名校教研联盟2025届高三上学期12月联考试题 数学（PDF版，含解析）

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数学参考答案
1.【答案】B
2
【解析】 z 1 i， z 1 i，故 | z z | | 2i | 2 .
1 i
2.【答案】C
【解析】因为 A { 2, 1,0,1}，且 B x x 2k ,k Z ，故 A B { 2,0}.
3．【答案】D
【解析】根据题意有 F(1,0)，且C 的准线方程为 x 1，故 F 到准线的距离 d 2 .因为准
线被圆截得的弦长 l 2，设圆的半径为 R l，则由几何关系可知 R2 d 2 ( )2 5，故圆的
2
方程为 (x 1)2 y2 5 .
4.【答案】A
【解析】角 的终边在射线 y 2x(x≤ 0)上，所以角 为第二象限角，且 tan 2 ，
2 5 5 ) cos π 故 sin ，cos .又因为 sin( 2 sin 2 cos 2 sin ，
5 5 4 4 4
且 sin 2 2sin cos 4 3 2，cos 2 2cos 1 ，所以 sin( 2 ) 2 .
5 5 4 10
5.【答案】C
C2 3
【解析】该同学抽取到两道历史题的概率为 P 101 2 ，抽取到一道历史题和一道地理题C16 8
C1 1 2
的概率为 P 10
C6 1 C 1
2 2 ，抽取到两道地理题的概率为 P3
6
2 ，故至少答对一道题的C16 2 C16 8
P P [1 (1 2) (1 2)] P [1 (1 2) (1 1)] P 1 1 27概率为 1 2 3 [1 (1 ) (1 )] .3 3 3 2 2 2 32
6.【答案】A
4
【解析】根据题意有 lg(x2 ax 5) 0，即 x2 ax 5 1，当 x (1,4)时，有 a x ，
x
x 4 4 4又因为此时 ≥ 2 x 4，当且仅当 x 2时等号成立，故若满足 a x ，则 a 4 .
x x x
又因为 f (x)在区间 (1,4)单调递减，即 g (x) x 2 ax 5在区间 (1,4)单调递增，又 g (x)图
x a a像的对称轴为 ，故还要满足 ≤1，即 a≤ 2，综上， a的取值范围是 ( ,2].
2 2
数学参考答案 第 1页（共 8页）
7.【答案】B
【解析】如图，设O为球心，且O在平面 A BD和平面 BCD上的
射影分别为O1，O2，点 E为 BD的中点.因为平面 A BD 平面
BCD，且△A BD和△BCD 均为等边三角形，故O1，O2均为
等边三角形的中心，四边形OO1EO2 为正方形，且 BE OE .所以 BE 3 ，O1E 1，
OE 2 ，球半径 R OB BE 2 OE 2 5，故球的表面积 S 4 R2 20 .
8.【答案】D
【解析】当 x y z 0时， | x y | | x y | | x z | 0，故 A 错误；令 y 0， 2x z，则
| x y | | x y | | x z | | x |，| y z 3| | 2x 3|，若 x 2x 3，即 x 3，则四个数相等，故
B错误；不妨取 x 6，y 2，z 1，则 | x y | 4，| x y | 8，| x z | 5 ，| y z 3 | 4 ，
故 C错误；记M 为四个数中最大的数，当 xy≥ 0时，则 | x y | | x | | y |≥ | x y | ，
故 M max | x y |, | x 1 z |, | y z 3 | ≥ (| x y | | x z | | y z 3 |) ≥
3
| x y x z 3 y z |
1 1 3，当 x y ，且 z 时，M 1（M 的值为 1的条件不唯
3 2 2
一）；当 xy 0时，| x y | | x y |，不妨设 x 0， y 0，则只需考虑 0 y 1且 z 1的
情况，此时 y z 2，故 | y z 3 | 1，故当 xy 0时，M 1.综上有M ≥1，故 D正确.
9.【答案】AC（选对一项给 3分）
【解析】因为 e1， e2 是两个相互垂直的单位向量，且向量 a e1 2e2 ， b e1 2e2，故不
妨设 e1 (1,0) ， e2 (0,1) ，则 a (1, 2) ， b (1,2) ，故 | a | 1
2 ( 2)2 5 ，
| b | 12 22 5 ，| a | | b |，故 A正确；a b 1 1 ( 2) 2 3 0 ，a 与 b 不垂
直，故 B错误； a b (0, 4)， e2 (0,1) ， 0 1 0 ( 4) 0，所以 (a b)∥ e2 ，
故 C正确； 2a b (1, 6)，故 | 2a b | 12 ( 6) 2 37 ，故 D错误.
10.【答案】BCD（选对一项给 2分，选对两项给 4分）
【解析】过 E ， F，H 三点的截面是顺次连接 H ， E ， F ，及DD1中点所构成的矩形；
过 E ，G，H 三点的截面是顺次连接 H ，E ， A1，D1所构成的矩形；设直线 FG 与直线
AD ，DD1分别交于M ，N 两点，连接 HM ，HN ，分别交 AB ，C1D1于 P，Q两点，
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则过 F ，G，H 三点的截面是五边形 PFGQH ；过 E ，F ，G三点的截面是顺次连接 AB ，
BC ，CC1，C1D1， A1D1， AA1各边中点所构成的正六边形，故 B，C，D正确.
11.【答案】ACD（选对一项给 2分，选对两项给 4分）
【解析】当 1时， f (x) x3 x 2 x 1 x 2 (x 1) (x 1) (x 1)(x 1)2 ，
不等式 f (x)≥ 0的解集为 [ 1, )，故 A正确；
2
f (x) 3x 2 2 x 2 3 f (x) 3x 2 2 x 1，当 时， (3x )2≥ 0，f (x)
3 3
在 ( , )单调递增， x 不是 f (x)的极值点，故 B错误；
3
若曲线 y f (x) 关于点 (a,b) 对称，则有 f (a x) f (a x) 2b ，两边同时求导有
f (a x) f (a x) 0 ，即曲线 y f (x)关于直线 x a对称.由上可知 x 是曲线
3
y f (x) 2 2 的对称轴，且当 9 时，有 f ( x) f ( x) 2，故点 ( ,1) 是曲
3 3 3
线 y f (x)的对称中心，且在直线 y 1上，故 C正确；
设 x 是 f (x)任意一个零点，则 f (x 3 2 20 0 ) x0 x0 x0 1 0 .易知 x0 0，故当 4 时，
x 1 1
2 2
0 2 ( )
2 ≤ 0，结合 x 0，得 x 0，故 D正确.
x0 x0 x0 2 4 4
0 0
12.【答案】 30 15 2
a a
【解析】因为{an}是等比数列，设公比为 q ，则 q
3 5 2 2 ，q 2 ，a 2 2 ，
a 12 q
8
S a 1 (1 q )8 30 15 2 .1 q
13.【答案】35
10 10
【解析】因为 xi 500， yi 200 ，所以 x 50， y 20 .又 y b x a 中 b 0.5，
i 1 i 1
回归直线一定过样本点中心 (50,20)，所以 20 0.5 50 a ，a 5，所以 y 0.5x 5 .
当 x 80 时， y 0.5 80 5 35 .
14.【答案】 4 2
数学参考答案 第 3页（共 8页）
【解析】根据题意有 F (2,0)，设C 的左焦点为 F ，则 F ( 2,0) .C 的实轴长为 2a 2 2 .
由双曲线的定义可知 | PM | | PF | | PM | | PF | 2a ，当 M ， P ， F 共线时，
| PM | | PF |的值最小，此时 | PM | | PF | |MF | 8 2 ，| PM | | PF | 6 2 ，P(3, 7).
当 N ，F ，P共线，且 P在线段 NF 的延长线上时， | PN | | PF |的值最大，此时 P点坐
标也为 (3, 7)，且 | PN | | PF | | NF | 2 2 ，即 | PF | | PN |的值最小，最小值为 2 2 .
所以当 P的坐标为 (3, 7)时， | PM | | PF |和 | PF | | PN |同时取得最小值，故
|PM | |PN | 2|PF |的最小值为 6 2 2 2 4 2 .
15.（13分）
sinC 0 sin A 3 cos A【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 . ……3分
sin C sin( A B)
因为 A B C ，故 sin(A B) sinC，则有 sin A 3cosA， 即 tanA 3 .……5分
因为 A (0, ) A

，故 ． ……6分
3
1 3
（2）由（1）知 S△ABC bcsin A bc 3 ，故bc 4． ……8分2 4
2 2 2 2 2
由余弦定理可知 a b c 2bccosA b c bc≥ 2bc bc bc 4． ……11分
故 a≥ 2．当且仅当b c 2时等号成立． ……12分
所以 a的最小值为 2． ……13分
16.（15分）
【解析】（1）如图，连接 AC交 BD于点O，连接OE .
因 为 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 故 O 为 AC 的 中
点. ……2分
又因为 E为 PC的中点，故OE∥PA . ……4分
又OE 平面 BDE， PA 平面 BDE，
所以 PA∥平面 BDE . ……6分
（2）方法 1：设 P 为P在底面上的射影，则 PP 平面 ABCD .
因为 PP 平面 PBD ，故平面 PBD 平面 ABCD . ……7分
设 E 为E 在底面上的射影，则 EE 平面 ABCD ， EE ∥PP ，且C ， E ，P 共线，
又因为 E为 PC的中点，故 E 为CP 的中点. ……8分
过 E 作 BD的垂线，垂足为H ，连接 EH，因为 EE 平面 ABCD ，则 EE BD ，故 BD
数学参考答案 第 4页（共 8页）
平面 EE H ，BD EH ， EHE 是二面角 E BD C 的平面角. ……10分
因为 AB 8 ， AD 6 ， BAD 90 ，四棱锥 P ABCD 的体积为 80，故 PP 5 ，
EE 1 PP 5 C BD 24
12
，易知 到 的距离为 ，且 E 为CP 的中点，故 E H .…12分
2 2 5 5
EE 25
所以 tan EHE . ……13分
E H 24
因为平面 PBD 平面 ABCD ，故二面角 P BD E的平面角与二面角 E BD C的平面角
互余，所以二面角 P BD E 24 的正切值为 . ……15分
25
方法 2：如图，以D为坐标原点，DA的方向为 x轴正方向建立空间坐标系.设 P 为P在底面上
的射影，因为 AB 8，AD 6， BAD 90 ，四棱锥 P ABCD 的体积为80，故 PP 5，
则 B (6,8,0) ，且可设 P (6a ,8a ,5) ，又因为 E 为 PC 的中点，则 E (3a,4 4a, 5 ) ，故
2
DP (6a,8a,5)，DE (3a,4 4a, 5 )，DB (6,8,0) . ……9分
2
设平面 PBD的法向量为 m (x1, y1, z1)，平面 EBD的法向量为 n (x2 , y2 , z2 )，则
6ax1 8ay1 5z1 0
，
6x1 8y1 0

3ax
5
2 (4 4a)y2 z 0
2 2 . ……10分
6x2 8y2 0
不 妨 取 x1 4 ， x2 4 ， 则 m (4, 3,0) ，
n (4, 3, 24 ) . ……12分
5
cos 4 4 ( 3) ( 3) 25 24故 m,n m n ，且 sin m,n .……14分
|m | | n |
16 9 16 9 576 1201 1201
25
24
易知二面角 P BD E为锐角，故其正切值为 . ……15分
25
17.（15分）
【解析】（1）设C的半焦距为 c，因为右焦点为 F (2,0)，故 c 2 . ……1分
C c 2又 的离心率 ，故 a 2 2 . ……3分
a 2
由椭圆的几何性质有 a2 b2 c2，故b2 a2 c2 4 .
x 2 y 2
所以C : 1 . ……5分
8 4
数学参考答案 第 5页（共 8页）
（2）显然直线 PQ 斜率存在，并设其方程为 y k (x 4)，与C 的方程联立有：
(1 2k 2 )x2 16k 2x 32k 2 8 0，其中 0 .
2 2
设 P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，则 x
16k
1 x2 ， x x
32k 8
. ……7分
1 2k 2 1 2 1 2k 2
2 2
故 | PF | |QF | x x (x 2)21 y
2
1 (x
2
2 2) y
2
2 (x1 2)
2 4 1 (x2 2)
2 4 2
2 2
1
(x1 4)
2 1 (x 12 4)
2 | x1x
4
2 4(x2 2 2 1
x2 ) 16 | 1 2k 2
. ……11分
故由 | PF | 1 |QF | 3，可得 k 2 ， x1 x2 2， x1x2 2 . ……12分6
所以 | PQ | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k
2 (x 21 x2 ) 4x1x2 ……13分
14 . ……15分
18.（17分）
1
【解析】（1） f ( x) 的定义域为 ( 1, ) ，当 a 1时， f (x) e x . ……1分
x 1
当 1 x 0时， f (x) 0， f ( x) 单调递减，当 x 0 时， f (x) 0， f ( x) 单调递增，
故 x 0是 f (x)的极小值点. ……4分
所以 f (x)的最小值为 f (0) 1. ……5分
（2）（i） f (x) aeax 1 ，当 a ≤ 0时， f ( x) 单调递减， f ( x) 没有极值点.……6分
x 1
当 a 0时， f (x)单调递增，若 x0是 f (x)的极值点，则 x0 是唯一极值点，且为极小值点，
1
此时有 f (x ) aeax00 0 . ……7分x0 1
1 a
因为 f (x) x 1 a f (1 a单调递增，故 0 ≥ 等价于 ) a(e 2
2
)≤ f (x
2a 2a a 1 0
) 0 .……8分
1 x 1 x
设 g(x) (x 1)e 2 2(x 0) 1，则 g (x) (1 x)e 2 . ……9分
2
当 0 x 1时，g (x) 0，g(x)单调递增，当 x 1时，g (x) 0，g ( x ) 单调递减，故 g(a)
1 a 1 a
≤ g(1) 0，即 e 2 2 1 a 2 1 a ≤ 0 . 故 f ( ) a(e 2 )≤ 0，x ≥ .……11分
a 1 2a a 1 0 2a
数学参考答案 第 6页（共 8页）
（ii 1 1）由（i）可知 eax0 ，故 f (x0 ) ln( x0 1) . ……12分a(x0 1) a (x0 1)
1 1 a
因为当 a 0时，函数 h(x) ln( x 1)单调递减，且由（i）可知 x0 ≥ ，故a(x 1) 2a
f (x0 ) h(x0 ) h(
1 a ) 2 ln a 1≤ . ……14分
2a a 1 2a
(x) 2设 ln x 1 (x 0)，则 (x) 1 x . ……15分
x 1 2x x(x 1)2
当 0 x 1时， (x) 0， (x)单调递增，当 x 1时， (x) 0， ( x ) 单调递减，故 (a)
1 a
≤ (1) 1，故 f (x0 ) h(x0 )≤ h( ) (a)≤1. ……17分2a
19.（17分）
【解析】（1）Y : 2,3,1,0，Y : 0,3,2,1，Y : 2,1,0,3，Y : 3,2,0,1 . ……3分
注：写对一个给 2分，写对两个给 3分，有写错的给 0分.
（2）若 xi x j y i y j ，则 xi y i y j x j ，故 | xi y i | | x j y j |. ……5分
假设 X 和Y 关于 S全封闭，因为 i j，则由题中定义可知 | xi yi |和 | x j y j |不能为 S中相
同的元素，即 | xi y i | | x j y j |，这与 | xi y i | | x j y j |矛盾，假设不成立.
故 X 和Y 关于 S 半封闭. ……7分
（3）若 E( ) E( )，由结论所具有的对称性及由（1）所得到的结果猜想：若 X 和 Z 关
于 S全封闭，则存在Y X ，使得Y 和 Z 关于 S全封闭.
由数列 Z和 X 可构成一个数表（i）：
0 1 … j … n
x0 x1 … x j … xn
交换数表（i）中两行，得到数表（ii）：
x0 x1 … x j … xn
0 1 … j … n
记该过程为第一次操作. ……9分
数学参考答案 第 7页（共 8页）
调整数表（ii）中各列的顺序，使数表的第一行变为 0,1, , n ，此时设数表的第二行变为
y0 , y1 , , yn ，得到数表（iii）：
x j 0 1 … j … n
y0 j y1 … y j … yn
记该过程为第二次操作. ……10分
假设 X Y ，则 x0 y0 ， x1 y1，…， xn y n .不妨设 x0 0， x j 0( j 0) ，则经
过第一次操作后，在数表（ii）中 x j 0与 j同列；再经过第二次操作后，在数表（iii）中 0
与 j同列，因此 y0 j，故 | y0 0 | | x j j | .又因为 X 和 Z 关于 S全封闭，由（2）可知，
| x0 0 | | xi i | (i 1,2, ,n)，且经过两次操作后Y 和 Z 也关于 S全封闭. ……12分
因为 x0 y0 j ，故 | x0 0 | | x j j | ( j 0)，这与 | x0 0 | | xi i | (i 1,2, , n)矛
盾.故若 X 和 Z 关于 S全封闭，则存在Y X ，使得Y 和 Z 关于 S全封闭. ……13分
n n n
因为 X 和 Z 关于 S全封闭，则 (x2i 2ixi i2 ) | x 2i i | 02 12 n2 x2i .
i 0 i 0 i 0
n n n n n n
所以 2ix i 2 ，同理有 2iy i 2i i ，故 2ix i 2iy i . ……15分
i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0
P ( i) 2 x 2 y因为随机变量 和 分别服从 i 和 P ( i) i ，i 0,1, , n ，
n(n 1) n (n 1)
n 2ix n 2iy 1 n
故 E( ) i i E( ) i2 . ……16分
i 0 n(n 1)

i 0 n(n 1) n(n 1) i 0
n n n n 1 n n
因为 i 2 x 2 2i y i ，且 X Y ，故 i 2 (x 2 y 2i i ) xi y i .
i 0 i 0 i 0 i 0 2 i 0 i 0
n
x yn n i i
又 (xi y i ) 2 i n(n 1)，故 E ( ) E ( ) i 0n . ……17分
i 0 i 0 (xi yi )
i 0
数学参考答案 第 8页（共 8页）