河北省张家口市多校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（A卷）（PDF版，含答案）

河北省张家口市多校 2024-2025学年高一上学期 12月月考数学试卷（A
卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，集合 = { | < 3或 > 2}， = { | 4 ≤ ≤ 2}，那么阴影
部分表示的集合为( )
A. { | 4 ≤ < 3} B. { | 3 ≤ ≤ 2}
C. { | ≤ 3或 ≥ 2} D. { | 3 < ≤ 2}
2.在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度Ⅰ(单位：安)与电线半径 (
单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为135安，则电流通过半径为
2毫米的电线时，电流强度为( )
A. 30安 B. 35安 C. 40安 D. 45安
5
3.“ 2 < 0”的一个充分不必要条件是( ) 3 +2
3
A. 2 < < 1 B. 0 < < 2 C. 1 < < 2 D. 1 < <
2
1
4.函数 ( ) = √ 3 ( ) 的定义域为( )
3
A. [ 1, +∞) B. ( 1, +∞) C. ( ∞, 1] D. ( ∞, 1)
5.已知 = 30.5
1
， = 90.2， = ( )0.4，则三个数的大小关系是( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.若函数 ( ) = √ 2 + 2 + 1的定义域为 ，则实数 的取值范围是( )
A. (0,1) B. (1, +∞) C. [0, +∞) D. [1, +∞)
(5 ) + 3 2, < 1
7.已知函数 ( ) = { 2 的值域为 ，则 的取值范围是( )
2 4 +5 + 1, ≥ 1
A. [1,5) B. (1,5) C. [0,5) D. (0,5)
8.定义在 上的函数 ( )的图象关于直线 = 2对称，且当 ≥ 2时， ( ) = 2，则有( )
8 3 7 7 3 8
A. ( ) < ( ) < ( ) B. ( ) < ( ) < ( )
3 2 3 3 2 3
7 8 3 3 7 8
C. ( ) < ( ) < ( ) D. ( ) < ( ) < ( )
3 3 2 2 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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2
9.下列关于幂函数 ( ) = 3的说法正确的有( )
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为(0, +∞)
C. ( )为偶函数 D. 不等式 ( ) > 1的解集为(0,1)
2
10.已知函数 ( ) = 3 +2 ，则下列命题中，正确的有( )
1
A. 函数 ( )的值域为[ , +∞) B. 函数 ( )的单调增区间为[ 1, +∞)
3
C. 方程 ( ) = 3有两个不同的实数根 D. 函数 ( )的图象关于直线 = 1对称
11.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意实数 ， 有 ( + ) = ( ) + ( ) 3且 (1) = 0，当 > 0时，
( ) < 3.则下列选项正确的是( )
A. (0) = 3 B. (2) = 2
C. ( ) 3为奇函数 D. ( )为 上的减函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = {2,3,2 2}， = {2, 2 1}，若 ，则实数 = ______．
2 1
13.不等式3 2 3 > ( )3( 1)的解集为______．
3
14.定义域为 的函数 ( )同时满足条件：①常数 ， 满足 < ，区间[ , ] ，②使 ( )在[ , ]上的值
域为[ , ]( ∈ )，那么我们把 ( )叫做[ , ]上的“ 级矩形”函数.函数 ( ) = 3是[ , ]上的“1级矩
形”函数，则满足条件的常数对( , )共有______对.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
5 4 3 1 1
(1)化简：6 3 3 ÷ ( 3 3)；
5
(2)若 + 1 = 9，求下列各式的值：
① 2 + 2；
1 1
② 2 + 2．
16.(本小题15分)
幂函数 ( ) = ( 2 5) 1的定义域是全体实数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若 ( ) = 2 ( ) 4 + 1 2 ，且不等式 ( ) > 0在区间[0,4]上恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心 (0 < < 16)厘米处安装
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臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到
干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与 2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与500 2
14
成反比，比例系数为 ，且当 = 5时，对左脚和右脚的干扰度之和为 ．
95
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和 关于 的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时 的值．
18.(本小题17分)
2 1
已知函数 ( ) = 为奇函数． 2 +1
(1)求 的值；
2 1
(2)判断并证明 ( ) = 的单调性； 2 +1
(3)若存在实数 ，使得 ( 2 + 4 ) + ( 2 ) < 0恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 2 2 + 2 2， ( ) = 2 + 3 2 4( ∈ )．
(1)当 = 1时，解不等式 ( ) > ( )；
(2)若对任意 > 0，都有 ( ) > ( )成立，求实数 的取值范围；
(3)若对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ [0,1]，使得不等式 ( 1) > ( 2)成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1或 2
13.【答案】{ | > 2或 < 3}
14.【答案】3
5 4 3 1 1 5 5 1 4 1
15.【答案】解：(1)6 ÷ ( 3 3 3 3) = 6 × ( ) ( ) 3 3 3 3 = 10 2 ；
5 3
(2)① + 1 = 9，
则( + 1)2 = 2 + 2 + 2 = 81，解得 2 + 2 = 79；
1 1
② ∵ 2 > 0， 2 > 0，
1 1
∴ 2 + 2 > 0，
1 1 1 1
∴ ( 2 + 2)2 = + 1 + 2 = 9 + 2 = 11，解得 2 + 2 = √ 11．
16.【答案】解：(1)由题意得 2 5 = 1，解得 = 2或3，
当 = 2时， ( ) = 3，此时定义域不是全体实数，故舍去；
当 = 3时， ( ) = 2，满足题意；
所以 ( )的解析式为 ( ) = 2．
(2) ( ) = 2 ( ) 4 + 1 2 = 2 2 4 + 1 2 ，
不等式 ( ) > 0在区间[0,4]上恒成立，
即2 2 4 + 1 2 > 0在区间[0,4]上恒成立，
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即2 < 2 2 4 + 1在区间[0,4]上恒成立，
所以2 < (2 2 4 + 1) ，
令 ( ) = 2 2 4 + 1， ∈ [0,4]，
所以 ( ) = (1) = 1，
1
所以2 < 1，解得 < ，
2
1
即 的取值范围是( ∞, ).
2
2
17.【答案】解：(1)由题意知， = 2 + 500 2，
2 14
当 = 5时， = + = ，解得 = 32，
25 500 25 95
所以臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和为
2 32
= + ，0 < < 16；
2 500 2
(2)因为0 < < 16，所以500 2 > 0，
2 32
所以 = 2 + 2 500
1 2 2 32= × [ + (500 2)]( 2 + 2) 500 500
1 2(500 2) 32 2
= × [2 + 32 + 2 + ] 500 500 2
1 2(500 2) 32 2
≥ × [34 + 2√
500 2
]
500 2
1
= × (34 + 16)
500
1
= ，
10
2(500 2) 32 2
当且仅当 =
2 500 2
，即 = 10时取“=”，
所以当 = 10时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为0.1．
18.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( )是定义在 上的奇函数，则 (0) = 1 = 0，
∴ = 1，
2 1
经检验 ( ) = 为奇函数，符合题意； 2 +1
(2) ( )在 上单调递增，证明如下：
2
由(1)可得 ( ) = 1
2
，
+1
任取 1， 2是 上的任意两个值，且 1 < 2，
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2 2 2 2 2(2 1 2 2)
则 ( 1) ( 2) = (1 ) (1 ) = = < 0， 2 1+1 2 2+1 1+2 2 1+2 1 (1+2 1)(1+2 2)
则 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
故 ( )在 上是增函数；
(3) ∵ ( 2 + 4 ) + ( 2 ) < 0，
∴ ( 2 + 4 ) < ( 2 )，
由于 ( )为奇函数，
∴ ( 2 + 4 ) < ( 2 + )，
∵ ( )为 上单调递增函数，
∴ 2 + 4 < 2 + ，
∴ 2 2 + 4 < 成立，
∴ ( 2 2 + 4 ) < ，而当 = 1时， 2
2 + 4 取得最大值为2，
∴ > 2.故实数 的取值范围为(2, +∞)．
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 2 2 + 1， ( ) = 2 + 3 5，
所以 ( ) ( ) = 2 5 + 6 > 0，解得 < 2或 > 3，
所以不等式 ( ) > ( )的解集为( ∞, 2) ∪ (3, +∞)．
(2)若对任意 > 0，都有 ( ) > ( )成立，即 2 (2 + 3) + 6 > 0对任意 > 0恒成立，
6
不等式可化为(2 + 3) < 2 + 6，即2 + 3 < + 对任意 > 0恒成立，

6 6
因为 + ≥ 2√ 6，当且仅当 = ，即 = √ 6时等号成立，

3
所以2 + 3 < 2√ 6，解得 < √ 6 ，
2
3
所以 的取值范围是( ∞, √ 6 ).
2
(3)若对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ [0,1]，使得不等式 ( 1) > ( 2)成立，
即只需满足 ( ) > ( ) ， ∈ [0,1]，
3
( ) = 2 + 3 2 4，对称轴 = ， ( )在[0,1]上单调递增，
2
( ) = (0) =
2 4，

( ) = 2 2 2 + 2 2， ∈ [0,1]，对称轴 = ，
2

① ≤ 0，即 ≤ 0时， ( )在[0,1]上单调递增， ( ) = (0) = 2
2 > ( ) =
2 4恒成立；
2

②0 < < 1，即0 < < 2时， ( )在[0, )上单调递减，在( , 1]上单调递增，
2 2 2
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3
( ) 2 = ( ) = + 2， ( ) =
2 4，
2 2
3
所以 2 + 2 ≥ 2 4，故0 < < 2；
2

③ ≥ 1，即 ≥ 2时， ( )在[0,1]上单调递减， ( ) 2 2
2
= (1) = 2 + 4， ( ) = 4，
所以 2 2 + 4 ≥ 2 4，解得2 ≤ < 4．
综上： ∈ ( ∞, 4)．
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