云南省曲靖市宣威六中2024-2025学年高一上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

云南省曲靖市宣威六中 2024-2025 学年高一上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | < 4}， = { | 2 < < 3}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {0,1,2,3} D. ( 2,3)
2.用二分法求方程的近似解，求得 ( ) = 3 + 2 9的部分函数值数据如表所示：
1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
( ) 6 3 2.625 1.459 0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程 3 + 2 9 = 0的近似解可取为( )
A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9
1 1
3.已知 = 33， = 95， = 8，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.下列函数中，其图像如图所示的函数为( )
1 2 1 2

A. = 3 B. = 3 C. = 3 D. = 3
5.已知有如下命题：
5
①把 化成角度是225°；
4
②若扇形的面积为2 2，扇形圆心角 的弧度数是4，则扇形的周长为6 ；

③设 是第一象限的角，则 所在的象限为第一象限；
2
④2024°角是第二象限角；
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.已知函数 ( ) = 1( 2 + 2 )在[1, +∞)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
2
A. ( ∞, 1) B. [ 2, +∞) C. [ 2,1) D. ( ∞, 2]
第 1 页，共 8 页
1 ( )
7.定义在 上的奇函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，且 ( ) = 0，则不等式 2 ≤ 0的解集为( ) 3 2
1 1 1
A. ( √ 2, ] ∪ (√ 2,+∞) B. ( ∞, √ 2) ∪ [ , 0) ∪ [ , √ 2)
3 3 3
1 1 1
C. ( √ 2, ] ∪ {0} ∪ (√ 2, +∞) D. ( ∞, √ 2) ∪ [ , 0] ∪ [ , √ 2)
3 3 3
8.我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数.有同
学发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称的充要条件是函数 = ( + )
为奇函数，若函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1的图象关于点( 0, 0)成中心对称图形，则( )
1
A. 0 = 0 B. 0 = C. 2 0 = 1 D. 0 = 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. = 与 = √ 2
B. = 2 + 1与 = 2 + 1
1 2+1
C. = + 与 =

D. = 2 ， ∈ {1,2}与 = 2 ， ∈ {1,2}
10.设正实数 ， 满足 + 4 = 1，则下列说法中正确的有( )
1 1 1
A. √ 有最大值 B. + 有最小值9
4
1
C. √ + 2√ 有最大值√ 2 D. 2 + 2有最小值
2
11.对于函数 = ( )，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ∈ ，并且 ( ) ( ) = 1，则
称函数 = ( )为“倒函数”.则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( ) = + √ 2 + 1是“倒函数”
B. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，则 (0) = 1
1
C. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，当 ≤ 0, ( ) = 2
2 2
，则 > 0， ( ) = 2 +
+
1
D. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在 上是单调增函数，记 ( ) = ( ) ，
( )
若 1 + 2 > 0，则 ( 1) + ( 2) > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知点(9,3)在函数 = 1 + 的反函数的图像上，则 = ______．
第 2 页，共 8 页
13.已知函数 = log ( 1) + 6( > 0, ≠ 1)的图象恒过点 ( , )，则 + = ______，函数 ( ) =
1( 2 )的单调递增区间为______．
3
14.今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造
成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万
年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度 ( / )与时间 (年)近似满足关系式 = ( , 为大于
1 1
0的常数且 ≠ 1).若 = 时， = 10；若 = 时， = 20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓
6 12
1
度 为 时，大约需要______年. (最终结果四舍五入，参考数据：log23 ≈ 1.58，log25 ≈ 2.32) 120
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算下列各式的值：
1 1 16 1 2
(1) + ( )0 + ( ) 0.5 + √ ( )3；
√ 2+1 2022 9 64
4
(2) √27 + 25 + 4 7 723 ．
16.(本小题15分)
已知 ( ) = log + log (4 )( > 0，且 ≠ 1)，且 (2) = 2．
(1)求 的值及 ( )的定义域；
(2)求 ( )在[1,3]上的最小值．
17.(本小题15分)
某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的
药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量 (毫克)与开始
注射后的时间 (小时)之间近似满足如图所示的曲线， 与 的函数关系为 = ( > 0且 ≠ 1).根据图中提
供的信息：
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量 (毫克)关于时间 (小时)的函数关系式；
(2)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液
中药物含量为多少毫克？(结果保留小数点后两位)．
第 3 页，共 8 页
18.(本小题17分)
已知指数函数 ( )的图象过点(3,27)，函数 ( ) = ( ) + ( )．
(1)求 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在[0, +∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)若不等式 ( 2 2) ( 2 1) ≤ 0对 ∈ 恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
若函数 在 ≤ ≤ ( < )上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 = 1，则称函数
是在 ≤ ≤ 上的“美好函数”．
(1)函数① = + 1；② = |2 |；③ = 2，哪个函数是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)．
①函数 是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”，求 的值；
②当 = 1时，函数 是在 ≤ ≤ + 1上的“美好函数”，求 的值．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】8 ( ∞, 0)
14.【答案】53
4 1 2
15.【答案】解：原式= √ 2 1 + 1 + [( )2] 0.5 + √ [( )6]3
3 2
3 1
= √ 2 + [( ) 2] 0.5 + √ ( )4
3 1
= √ 2 + + = √ 2 + 1．
4 2 4 4
3 3 3
(2) 43 √27 + 25 + 4 7
72 = 334 + ( 25 + 4) 2 = + 2 2 = ． 4 4
1
16.【答案】解：(1) (2) = log 2 + log 2 = 2，即log 2 = 1，则 = ， 2
由题意得{
> 0
，所以0 < < 4， ( )的定义域为(0,4)．
4 > 0
1
(2)将 = 代入 ( )， ( ) = 1 + 1(4 ) = 1(4 2)，
2
2 2 2
令 = 2 + 4 ，则 = 1 ，
2
因为 ∈ [1,3]，所以 ∈ [3,4]，
所以当 = 4时， = 1 取得最小值为 14 = 2．
2 2
所以 ( )在[1,3]上的最小值为 2．
第 5 页，共 8 页
1
17.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 时，设 = ，
2
1 1
将( , 2)代入 = 得2 = ，解得 = 4，此时， = 4 ；
2 2
1
当 > 时，设 = ( > 0且 ≠ 1)，
2
1
1
将( , 2)、(1,1)代入 = 得{ 2 = 2，
2 = 1
1
解得{ = 4 ，
= 4
1
1 4 , 0 ≤ ≤
此时， = 4 ( ) = 41 .综上： = { 2．
4 1 14 , >
2
(2)完成第二次注射药物1小时后每升血液中第一次注射药物的含量： 2 = 4
3 = 0.015625，
每升血液中第二次注射药物的含量： = 4 0.52 = 0.5，所以此时两次注射药物后的药物含量为0.52毫克．
18.【答案】解：(1)设 ( ) = ( > 0，且 ≠ 1)，
因为指数函数 ( )的图象过点(3,27)，
所以 (3) = 3 = 27，
解得 = 3，
所以 ( ) = 3 ；
(2) ( )在[0, +∞)上单调递增．
证明如下：
易知 ( ) = 3 + 3
1
= 3 + ， 3
因为 1， 2 ∈ [0, +∞)，且 1 < 2，
1 1 3 1 3 2 1
所以 ( 2 1 2 1 2 12) ( 1) = 3 3 + = 3 3 + + = (3 3 )(1 + ) 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2
(3 2 3 1)(3 1+ 2 1)
=
3 +
，
1 2
因为 2 > 1 > 0，
所以3 2 > 3 1， 1 + 2 > 0，
+ (3
2 3 1)(3 1+ 2 1)
此时3 1 2 > 1， > 0，
3 1+ 2
所以 ( 2) ( 1) > 0，
即 ( 2) > ( 1)，
则 ( )在[0, +∞)上单调递增；
(3)易知 ( ) = ( )，
第 6 页，共 8 页
所以 ( )是偶函数，
若 ( 2 2) ( 2 1) ≤ 0，
即 ( 2 2) ≤ ( 2 1) = ( 2 + + 1)，
易得 2 2
3
≥ 0， 2 + + 1 = ( + 1)2 + > 0，
4
因为 ( )在[0, +∞)上单调递增，
所以 2 2 ≤ 2 + + 1．
当 = 0时，等式成立；
1 1
当 ≠ 0时， 2 ≤ 2 + + 1，
1 1 1 2 3 3因为 2 + + 1 = ( + 1) + ≥ ， 4 4
2 3所以 ≤ ，
4
√ 3 √ 3
解得 ≤ ≤ ．
2 2
√ 3 √ 3
故 的取值范围为[ , ]．
2 2
19.【答案】解：(1)①因为1 ≤ ≤ 2，所以2 ≤ + 1 ≤ 3，所以 = 3， = 2，
得 = 1，故 = + 1是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”；
②因为1 ≤ ≤ 2，所以2 ≤ 2 ≤ 4 2 ≤ |2 | ≤ 4，所以 = 4， = 2，
得 = 2，故 = |2 |不是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”；
③因为1 ≤ ≤ 2，所以1 ≤ 2 ≤ 4，所以 = 4， = 1，
得 2 = 3，故 = 不是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”．
(2)①由题得 = 2 2 3 = ( 2 2 3)，
当1 ≤ ≤ 2，可知 4 ≤ 2 2 3 ≤ 3，
所以，当 > 0时， 4 ≤ ( 2 2 3) ≤ 3 ，此时 = 3 ， = 4 ，
因为函数 是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”，
所以有 3 ( 4 ) = 1 = 1；
当 < 0时， 4 ≥ ( 2 2 3) ≥ 3 ，此时 = 4 ， = 3 ，
因为函数 是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”，
所以有 4 ( 3 ) = 1 = 1；
故 = ±1．
②由题可知此时，函数 ： = 2 2 3，可知此时，函数 = 2 2 3的对称轴为 = 1且开口向上；
第 7 页，共 8 页
当 + 1 ≤ 1时，此时函数 = 2 2 3在[ , + 1]上单调递减，此时 2 2 = 2 3， = ( + 1)
2( + 1) 3，
因为函数 是在 ≤ ≤ + 1上的“美好函数”，
所以有( 2 2 3) [( + 1)2 2( + 1) 3] = 1，解得 = 0；
当 < 1 < + 1时，此时函数 = 2 2 3在[ , 1]上单调递减，在(1, + 1]单调递增，所以当 = 1时，
= 4，
因为函数 是在 ≤ ≤ + 1上的“美好函数”，
所以有 = 3；
令 2 2 3 = 3，解得 = 0或 = 2，
所以此时 = 0 ∈ [0,1](舍去)， + 1 = 2 ∈ [1,2](舍去)，
当 ≥ 1时，此时函数 = 2 2 3在[ , + 1]上单调递增，此时， = ( + 1)
2 2( + 1) 3， =
2 2 3，
因为函数 是在 ≤ ≤ + 1上的“美好函数”，
所以有[( + 1)2 2( + 1) 3] ( 2 2 3) = 1，解得 = 1；
综上所述： = 0或 = 1．
第 8 页，共 8 页