第5章 阶段性测验 5.1～5.3.2限时训练（含解析）-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

阶段性测验 5.1～5.3.2
[分值：100分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1,2]上的平均速度为(　　)
A．－6 B．2 C．－2 D．6
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝－1，则等于(　　)
A．－1 B．－3 C．－2 D．－
3．已知函数f(x)＝x3－4x，则f(x)的极大值点为(　　)
A．x＝－4 B．x＝4 C．x＝－2 D．x＝2
4．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m(m∈R)，则(　　)
A．f(0)C．f(0)>f(5) D．以上答案都不对
5．函数f(x)＝(x2－2x)ex的大致图象是(　　)
6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥1的解集为(　　)
A．{0}∪[1，＋∞) B．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7．已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　)
A．lm的斜率的最小值为－2
B．lm的斜率的最小值为－3
C．l0的方程为y＝1
D．l－1的方程为y＝9x＋6
8.函数f(x)＝ax3－bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则下列结论正确的有(　　)
A．a<0
B．c<0
C．f(－1)＋f(1)>0
D．函数f′(x)在区间(－∞，0)上单调递减
9．如果对定义在R上的函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f，则称函数y＝f(x)为“H函数”，则下列函数是H函数的是(　　)
A．f(x)＝3x－sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝x3＋3x
D．f(x)＝ex＋x
三、填空题(每小题5分，共15分)
10．已知函数f(x)＝2x，若f(x)在x＝x0处的导数f′＝ln 4，则x0＝______.
11．函数f(x)的定义域为开区间，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有______个极小值点．
12．若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1,1)上存在减区间，则实数a的取值范围是______．
四、解答题(共37分)
13．(12分)已知曲线f(x)＝x3－x，求
(1)曲线在点(－1,0)处的切线方程；(3分)
(2)曲线过点(－1,0)的切线方程；(5分)
(3)曲线平行于直线11x－y＋1＝0的切线方程．(4分)
14．(12分)试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
15．(13分)已知函数f(x)＝－，g(x)＝xln x－x2－x.
(1)求f(x)的极值；(4分)
(2)若x∈(1，＋∞)时，f(x)与g(x)的单调性相同，求a的取值范围．(9分)
1．A　[平均速度为＝＝－6.]
2．D　[由导数定义和f′＝－1，
得＝＝－.]
3．C　[由f(x)＝x3－4x，
得f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2.
令f′(x)＝x2－4<0，得－2所以函数f(x)的增区间为，.函数f(x)的减区间为.
所以x＝－2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点．]
4．C　[∵f(x)＝x2＋2f′x＋m，
∴f′(x)＝2x＋2f′，
∴f′＝2×2＋2f′，
∴f′＝－4，
∴f(x)＝x2－8x＋m，
图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝4，
∴f>f.]
5．B　[f′(x)＝ex＋ex＝ex，
令f′(x)>0，解得x>或x<－，
令f′(x)<0，解得－所以f(x)＝ex在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)的两个极值点为±，故排除选项A和选项D；
当x<0时，x2－2x>0，ex>0，所以f(x)＝ex恒为正，排除选项C；
即只有选项B符合要求．]
6．D　[当x≤0时，f(x)＝cos x＋，
求导得f′(x)＝－sin x＋x，
令h(x)＝x－sin x，x≤0，
求导得h′(x)＝1－cos x≥0，
则函数h(x)，即f′(x)在(－∞，0]上单调递增，
f′(x)≤f′(0)＝0，
函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，
而f(0)＝1，当x≤0时，不等式f(x)≥1 f(x)≥f(0)，因此x≤0；
当x>0时，f(x)＝x3＋3x2－3＝(x－1)(x＋2)2＋1，
由f(x)≥1，得(x－1)(x＋2)2≥0，因此x≥1，
所以不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)．]
7．BCD　[因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3，A错误，B正确；
因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1，C正确；
因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6，D正确．]
8．BC　[因为f(x)＝ax3－bx2＋cx，
所以f′(x)＝3ax2－2bx＋c，
由题图知f(x)的增区间是(－∞，－1)，，减区间是(－1，x0)，所以f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪，
f′(x)<0的解集为(－1，x0)，所以a>0，A错误；
因为f(x)在x＝－1与x＝x0处取得极值，则－1，x0是方程3ax2－2bx＋c＝0的根，
由根与系数的关系可知＝－x0<0 c<0，B正确；
由图可知x0<1 x0－1<0，
由根与系数的关系可知x0－1＝<0，故b<0，
故f(－1)＋f(1)＝－2b>0，C正确；
因为f′(x)＝3ax2－2bx＋c的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝＝<0，
所以f′(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，D错误．]
9．ACD　[对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f＋x2f>x1f＋x2f恒成立，
所以不等式等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，
即函数f(x)是增函数，
对于A，函数f(x)＝3x－sin x，可得f′(x)＝3－cos x>0，
函数f(x)是增函数，符合题意；
对于B，函数f(x)＝当x>0时，函数y＝ln x单调递增，
当x<0时，函数y＝ln(－x)单调递减，不符合题意；
对于C，由函数f(x)＝x3＋3x，可得f′(x)＝3x2＋3>0，可得f(x)是增函数，符合题意；
对于D，函数f(x)＝ex＋x，
可得f′(x)＝ex＋1>0，
可得f(x)是增函数，符合题意．]
10．1
解析　因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2xln 2，
又f′＝ln 4，所以＝ln 4＝2ln 2，解得x0＝1.
11．1
解析　从导函数的图象上可得导数的零点有4个，
其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个．
12.
解析　f(x)＝(－x2＋ax)ex，
则f′(x)＝ex，
函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1,1)上存在减区间，只需－x2＋ax－2x＋a<0在区间上有解．
记g(x)＝－x2＋x＋a，其对称轴为直线x＝，开口向下，g＝－1－＋a＝1>0，只需g<0，
所以－1＋a－2＋a<0，解得a<.
13．解　(1)由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1，
则f′(－1)＝3－1＝2，
所以曲线在点(－1,0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.
(2)设切点为(x0，x－x0)，
则f′(x0)＝3x－1，
则切线方程为y＝(3x－1)(x－x0)＋x－x0，
因为切线过点(－1,0)，代入切线方程得，
0＝(3x－1)(－1－x0)＋x－x0，化简得2x＋3x－1＝0，
则(x0＋1)2(2x0－1)＝0 x0＝－1或x0＝，
所以曲线过点(－1,0)的切线方程为
y＝2x＋2或y＝－x－.
(3)直线11x－y＋1＝0的斜率为11，
设切点为(x1，x－x1)，则f′(x1)＝3x－1，
则切线方程为y＝(3x－1)(x－x1)＋x－x1，
则由切线与直线11x－y＋1＝0平行得3x－1＝11 x＝4，
即x1＝2或x1＝－2，
所以切线方程为y＝11x－16或y＝11x＋16.
14．解　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)是减函数．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)在区间上单调递减，
在区间上单调递增．
综上所述，当k≤0时，f(x)的减区间为(0，＋∞)，无增区间；
当k>0时，f(x)的减区间为，增区间为.
15．解　(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝，
当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．
所以f(x)有极小值f(1)＝，无极大值．
(2)由(1)知，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
则g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，即g′(x)＝1＋ln x－ax－1＝ln x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤在(1，＋∞)上恒成立，
令p(x)＝，x∈(1，＋∞)，则p′(x)＝，
所以当x∈(1，e)时，p′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，p′(x)<0，
所以p(x)在区间(1，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，又x∈(1，＋∞)时，p(x)>0，所以p(x)∈，所以a≤0.