2024-2025学年河南省南阳市高一（上）期中质量评估数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市高一（上）期中质量评估数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，使，则为( )
A. ，有 B. ，使
C. ，有 D. ，使
4.“方程有实根”的充要条件为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数其中且，若在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.制作一个面积为且形状为直角三角形的铁支架，则较经济够用，又耗材最少的铁管长度为( )
A. B. C. D.
7.若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.设，，若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列表述正确的有( )
A. B. C. D.
10.若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则( )
A. 是上的增函数 B. 是上的减函数
C. 是奇函数 D. 是偶函数
11.已知正数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的最大值是
B. 若，则的最小值是
C. 若，则的取值范围是或
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.设，，且，已知，若，则 ______．
14.若，对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
．
16.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，函数．
求函数的解析式；
试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
18.本小题分
已知关于的一元二次不等式的解集为．
求，的值；
若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
19.本小题分
平均值不等式，当且仅当时等号成立是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用．
当时，可得基本不等式，当且仅当时，等号成立．
当时，可得，当且仅当时，等号成立，而利用该不等式我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求函数的最小值．
我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
请利用当时的结论解决下面问题：
已知，，，求证：；
请利用当时的结论解决下面问题：
已知，求的最小值；
已知矩形的周长为，设，将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为，求的最大值．
参考答案
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15.解：
．
．
16.解：当时，，即时，满足；
当时，由可得，解得，
综上所述：实数的取值范围是
因为是的真子集，所以，解得
17.解：设，则，所以函数可化为，
所以，所以函数；
函数在区间上单调递减，证明如下：
任取、，且，则，
，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递减．
18.解：由题可知的两根是和，且，
由根与系数关系得，解得；
由知不等式的解集为，
当时，即或，
若，则得，解集为，不合题意，舍去，
若，则得，解集为，符合题意；
当时，要使不等式的解集为，
只需，解得，
综上：实数的取值范围是．
19.证明：因为，，，所以由基本不等式，
得，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
以上三式相加，得，
即，当且仅当时，等号成立；
解：
，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为；
设，则，由圆柱体积公式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值为．
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