江苏省2024-2025学年高二上学期数学期末复习训练1(直线方程) 学案（含答案）

高二期末复习1(直线方程)
【复习要求】
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
【内容梳理】
1．直线的方向向量：
2．直线的倾斜角：
3．直线的斜率：
4．直线方程的五种形式：
【强化训练】
1．直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(，－1)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y－4＝0
2．已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是(　　)
A．∪ B．∪ C． D．
3．过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(　 )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
5．若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪
6．(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0 C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
7．(多选题)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是(　　)
A．若ab>0，则直线l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C．直线l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
8．(多选题)(2023·盐城模拟)下列说法正确的是(　　)
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．倾斜角相等的两直线的斜率一定相等
C．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－
9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
10．在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2，则边AC所在直线斜率的一个可能值为________________．
11．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为________．
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA＋PB的最大值为________．
13．根据所给条件求直线方程．
(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为；
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．
14．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．
高二期末复习1(直线方程)
【复习要求】
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
【内容梳理】
1．直线的方向向量：设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α．(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【二级结论】
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．
【强化训练】
1．直线l的倾斜角是直线x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(，－1)，则直线l的方程为(　　)
A．x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y－4＝0
答案　C 解析　直线x－y－1＝0可化为y＝x－1，其斜率为，
∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan 120°＝－，
∴直线l的方程为y＋1＝－(x－)，即x＋y－2＝0．
2．(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是(　　)
A．∪ B．∪ C． D．
答案　B 解析　xsin α＋y－1＝0，则k＝－sin α∈，
设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tan θ∈，
所以当k∈时，直线l的倾斜角θ∈；
当k∈时，直线l的倾斜角θ∈，
综上所述，直线l的倾斜角θ∈∪．
3．过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案　C 解析　当截距为0时，设直线方程为y＝kx，
将P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程为y＝4x；
当截距不为0时，①若截距相等，设方程为＋＝1，
将P(1,4)代入，即＋＝1，解得a＝5，故方程为x＋y＝5．
②若截距互为相反数，设直线方程为－＝1，
将P(1,4)代入，即－＝1，解得a＝－3，故方程为x－y＋3＝0．
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
4．在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
答案　B 解析　如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a，0)，
由角平分线的性质可知＝ ＝ a＝，
所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是＝ 2x－y－1＝0．
5．(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪
答案　C 解析　若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限；
若a≠0，将l的方程转化为y＝－x－，
因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或a>．
综上，a的取值范围为(－∞，0)∪．
6．(2023·南通联考)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0 C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
答案　C 解析　因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，
所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0．由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0．
7．(多选题)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是(　　)
A．若ab>0，则直线l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C．直线l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
答案　ABD 解析　若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确；
若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；
将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确．
8．(多选题)(2023·盐城模拟)下列说法正确的是(　　)
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．倾斜角相等的两直线的斜率一定相等
C．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－
答案　CD 解析　对于A，如倾斜角为的直线的斜率为－，而倾斜角为的直线的斜率为，故A错误；
对于B，当两直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故B错误；
对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，
此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，
此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
当x1≠x2，y1≠y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为＝，
也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，
故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确；
对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，
则3k＋b＋2＝b，即k＝－，故D正确．
9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
答案　y＝－x或x－y＋8＝0 解析　过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，当截距为0时，所求直线斜率为－，方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；
当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0．
综上可得所求直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0．
10．(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2，则边AC所在直线斜率的一个可能值为________________．
答案　－ 解析　设直线AB的倾斜角为α，由已知得kAB＝tan α＝2，
设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tan θ，
因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，
当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)＝＝＝－，
所以kAC＝－；
当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°)＝＝＝，所以kAC＝，
综上，kAC＝－或kAC＝．
11．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为________．
答案　3x－y－5＝0(答案不唯一) 解析　当过A(2,1)的直线将圆1与圆2平分，过B(3,4)的直线将圆3与圆4平分时，L划分为面积相等的两个区域且kAB＝＝3，
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，
即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA＋PB的最大值为________．
答案　6 解析　由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以PA2＋PB2＝AB2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为≥2，
所以PA＋PB≤＝＝6，当且仅当PA＝PB＝3时取等号，
即PA＋PB的最大值为6．
13．根据所给条件求直线方程．
(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为；
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．
解　(1)因为sin α＝，所以k＝tan α＝±，
则所求直线方程为y－2＝±(x－1)，即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0．
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为＋＝1，
代入点A(1,3)，可得＋＝1，解得m＝2或m＝4，
所以所求直线方程为＋＝1或＋＝1，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0．
(3)直线斜率k＝＝－1，则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0．
14．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．
解　(1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝x＋＋1，
要使直线不经过第一象限，则解得－2≤k<0．
综上，k的取值范围为[－2,0]．
(2)由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
令x＝0得y＝，所以S＝OA·OB＝··(2＋k)＝≥＝4，
当且仅当k＝，即k＝2时取等号，此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．