河北省保定市2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

河北省保定市 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 ≤ 2 ≤ 4}， = { ||2 + 1| ≤ 3}，则 ∪ =( )
A. { |0 ≤ ≤ 1} B. { | ≤ 2} C. { | ≥ 2} D. { | 2 ≤ ≤ 2}
2.已知 ∈ ，则“ 3 ≤ ≤ 4”是“lg( 2 2) ≤ 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.下列叙述正确的是( )
A. 如果函数 = ( )在区间[ , ]上是连续不断的一条曲线，且 = ( )在区间( , )内有零点，则一定有
( ) ( ) < 0
B. 函数 ( ) = 2 2 3的零点是( 1,0)，(3,0)
C. 已知方程 = 8 的解在( , + 1)( ∈ )内，则 = 1
D. 函数 = 2 2有两个不同的零点
4.已知函数 ( ) = ( ) + 2是 上的偶函数，若 ( 3) = 2，则 (3) =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5.已知函数 ( ) = |log2 |，若 ≠ ，且 ( ) = ( )，则2 + 的最小值为( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
6.如图，曲线 1是函数 =
(0 < < 1)的图象，曲线 2与曲线 1关于 轴对称，曲线 2与曲线 3关于直线
= 对称，曲线 3与曲线 4关于 轴对称，则曲线 2， 3， 4对应的函数解析式分别是( )
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A. = ， = log ， = log
B. = log ， = ， = log
C. = log ， = log ， =
D. = log ， =
， = log
1 1
7.已知函数 ( ) = ， ( ) = ，则( )
2 2
A. = ( ) + ( )是奇函数
B. (2 ) + (2 ) = [ ( ) + ( )]2 + [ ( ) ( )]2
C. = ( )+ ( )的值域是(1,+∞)
D. = ( ) ( )的值域是[0,+∞)
8.已知4 = 20，5 = 30，6 = 42，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数 > 0， > 0， > 0，且 ≠ 1， ≠ 0， ≠ 0，则下列各式中，恒成立的是( )

A. + = + B. =
1
C.
= D. =
10.设函数 ( ) = ， ( ) = log ， > 0且 ≠ 1，则( )
A. 函数 ( )和 ( )的图象关于直线 = 对称
B. 函数 ( )和 ( )的图象的交点均在直线 = 上
C. 若 = ，方程 ( ) + = 8的根为 1，方程 ( ) + = 8的根为 2，则 1 + 2 = 8
1
D. 已知 > 1，若 ( ( )) > > ( ( ))恒成立，则 的取值范围为( , )
11.函数 = | 1| 3 ( > 0，且 ≠ 1)恰有两个零点，则 可以是( )
1 1 1
A. 2 B. C. D.
3 4 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 = log ( 1) + 4( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，点 在幂函数 = ( )的图象上，则
(3) = ______．
13.一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗).那
么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要______年( 2 ≈ 0.3)．
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4, ≥
14.已知 ∈ ，函数 ( ) = {
2
，若函数 ( )恰有2个零点，则 的取值范围是______．
4 + 3, <
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1 1 4
(1)求值：( ) 2 10(√ 5 2) 1 +20 × (√ 5 √ 3)0 + ( 8)3 2；
500
1
(2)求值：( 5)2 + 5 20+ 16；
2
1 1
(3)已知54 = 3，6 = 3，求 的值．

16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = (其中 ， 为常量，且 > 0， ≠ 1)的图象经过点 (1,6)， (3,24)．
(1)求 ( )；
1 1
(2)若不等式( ) + ( ) ≥ 0在 ∈ ( ∞,1]时恒成立，求实数 的取值范围．

17.(本小题15分)
+
已知 ( ) = 2的定义域为[ 2,2]，且满足 ( ) + ( ) = 0， (1) = 1． 4+
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在[ 2,2]上的单调性；
(3)若 ( + 2) + (1 2 ) > 0，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = (log2 2)log4(2 )．
(1)当 ∈ [1,16]时，求该函数的值域；
(2)求不等式 ( ) > 2的解集；
(3)若 ( ) < 4 对于 ∈ [4,16]恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
1 1
若函数 ( )在区间[ , ]上的值域恰为[ , ]，则称区间[ , ]为 ( )的一个“倒域区间”.已知定义在[ 4,4]上

的奇函数 ( )，当 ∈ [0,4]时， ( ) = 2 +2 ．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若关于 的方程 ( ) = 在(0,4)上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
(3)求函数 ( )在[ 4,0]内的“倒域区间”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】9
13.【答案】23
14.【答案】(1,3]∪ (4，+∞)
1 10
15.【答案】解：(1)原式= 5002 +20 + 16 2 = 10√ 5 10(√ 5+ 2)+ 34 = 14；
√ 5 2
1
(2)( 5)2+ 5 20+ 16 = 5( 5 + 20) + 4 = 2 5 + 4 = 25 + 4 = 100 = 2；
2
(3)54 = 3，6 = 3，
则 = log543， = log63，
1 1
故 = log
3
54 log36= log39 = 2．
16.【答案】解：(1)把 (1,6)， (3,24)代入 ( ) = ，得{6 =
24 = 3 .
= 2
结合 > 0且 ≠ 1，解得：{
= 3.
∴ ( ) = 3 2 ．
1 1
(2)要使( ) + ( ) ≥ 在( ∞,1]上恒成立，
2 3
1 1
只需保证函数 = ( ) + ( ) 在( ∞,1]上的最小值不小于 即可．
2 3
1 1
∵函数 = ( ) + ( ) 在( ∞, 1]上为减函数，
2 3
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1 1
∴当 = 1时， = ( ) + ( ) 有最小值．
2 3
5
∴只需 ≤ 即可．
6
+
17.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2的定义域为[ 2,2]，且 ( ) + ( ) = 0， 4+
所以 ( )是奇函数，

又因为 ( )在 = 0处有定义，所以 (0) = = 0，解得 = 0，此时 ( ) = 2， 4 4+

因为 (1) = = 1，解得 = 5，
4+1
5
故 ( )的解析式为 ( ) = 2； 4+
(2) ( )在[ 2,2]上单调递增，证明如下：
任取 2 ≤ 1 < 2 ≤ 2，
5 1 5 2 5(4
2 2
1 4 2+ 1 2 ) 5( 1 2)(4 1 2)
则 ( 1) ( 2) = 2
2 1
4+ 4+ 2
= 2 2 = 2 < 0，
1 2 (4+ 1)(4+ 2) (4+ 1)(4+
2
2)
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在[ 2,2]上单调递增；
(3)因为 ( + 2) + (1 2 ) > 0，所以 ( + 2) > (1 2 )，
又因为 ( )是奇函数，所以 ( + 2) > (2 1)，
2 ≤ 2 1 ≤ 2
所以{ 2 ≤ + 2 ≤ 2 ，
2 1 < +2
1 3
≤ ≤ ,
2 2 1
即{ 4 ≤ ≤ 0,解得 ≤ ≤ 0， 2
< 3,
1
所以 的取值范围为[ , 0]．
2
1
18.【答案】解：(1)由于函数 ( ) = ( 2 2) 4(2 ) = (2 4 2)( 4 + ) 2
令 = log4 ， ∈ [1,16]，那么 ∈ [0,2]，
1
( )转化为 = (2 2)( + )， ∈ [0,2]，
2
1 1
所以二次函数 = (2 2)( + ) = 2 2 1，对称轴为 = ，
2 4
1 1
所以函数在( , 2]上单调递增，在[0, ]上单调递减，
4 4
1 9
因此当 = 2时， 取到最大值为5，当 = 时， 取到最小值为 ，
4 8
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9
因此当 ∈ [1,16]时， ( )的值域为[ , 5]．
8
1
(2)根据题得(2 4 2)( 4 + ) 2 > 0，令 = log2 4
，
1 3
那么(2 2)( + ) 2 > 0，所以2 2 3 > 0，解得 > 或 < 1，
2 2
1
当 < 1时，即log4 < 1，解得0 < < ， 4
3 3
当 > 时，即 4 > ，解得 > 8． 2 2
1
故不等式 ( ) > 2的解集为{ |0 < < 或 > 8}．
4
1
(3)由于(2 4 2)( 4 + ) < 4 对于 ∈ [4,16]上恒成立， 2
1
令 = log4 ， ∈ [4,16]，则 ∈ [1,2]，即(2 2)( + ) < 在 ∈ [1,2]上恒成立， 2
1
所以 > 2 1在 ∈ [1,2]上恒成立，

1
因为函数 = 在[1,2]上单调递增， = 2 也在[1,2]上单调递增，

1 5
所以函数 = 2 1在[1,2]上单调递增，它的最大值为 ，
2
5
故 > 时， ( ) < 4 对于 ∈ [4,16]恒成立． 2
19.【答案】19.解：(1)当 ∈ [ 4,0)时， ∈ (0,4]，
由奇函数的定义得 ( ) = ( ) = [ ( )2 + 2( )] = 2 + 2 ，
2 + 2 , 0 ≤ ≤ 4
所以 ( ) = {
2
．
+2 , 4 ≤ < 0
(2)方程 ( ) = ，即 2 ( +2) = 0，
设 ( ) = 2 ( +2) ，0 < < 4，
(0) = > 0
(4) = 8 5 > 0
由题意知 2
= ( + 2) + 4 > 0
，解得2√ 3 4 < < 0，
+2
{0 < < 42
即实数 的取值范围是(2√ 3 4,0)．
1 1
(3)易知当 4 ≤ < < 0时， < ，

且 ( )在[ 4, 1]上单调递减，在[ 1,0]上单调递增，
故当 ∈ [ 4,0]时， ( ) = ( 1) = 1，
1
所以 ≥ 1，所以 4 < ≤ 1，所以 4 ≤ < ≤ 1，

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1
( ) = 2 + 2 =
1+√ 5
则{ 1，解得{ = ( ) = 2 + 2 = 2 ，
= 1
4 ≤ < ≤ 1
1 √ 5
所以 ( )在[ 4,0]内的“倒域区间”为[ , 1]．
2
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