上海市华东师大松江实验高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

上海市华东师大松江实验高级中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月
考数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( + )2 的二项展开式中系数最大的项是( )
A. 第 项 B. 第 + 1项
C. 第 + 1项和第 1项 D. 无法确定
2.4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有( )种不同的分法．
A. 36 B. 24 C. 18 D. 72
3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用 表示“正面朝上”这一事件，则 的( )
4 4
A. 概率为 B. 频率为 C. 频率为8 D. 概率接近于8
5 5

4.如果 、 是独立事件， 、 分别是 、 的对立事件，那么以下等式不一定成立的是( )

A. ( ∩ ) = ( ) ( ) B. ( ∩ ) = ( ) ( )

C. ( ∪ ) = ( ) + ( ) D. ( ∩ ) = [1 ( )][1 ( )]
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.“直线 垂直于平面 内无数条直线”是“ ⊥ ”的______条件．
6.已知圆柱的轴截面是一个边长为4 的正方形，则此圆柱的侧面积为______ 2．
7.已知 = (3, 1,2)， 的起点坐标是(2,0, 5)，则 的终点坐标为______．
8.由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数．
9.二项式(1 2 )11的展开式中所有项的系数之和为______．
1 1
10.在某道路 ， 两处设有红灯绿、灯交通信号，汽车在 ， 两处通过(即通过绿灯)的概率分别是 和 ，某
3 2
辆汽车在这条道路上匀速行驶，则两处都不停车的概率为______．
11.已知长为3的线段 的两个端点到平面 的距离分别为1和2，则直线 与平面 的所成角大小为______．
12.已知向量 = (0,1, 1)， = (1,1,0)，若( + ) ⊥ ，则实数 等于______．
13.一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概
率为______．
14.设集合 中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数
的最大值______．
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15.甲、乙、丙、丁4个人进行乒乓球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，
决赛的胜者为冠军、败者为亚军. 4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在
列选手的概率．
甲 乙 丙 丁
甲 — 0.3 0.3 0.8
乙 0.7 — 0.6 0.4
丙 0.7 0.4 — 0.5
丁 0.2 0.6 0.5 —
那么甲得冠军且丙得亚军的概率是______．
16.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 是平面 1 1上一动点，
且满足 1 = 0，则满足条件的所有点 所围成的平面区域的面积是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知长方体 1 1 1 1中， = 3， = 4， 1 = 5，若该长方体的各顶点都在球 的表面上.求：
(1)异面直线 与 1所成角的大小；
(2)求球 的表面积．
18.(本小题14分)
7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
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(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；
(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减．
19.(本小题14分)
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面 是边长为8(单位： )
的正方形，△ ，△ ，△ ，△ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： //平面 ；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)．
20.(本小题18分)
如图，圆锥的底面直径与母线长均为4， 是圆锥的高，点 是底面直径 所对弧的中点，点 是母线 的
中点.求：
(1)该圆锥的体积和表面积；
(2)二面角 的大小；
3
(3)点 在 上，满足异面直线 与 所成角的余弦值为 ，试确定点 的位置．
4
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21.(本小题18分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 以上(含9.50 )的同学将获得
优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单
位： )：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有 的可能值及其发生的概率．
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】必要不充分
6.【答案】16
7.【答案】(5, 1, 3)
8.【答案】6
9.【答案】 1
1
10.【答案】
6
1
11.【答案】 或arcsin
2 3
1
12.【答案】
2
1
13.【答案】
10
14.【答案】42
15.【答案】0.045
3
16.【答案】
2
17.【答案】解：(1)根据题意易知 // ， ⊥ ， = 3， = √ 42 + 521 1 = √ 41，
∴异面直线 与 1所成角∠ 1 ，
√ 41
又tan∠ 1 =
1 = ，
3
√ 41
∴异面直线 与 1所成角的大小为 ； 3
(2)根据题意可得球 的直径2 即为长方体的体对角线长，
∴ (2 )2 = 32 + 42 + 52 = 50，
∴球 的表面积为4 2 = 50 ．
18.【答案】解：(1)将较高的3个学生捆成一个元素，与另4个学生构成5个学生自由排列有 55种方法，捆成
一个元素的三学生内部可自由排列，有 33种方法，
所以共有 5 35 3 = 720种；
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(2)因为最高的站在中间，
所以从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边，
共有 36
3
3 = 20种．
19.【答案】(1)证明：如图所示，将几何体补形为长方体，
做 ′ ⊥ 于点 ′，做 ′ ⊥ 于点 ′，
由于底面为正方形，△ ，△ 均为等边三角形，
故等边三角形的高相等，即 ′ = ′，
由面面垂直的性质可知 ′， ′均与底面垂直，
则 ′// ′，四边形 ′ ′ 为平行四边形，则 // ′ ′，
由于 不在平面 内， ′ ′在平面 内，
由线面平行的判断定理可得 //平面 ．
(2)解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，
其中长方体的高 1 = ′ = 4√ 3，
长方体的体积 1 = 8 × 8 × 4√ 3 = 256√ 3
3，
一个三棱锥的体积 1 1 32√ 3 2 = × ( × 4 × 4) × 4√ 3 =
3，
3 2 3
则包装盒的容积为 32√ 3 640 = 1 4
3
2 = 256√ 3 4 × = √ 3 ． 3 3
20.【答案】解：(1)因为圆锥的底面直径与母线长均为4， 是圆锥的高，
所以 = √ 42 22 = 2√ 3，
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所以圆锥的体积 1 8√ 3 = × × 22 × 2√ 3 = ，
3 3
1
表面积 = 22 + × 2 × 2 × 4 = 12 ；
2
(2)因为 是圆锥的高，所以 ⊥平面 ，
因为 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为点 是底面直径 所对弧的中点，所以 ⊥ ，
则 ， ， 两两互相垂直，
则以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0, 2,0)， (0,2,0)， (2,0,0)， (0,0,2√ 3)，
所以 = (0,2,2√ 3)， = (2,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2√ 3 = 0
则{ ，令 = √ 3，得 = √ 3， = 1，所以 = ( √ 3, √ 3, 1)，
= 2 + 2 = 0
由题知，平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，

设二面角 的大小为 ，由题知 ∈ (0, )，
2
| | √ 3 √ 21
则 = |cos < , > | = = = ，
| || | √ 7 7
所以二面角 的大小为 √ 21arccos ；
7
(3)因为点 在 上，所以设 = = (0, 2,2√ 3) = (0, 2 , 2√ 3 )，(0 ≤ ≤ 1)，
则 = + = (0,2,0) + (0, 2 , 2√ 3 ) = (0,2 2 , 2√ 3 )， = ( 2,0,2√ 3)，
3
因为异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
4
|cos <
|12 | 3
所以 ,
> | = =
2 2 4，
4×√ (2 2 ) +12
1
解得 = ，所以 为 的中点．
2
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21.【答案】解：(1)已知甲以往的9次成绩中有4次获得优秀奖，
若用频率估计概率，
4
则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为 ；
9
(2)若用频率估计概率，
3 1
则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为 = ，
6 2
2 1
丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为 = ，
4 2
易知 的所有可能取值为0，1，2，3，
5 1 1 5 5 1 1 4 1 1 7
则 ( = 0) = × × = ， ( = 1) = 2 × × × + × × = ，
9 2 2 36 9 2 2 9 2 2 18
5 1 1 4 1 1 13 4 1 1 1
( = 2) = × × + 2 × × × = ， ( = 3) = × × = ．
9 2 2 9 2 2 36 9 2 2 9
1
(3)由题知乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为 ，
2
又丙投出过三人成绩中的最大值9.85 ，在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
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