江苏省常州市北郊高级中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省常州市北郊高级中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点 (2,√ 3 + 1)和 (0,1 √ 3)的直线 的倾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.已知 点坐标为( 2,1)， 点坐标为(3,4)，以线段 为直径的圆的半径是( )
√ 34
A. 4 B. √ 34 C. D. 2
2
3.若抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点在直线 + 2 2 = 0上，则 等于( )
A. 4 B. 0 C. 4 D. 6
4. ， 分别为直线3 4 12 = 0与6 8 + 5 = 0上任意一点，则| |最小值为( )
29 29 17 17
A. B. C. D.
10 5 5 10
5.若圆( 1)2 + ( 2)2 = 5的圆心到直线 + = 0的距离为√ 2，则实数 的值为( )
A. 1或3 B. 3或1 C. 1或3 D. 3或 1
6.已知点 ( , )在直线 = 0上，则√ 2 + 2 2 + 2 + 2 + √ ( 2)2 + 2的最小值为( )
A. √ 5 B. 2√ 2 C. √ 10 D. 2√ 5
7.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得
2 2
到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > >
0)的面积为6 ，两个焦点分别为 1， 2，点 是椭圆 上的动点，点 是点 关于原点的对称点，若四边形 1 2
的周长为12，则四边形 1 2面积的最大值为( )
A. 4√ 5 B. 2√ 5 C. 2√ 35 D. √ 35
2 2
8.过双曲线 = 1( > 0, > 0)的右焦点 向其一条渐近线作垂线 ，垂
2 2 2
足为 ， 与另一条渐近线交于 点，若 = 4 2 2，则双曲线的离心率为( )
A. 2
√ 14
B.
2
√ 29
C.
2
2√ 6
D.
3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线 = 3 2在 轴上的截距是2
B. 直线2 + 5 = 0经过第一、二、三象限
C. 过点(5,0)，且倾斜角为90°的直线方程为 5 = 0
D. 过点 (1,2)且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 + 3 = 0
10.已知曲线 ： 2 = ( 2 4)，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A. 当 = 1时，曲线 是一个圆
B. 当 > 0时，曲线 是一个双曲线
C. 当 = 3时，曲线 是焦点为(0,±2√ 2)的椭圆
√ 2
D. 若曲线 是离心率为 的椭圆，则 = 2
2
2 2
11.椭圆 ： + 2 = 1( > 0)的两个焦点分别为 1， 2，则下列说法正确的是( ) 4
A. 过点 2的直线与椭圆 交于 ， 两点，则△ 1的周长为8
B. 若 上存在点 ，使得 1 2 = 0，则 的取值范围为(0,√ 2] ∪ [2√ 2,+∞)
C. 若直线 + 1 = 0与 恒有公共点，则 的取值范围为[1,+∞)
√ 6
D. 若 = 1， 为 上一点， ( 1,0)，则| |的最小值为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.圆 ：( 1)2 + ( + 1)2 = 2在点 (2, 2)处的切线方程为______．
2 2
13.已知椭圆 + = 1上的一点 到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则 等于______．
16
14.如图，已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过 且斜率为1的直线交 于
， 两点，线段 的中点为 ，其垂直平分线交 轴于点 ， ⊥ 轴于点 .若
四边形 的面积等于28，则 的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
1
已知平面直角坐标系中， ( 2,3)， (3, 2)， ( , )， (0, 3)
2
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(1)若直线 与直线 平行，求 的值；
(2)若直线 与直线 垂直，求 的值．
16.(本小题12分)
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
5 3
(1)两个焦点的坐标分别为 1( 2,0)， 2(2,0)，并且椭圆经过点( , ) 2 2
(2)椭圆经过点 ( 2√ 3, 1)和 (√ 3, 2)．
17.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到其准线的距离为2．
(1)求 的值；
(2)直线 = + 2与抛物线 交于 ， 两点，以 为直径的圆经过坐标原点，求实数 的值．
18.(本小题12分)
如图，已知⊙ 的圆心在原点，且与直线 + 3 + 4√ 10 = 0相切．
(1)求⊙ 的方程；
(2)点 在直线 = 8上，过点 引⊙ 的两条切线 、 ，切点为 、 ．
①求四边形 面积的最小值；
②求证：直线 过定点．
19.(本小题12分)
3
动点 ( , )到直线 1： = √ 3 与直线 2： = √ 3 的距离之积等于 ，且| | < √ 3| |.记点 的轨迹方程4
为 ．
(1)求 的方程；
4
(2)已知点 (0, )，直线 ： = + 2( > 0)交 于点 ， ， 上是否存在点 满足 + + = 0 ？若
3
存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 4 = 0
13.【答案】36
14.【答案】 2 = 8
15.【答案】解：(1)因为直线 与直线 平行，所以 = ，
1
因为 ( 2,3)， (3, 2)， ( , )， (0, 3)，
2
3 2 ( 3) 23
所以 1 = = ，经检验两直线不重合，
2 3 0 6
2
23
所以 = ；
6
(2)因为直线 与直线 垂直，两直线斜率均存在，
所以 = 1，
1
因为 ( 2,3)， (3, 2)， ( , )，
2
3 2 1±5√ 2
所以 1 1 = 1 = ．
2 3 2
2 2
16.【答案】解：(1)已知椭圆的两个焦点的坐标分别为 1( 2,0)， 2(2,0)，
则椭圆的焦点在 轴上，
2 2
设它的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
由已知得 = 2，
又因为 2 = 2 + 2 = 4 + 2，
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5 3
因为( , )在椭圆上，
2 2
5 2 3 2
( ) ( )
所以 2 2
2
+ 2 = 1，

25 9
即 2 +4 2 = 1， 4
25 92
从而有 2 + 2 = 1，
4(4+ ) 4
3
解得 2 = 6或 2 = ，
2
因此 2 = 4 + 2 = 4 + 6 = 10，
2 2
即所求椭圆的标准方程为 + = 1；
10 6
(2)已知椭圆经过点 ( 2√ 3, 1)和 (√ 3, 2)，
设椭圆的方程为 2 + 2 = 1( > 0, > 0, ≠ )，
1
12 + = 1 =
则{ { 15，
3 + 4 = 1 1 =
5
2 2
即椭圆方程为 + = 1．
15 5

17.【答案】解：(1)抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 ( , 0)到其准线 = 的距离为2，
2 2

可得 ( ) = 2，即有 = 2．
2 2
(2)由(1)可得抛物线方程为 2 = 4 ，与直线 = + 2联立，
消去 可得 2 2 + 4( 1) + 4 = 0，
因为直线 = + 2与抛物线 有两个交点，
1
所以 ≠ 0， = 16( 1)2 16 2 > 0，解得 < 且 ≠ 0，
2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
4(1 ) 4
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
8(1 )
得 1 2 = ( 1 + 2)( 2 + 2) =
2 1 2 + 2 ( 1 + 2) + 4 = 8 + ，
因为以 为直径的圆经过坐标原点，所以 = 0，
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4 8(1 ) 1
所以 2 + 8 + = 0，解得 = ． 2
18.【答案】解：(1)依题意得：圆心(0,0)到直线 + 3 + 4√ 10 = 0的距离 = ，
|4√ 10|
所以 = = = 4，所以⊙ 的方程为 2 + 2 = 16．
√ 10
(2)①连接 ， ，
∵ ， 是圆 的两条切线，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
所以 = 2 △ = = 4√ 2 16，
当 取最小值为8时，四边形 面积的最小值为4√ 64 16 = 16√ 3．
②证明：由①得， ， 在以 为直径的圆上，
设点 的坐标为(8, )， ∈ ，

则线段 的中点坐标为(4, )，
2
2

∴以 为直径的圆的方程为( 4)2 + ( )2 = 16 + ，
2 4
即 2 + 2 8 = 0，
∵ 为两圆的公共弦，
2 + 2 = 16
∴由{ 2 2 得直线 的方程为16 8 = 0， ∈ ， + 8 = 0
即8( 2) + = 0，则直线 恒过定点(2,0)．
3
19【. 答案】解：(1)因为 ( , )到直线 1： = √ 3 与直线 2： = √ 3 的距离之积等于 ，且| | < 3| |， 4 √
所以|√ 3 | |√ 3 + | 3 = ，化简得|3 2 2| = 3，又3 2 2 > 0，
2 2 4
所以3 2 2 = 3，
2
所以 的方程为 2 = 1；
3
(2)
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存在 √ 19 3 ( , )，使得 + + = 0 ，理由如下：
4 4
= + 2
联立{ ，可得(3 2 22 2 ) 4 7 = 0， 3 = 3
因为 = 16 2 + 28(3 2) > 0，所以 2 < 7且 2 ≠ 3，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 0, 0)，
4 7
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
3 3
2
所以 4 1 + 2 = ( 1 + 2) + 4 = 2 + 4，
3
又
4
= ( , ),
4 4
1 1 = ( 2, 2 ), = ( 0, 0 )． 3 3 3
设存在点 ( 0, 0)满足 + + = 0 ，
1 + 2 + 0 = 0
则{ 4 4 4 ，
1 + 2 + 0 = 03 3 3
2
所以 4 4 0 = , 0 = 4 ( 1 + 2) = ． 2 2
3 3
2
因为点 ( 0, )在3
2 20 = 3上，所以
4 4
3( 22) ( )
2
2 = 3，
3 3
化简得19 4 66 2 + 27 = 0， > 0，解得 3√ 19 = ，
19
2
将 3√ 19其代入 4 4 √ 19 3 = 0 = 2 , 0 = 4 ( 1 + 2) = ，可得 ( , )， 19 23 3 4 4
所以存在 √ 19 3 ( , )，使得 + + = 0 ．
4 4
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