2024-2025学年辽宁省大连市王府高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连市王府高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则与共线的一个单位向量( )
A. B. C. D.
3.用，，，，这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有( )
A. B. C. D.
4.如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是( )
A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线
5.已知直线：，：，若，则的值为( )
A. B. C. D. 或
6.已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为，若的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.设、是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点，且若的面积为，则( )
A. B. C. D.
8.过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为
B. 过点且垂直于直线的直线方程为
C. 过两圆及的交点的直线的方程是
D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
10.某工程队有辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分辆工程车，则下列结论正确的有( )
A. 分给甲、乙、丙三地每地各辆，有种分配方式
B. 分给甲、乙两地每地各辆，分发丙、丁两地每地各辆，有种分配方式
C. 分给甲、乙、丙三地，其中一地分辆，另两地各分辆，有种分配方式
D. 分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分辆，另两地各分辆，有种分配方式
11.已知抛物线：与圆：交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 存在某条直线，使得
D. 若点，则周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在四面体中，，点在上，且，点为的中点，设，则 ______．
13.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是______．
14.如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆：的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心半为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
求边上的中线的所在直线方程；
求的外接圆被直线：截得的弦长．
16.本小题分
已知抛物线：过点．
Ⅰ求抛物线的方程，并求其准线的方程；
Ⅱ若点，求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程．
17.本小题分
已知双曲线：的虚轴长为，直线为双曲线的一条渐近线．
求双曲线的标准方程；
记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，点在第一象限，记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值．
18.本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线上，且，，．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值；
设线段上动点为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点．
求椭圆的方程；
过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
在的条件下，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，
，，
边的中点的坐标为，
中线的斜率为，
中线的直线方程为：，即；
设的外接圆的方程为，
、、三点在圆上，
，
解得，
外接圆的方程为，即，
其中圆心为，半径，
又圆心到直线的距离为，
被截得的弦长的一半为，
的外接圆被直线：截得的弦长为．
16.解：Ⅰ由题抛物线：过点，，解得，
抛物线的方程为，其准线方程为；
Ⅱ由题，当直线的斜率不存在时，轴符合题意，其方程为；
如果直线的斜率为，符合题意；
如果直线的斜率存在且不为，则设直线的方程为，
由得，
由得，
故直线的方程为，即，
因此，直线的方程为或或．
17.解：虚轴长为，，即，
直线为双曲线的一条渐近线，
，，
故双曲线的标准方程为．
由题意知，，，
设直线的方程为，，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．
18.解：证明：如图所示，设与交于点，连接，
由于底面，底面，故，
又，即，，，平面，
故BD平面，又，平面，故BD，，
为底面圆的内接正三角形，且边长为，
则，；
又，
，即，
而，
∽，则，即，
结合，，平面，，
平面，又平面，
平面平面．
以点为坐标原点，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
结合可知，
则，
则，
设平面的法向量为，
，则，
令，则，
平面的法向量可取为，
则，
由原图可知二面角为锐角，
故二面角的余弦值为；
由可得，
设，则，
设直线与平面所成角为，
则，
则，
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
即当时，取最大值，则取最大值，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.解：设，，由抛物线方程，得焦点，
设椭圆半焦距为，则，则，
因为，解得，
而点在抛物线上，则，即，
于是，
所以，所以，
所以椭圆的方程为．
证明：由知，椭圆：的上顶点，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去整理得，
由得，
设，，则，
由，得，
而，则，
即，
整理得，
则，
化简得，而，解得，
所以直线：恒过定点．
由知，，
则
，
令，则，
当且仅当，即时取等号，而，
则，
当且仅当，时取等号，
所以的最大值为．

第1页，共1页