第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算讲义（无答案）-2025届高三数学一轮复习

授课主题 导数的概念及其意义、导数的运算
教学目标 (1)通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
(2)体会极限思想.
(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义. (4)能根据导数的定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
(5)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如y=f(ax+b))的导数.
(6)会使用导数公式表.
教学重难点 1.导数的概念及其意义
2.导数运算
授课日期及时段
教学内容
导数的概念及其意义、导数的运算 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念对于函数y=f(x),把比值 =　　　　　　　叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx的　　　　变化率 几何意义函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上对应的图象的两端点连线的　　　
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 概念在x0处== k,我们称常数k为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记作f'(x0)或y' 几何 意义f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的　　　　,其切线方程是　　　　　　　　　　　　　 物理 意义导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率
(3)导函数 当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称y=f'(x)为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. 2.导数的运算 基本初等函数的导数公式原函数导函数特例或推广常函数c'=0(c为常数)幂函数(xα)'=　　　　(α∈R,且α≠0) '=-三角函数(sin x)'=　　　,(cos x)'=　　　　 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) (ex)'=ex对数函数(logax)'=　　　(a>0,且a≠1) (ln x)'=,(ln|x|)'=
(续表) 四则运算法则加减法[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　 '=f'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'= 　　　　[cf(x)]'=cf'(x)除法'=(g(x)≠0)'=-复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=　　　　,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
考点一：　导数的运算 例1 求下列函数的导数: (1)y=x2sin x;(2)y=ln x+;(3)y=;(4)y=xsincos. 总结反思 (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 变式题 求下列函数的导数. (1)y=xcos x-;(2)y=(x2+2x-1)e2-x. 考点二：　导数的几何意义 角度1　求切线方程 例2 (1)[2023·南京模拟] 函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 (2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为　　　　,　　　　. 总结反思 (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别. 变式题 (1)已知函数f(x)=-,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3x+2y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0 (2)过点(e,-e)作曲线y=ex-x的切线,则切线方程为 (　 ) A.y=(-1-e)x+e2 B.y=(e-1)x-e2 C.y=(ee+1-1)x-ee+2 D.y=(ee-1)x-ee+1 考点三：　求切点坐标 例3 已知f(x)=x3-3x2+ax-1,若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线经过坐标原点,则x0=　　　　. 总结反思 (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标; (2)求解曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标,在求切点横坐标时应注意其取值范围. 变式题 已知曲线y=x+(x<0)在点P处的切线与直线x-3y+1=0垂直,则点P的横坐标为 (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 考点四：　求参数的值或范围 例4 (1)[2023·济南二模] 已知直线y=x-1与曲线y=ex+a相切,则实数a的值为　　　　. (2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　　. 总结反思 (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围. 变式题 (1)若曲线y=xln x的一条切线的方程为y=-2x+b,则实数b的值为 (　 ) A.-e-3 B.e-3 C.-5e-3 D.5e-3 (2)曲线y=ex-ax(a为常数)在点(0,1)处的切线与曲线y=-x2只有一个交点,则a=　　　　. 考点五：　两曲线的公切线 例5 (1)已知直线y=kx+b(k∈R,b≠0)是f(x)=ex-1的图象与g(x)=1+ln x的图象的公切线,则k+b=　　　　. (2)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2x+a(a为常数,x<0)有公切线,则实数a的取值范围是　　　　. 总结反思 既与曲线y=f(x)相切又与曲线y=g(x)相切的直线叫两曲线的公切线,这类问题的解法步骤是: (1)设直线与曲线y=f(x)相切于点P(x1,f(x1)),与曲线y=g(x)相切于点Q(x2,g(x2)); (2)切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),同理切线方程也为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2); (3)由解出x1,x2,从而得出切线方程. 变式题 (1)[2023·长沙周南中学二模] 若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=都相切,则实数a的值为 (　 ) A.-1或2 B.0或2 C.0 D.2 (2)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,则a的取值范围为　　　　. 课堂小测： 1.[教材改编] 已知函数f(x)=3x2,则y=f(x)在[2,6]上的平均变化率为　　　　. 2.[教材改编] 如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s的单位为 m,t的单位为 s),那么该物体在1.2 s末的瞬时速度为　　　　. 3.[教材改编] 曲线y=在点M(π,0)处的切线方程为　　　　　　. ◆索引:求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆f'(x0)与[f(x0)]';忽视f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别. 4.已知函数y=sin 2x,则y'=　　　　. 5.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=　　　　. 6.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　. 课后强化 基础题 1.一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1 s时,该质点的瞬时速度为 (　 ) A.2 m/s B.3 m/s C.-3 m/s D.-2 m/s 2.[2024·东北师大附中月考] 函数f(x)=cos 2x的图象在点P处的切线斜率是 (　 ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.[2023·湖北十七所重点中学联考] 函数f(x)=log2的导函数为 (　 ) A.f'(x)= B.f'(x)= C.f'(x)=- D.f'(x)=- 4.如图,已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2))处的切线为l,则f(2)+f'(2)= (　 ) A.-3 B.-2 C.2 D.1 5.已知函数f(x)=ex-2x+1,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为　　　　. 6.已知函数f(x)在R上可导,且f(2x+3)=4x2-1,则f'(1)=　　　　. 中档题 7.已知直线l是f(x)=2x-cos x+2的图象在点(0,f(0))处的切线,则直线l在x轴上的截距为 (　 ) A.- B. C.2 D.3 8.[2023·北京东城区一模] 过坐标原点作曲线y=ex-2+1的切线,则切线方程为 (　 ) A.y=x B.y=2x C.y=x D.y=ex 9.[2023·安徽芜湖三模] 若曲线y=在原点处的切线与直线3x-ay+1=0垂直,则实数a的值是 (　 ) A.3 B.-1 C.1 D.0 10.(多选题)已知直线l与函数f(x)=ln x+x2的图象相切,则下列直线中可能与l垂直的是 (　 ) A.l1:x+4y=0 B.l2:x+5y=0 C.l3:x+3y=0 D.l4:x-y=0 11.(多选题)已知直线y=kx(k>0)交曲线y=ex于第一象限的A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 其中x12 D.存在k∈(0,+∞),使两条切线互相垂直 12.[2023·河北保定模拟] 已知函数f(x)=(x2+2x-1)ex的图象在x=0处的切线与g(x)=aln x-1的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x2=2x1,则a=　　　　. 13.[2023·潍坊一中月考] 写出曲线y=x3-3x过点(2,2)的一条切线方程:　　　　　　. 14.[2023·湖北鄂东南联盟模拟] 已知函数f(x)=|ln x|,直线l1,l2是f(x)的图象的两条切线,l1,l2相交于点Q,若l1⊥l2,求Q点横坐标的取值范围. 15.已知函数f(x)=2x3-3x. (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程; (2)若过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围. 拔高题 16.若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0的距离的最小值为 (　 ) A. B.2 C.2 D.4 17.若关于x的不等式组2+ln x≤ax+b≤ex恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B.[1,] C.[1,e] D.