黑龙江省牡丹江市某校2024-2025学年高三上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省牡丹江市某校 2024-2025 学年高三上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ | 2 < 4}， = {1, }，若 ，则实数 的取值集合为( )
A. { 2, 1,0} B. { 2, 1} C. { 1,0} D. { 1}
2.已知数列{ }，则“ 2 + 4 = 1 + 5”是“{ }为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在平行六面体 1 1 1 1中， 为 与 的交点，若 1 1 = ，
1 1 = ， 1 = ，则下列向量中与 1 相等的向量是( )
1 1
A. + +
2 2
1 1
B. +
2 2
1 1
C. +
2 2
1 1
D. + +
2 2

4.已知 > 0， > 0，log9 = log12 = log16( + )，则 =( )
√ 2 1 √ 3 1 1 √ 5 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
1
5.向量 在向量 上的投影为 ，且|3 | = | + |，则cos , =( )
3
√ 3 √ 2 1 1
A. B. C. D.
3 3 3 6
1
6.已知 = 4，则 =( ) 10 10
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
1 +
7.若等比数列{ }的各项均为正数，且3 5 , 7 ,2 6成等差数列，则
10 4
( )
2 8+ 2
A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
8.对 ∈ [1,+∞)，不等式(( )2 1)( ) ≥ 0恒成立，则( )
1 1
A. 若 ∈ (0, )，则 ≤ B. 若 ∈ (0, )，则 >

1 1
C. 若 ∈ [ , )，则 = D. 若 ∈ [ , )，则 =

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图
所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)
内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则( )
A. = 0.005
B. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50
C. 估计该年级学生成绩的中位数约为76.14
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10.设复数 1 = 1 +2 ， 2 = 3 + 2 ，则( )
A. 1 2的虚部为 4
1 1 8
B. 的共轭复数为 +
2 13 13
C. | 1 + 2| = 4| 1|
D. 在复平面内，复数2 1 3 2对应的点位于第四象限

11.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )2 的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是( )
A. ( ) + (4) > 0
B. 函数 ( )在(11,14)上单调递增
C. 若 ( 1)= ( 2) = √ 3( 1 ≠ 2)，则| 1 2|的最小值是1
D. 把 = ( )的图象向右平移2个单位长度，所得图象与函数 = ( )的图象关于 轴对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知| | = √ 2，| | = 1， 与 的夹角为45°，则|2 + | = ______．
13.正四面体 中，
1
=
2
， = ，则异面直线 与 所成角的正弦值为______．
3 3
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14.在三棱锥 中，二面角 的大小为 ，∠ = ∠ ， = = 2，则三棱锥外接球
3
表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．
(1)若3 = 3 ，求角 的大小；

(2)已知 = 3、 = ，若 为△ 外接圆劣弧 上一点，求△ 周长的最大值．
3
16.(本小题12分)
在四棱锥 中，底面 是直角梯形，∠ = 90°， // ， = = ， = ( > )，
且 ⊥底面 ， 与底面 成30°角，且 = 4 ．
(1)求证： ⊥ ；
√ 10
(2)当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
4
17.(本小题12分)
如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，侧面 是等边三角形， = 2 ， = √ 3 ， ⊥
．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)设 为侧棱 上一点，四边形 是过 ， 两点的截面，且 //平面 ，是否存在点 ，使得平

面 ⊥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

18.(本小题12分)
踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、丙、丁四人
1
一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为 ；当乙接到毽子时，乙传给甲、
3
1 1 1 1 1 1
丙、丁的概率分别为 ， ， ；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为 , , ；当丁接到毽子时，
3 2 6 3 2 6
1 1 1
丁传给甲、乙、丙的概率分别为 , , ，假设毽子一直没有掉地上，经过 次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、
3 6 2
丁接到的概率分别为 ， ， ， ，已知 1 = 0．
(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为 ，求 的分布列；
1 1
(2)证明{ }为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与 的大小． 4 4
19.(本小题12分)

已知 ∈ ，函数 ( ) = + ， ( ) = 2．

(1)当 ( )与 ( )都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数 的值；
1 1 2
(2)若 ( 1)= ( 2) = 2( 1 ≠ 2)，求证： + > ． 1 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 13
2√ 5
13.【答案】
5
8√ 7 4
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)由3 = 3 及正弦定理得：3 = 3 ，
∴ 3 ( + ) = + 3 ，
∴ 3 = ，
1
∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，∴ = ，
3
1
∴ = arccos ．
3
(2) ∵ 为△ 外接圆劣弧 上一点，
2
∴ ∠ +∠ = ，∴ ∠ = ，
3
在△ 中，由余弦定理：
2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 2 +
2
( + ) 3
= ( + )2 ≥ ( + )2 = × ( + )2，
4 4
4
∴ ( + )2 ≤ 9 × = 12，∴ + ≤ 2√ 3，
3
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∴ + + ≤ 2√ 3 + 3，
则△ 周长的最大值为2√ 3 + 3．
16.【答案】解：(1)证明：如图，以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴， 为 轴建立如图所示的
空间直角坐标系．

那么 (0,0, )， (0, , 0)， ( , , 0)， √ 3 (0, , )， ( , 0,0)．
√ 3 4 4
故
√ 3
= ( , , )， = (0, , )，
4 4 √ 3
因为 = 0，所以 ⊥ ，即 ⊥ ．
(2)因为 = ( , 0,0)，所以 = 0，故 AB⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ，

故平面 的法向量 = = (0, , )， = ( , , )，
√ 3 √ 3
设直线 与平面 所成角为 ，
2

+
3 √ 10
则 = |cos < ， > | = =2 2 4 ，
√ 2 + √ 2 2+
3 3
1
整理得 = 2 ，即 = ．
2
17.【答案】解：(1)证明：在△ 中，∵ = 2 ， = √ 3 ，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)假设存在点 ，使得平面 ⊥平面 ，
分别以 ， 所在直线为 ， 轴，以过 且垂直于平面 的直线为 轴，建系如图，
设 = 2，则 (0,0,0)， (2,0,0)， ( 2,2√ 3,0)， (1,0,√ 3)，
∴ = ( 2,2√ 3, 0)， = (1,0,√ 3)， = ( 4,2√ 3,0)， = (3, 2√ 3, √ 3)，
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设 1 = ( 1, 1 , 1)是平面 的法向量，
1 = 2 则{ 1
+ 2√ 3 1 = 0，取 1 = (√ 3, 1, 1)，
1 = 1 +√ 3 1 = 0
设 = ，0 ≤ ≤ 1，
则 = + = + = (3 4,2√ 3 2√ 3 , √ 3 )，
连接 ，∵ //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ，取与 同向的单位向量 = (0,1,0)，
设 2 = ( 2, 2 , 2)是平面 的法向量，
2 = 2 = 0则{ ，取 2 = (√ 3 , 0,4 3 )，
2 = (3 4) 2 + (2√ 3 2√ 3 ) 2 +√ 3 2 = 0
∵平面 ⊥平面 ，∴ 1 ⊥ 2 ，
2
∴ 1 2 = 3 + 3 4 = 0，∴ = ， 3
2 1
故在侧棱 上存在点 ，且 = ，即 = ，使得平面 ⊥平面 ．
3 2
18.【答案】解：(1)根据题意，记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为 ，则 的所有可能取值为0，1，
1 1 1 1 5
( = 0) = 2 × ( × + × ) = ，
3 3 3 2 9
1 1 1 4
( = 1) = +2 × × = ，
3 3 6 9
所以 的分布列为：
0 1
5 4

9 9
1 1 1
(2)根据题意，当 ≥ 2时， = 3 1 + 3 1 + 1， 3
1 1 1
当 ≥ 2时， = 1 + 1 + 1， 3 2 6
1 1 1
= 1 + 1 + 1， 3 2 2
1 1 1
= 1 + 1 + 1， 3 6 6
2
所以 + + = 1 + ( 3 1
+ 1 + 1) = 1 +2 ，
1 1 1
因为 = + + 3 1 3 1 3 1，所以3 +1 = + + ，
所以3 +1 = 2 + 1，所以3 +1 + = 3 + 1，
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1
1 1
因为 1 = 0， 2 = ，所以3 + = 1，所以
4 = ，
3 1 1 1 34
1 1 1
所以{ }是首项为 ，公比 = 的等比数列， 4 4 3
1 1 1 1 1 1
所以 = ( )
1，即 = ( )
1 + ，
4 4 3 4 3 4
1 1
所以 = ( )149
1 1 1 1 1
150 + = × ( )
149 + > ，
4 3 4 4 3 4 4
1
故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于 ．
4
1 +
19.【答案】解：(1) ( )， ( )定义域均为(0,+∞)， ′( ) = 2 + = 2 ，
当 ≤ 0时，则 ′( ) > 0， ( )在(0,+∞)单调递增，无极值，与题不符；
当 > 0时，令 ′( ) = 0，解得： = ，
所以 ( )在(0, )单调递减，在( ,+∞)单调递增，
所以在 = 取极小值，且 ( ) = 1 + ；
1
又 ′( ) = ，

当 ≤ 0时： ′( ) < 0， ( )在(0,+∞)单调递减，无极值，与题不符；
1
当 > 0时：令 ′( ) = 0，解得： = ，

1 1
所以 ( )在(0, )单调递减，在( ,+∞)单调递增，

1 1
所以在 = 取极小值，且 ( ) = 1 + ，

由1 + + ( 1 + ) = 0，即 = 0，解得： = 1，
所以 的值为1．
1 1
(2)证明：令 = , = ，因为 1 ≠ 2，所以 ≠ ， 1 2

+ 1 = 2 1 = 2 ①由 ( 1) = ( 2) = 2( 1 ≠ 2)可得：{ ，所以{ ，
+ 2 = 2 = 2 ② 2
1
由①②得： ( ) = ，所以 = ，

1 1 2 2
要证： + > ，只要证： + > ，只要证： + > 2 ，
1 2
2( )
不妨设0 < < ，所以只要证：ln > ，
+

2( 1) 2( 1)
即证：ln > ，令 = ( > 1)，只要证： > ( > 1)，
+1 +1

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2
2( 1) 1 2( +1) 2( 1) 1 4 ( 1)
令 ( ) = ( > 1)， ′( ) = 2 = 2 = 2， +1 ( +1) ( +1) ( +1)
2( 1) 1 1 2
所以 ( )在 ∈ (1,+∞)上单调递增，即有 > ( > 1)成立，所以 + > 成立．
+1 1 2
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