2024-2025学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若，且，则以下不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
4.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
8.定义，已知，若，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则等于( )
A. B. C. D.
10.若，均为正数，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知函数的定义域为，对任意，，都有，当时，，则( )
A. B. 为奇函数
C. 的值域为 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题：，，则命题的否定为______．
13. ______．
14.已知是定义在上的偶函数，当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简：，；
已知，试求的值．
16.本小题分
已知集合．
求集合，并写出当时集合的真子集的个数；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习数据显示在上午第三节分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间分钟的关系为：当时，是的一次函数，其中分钟时注意力集中指数为，分钟时注意力集中指数为；当时，是的二次函数，其中分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为．
求关于的解析式；
如果学生的注意力集中程度不低于，称为“理想听课状态”，则在一节分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？精确到分钟参考数据：
18.本小题分
已知定义在上的函数满足：，都有，且当时．
求，的值；
求证：为偶函数；
求关于的不等式的解集．
19.本小题分
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数已知函数和具有如下性质：定义域为，且在上是增函数；是奇函数，是偶函数；常数是自然对数的底数，
求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
；
，则，，
．
16.解：因为，
所以，
所以，
当时，，共个元素，真子集有个；
由得，所以或．
对于集合，
，
当时，，满足，
当时，，
要使，则需，
所以，
当时，，满足，
综上所述，的取值范围是．
17.解：当时，设，
依题意，解得：，，
所以，
当时，，
当时，设，
将代入上式得，
所以，
综上所述，；
由，解得：，
由，解得：，
综上所述，，共分钟．
18.解：因为，，都有，
令，可得，解得；
令，可得，所以；
证明：因为的定义域为，
对，，都有，
令，可得，即，
所以为偶函数；
设，且，则，
因为当时，所以，则，
所以，
即，所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
则关于的不等式，
即，
等价于，解得或或或，
所以不等式的解集为．
19.解：由，
可得，
函数为上的奇函数，为上的偶函数，
，
由可得，，
函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意．
函数在上为增函数，证明如下：
任取、且，则，，
，即，
函数在上为增函数．
，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
又，
内层函数在上为增函数，且，
外层函数在上为增函数，函数在上为增函数，
由，
，即，
即，
函数在上是增函数，
令，则函数在上是增函数，
当时，，且，则，
于是有，即对任意的恒成立，
令，其中，
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得，此时，；
当时，即当时，只需，
解得，此时，；
当时，即当时，函数在上单调递减，
则，解得，此时，．
综上所述，实数的取值范围是．
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