两点，如果，求直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线交椭圆于，两点．
求椭圆的方程；
若直线方程为，过、作直线：的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，求证：四边形为梯形．
参考答案
1.
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12.，
13.
14.
15.解Ⅰ当时，．
当时，
验证时也成立．数的通项公式为：，
，，成等差数列，．
所以，
即，
因为，
．
数的通项公式为：．
Ⅱ
得：

16.解：圆的圆心，半径，
因为，所以直线的斜率，
所以：，即：，
所以圆心到的距离，
所以；
因为弦被平分，所以，，
又因为，所以，
所以弦所在的直线方程为：，
即．
17.解：已知圆过，两点，且圆心在直线上，
由已知，，
则其中点为，，
所以中垂线的斜率，
则中垂线为：，所以点在上，
又点在直线，
联立，解得，即，
半径，
所以圆的方程为；
过点作圆的切线，
由得，，
当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切；
当过点的斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离，
解得，
所以直线方程为，即；
综上所述，切线方程为或．
18.解：设点的坐标是，
的周长为，，
．
由椭圆的定义知，动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆除去与轴的两个交点．
，，
曲线的方程为．
易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，
与联立化简得，
，
由韦达定理得：，
，
解得，
直线的方程为，
即或．
19.解：设椭圆半焦距为，由题意可得，
解得，所以椭圆的标准方程为：．
证明：设，，则，
联立，消去得，
所以，
，
所以，，而与不平行，所以四边形为梯形．

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